-
Fərz edək ki,
-
a b intervalında kəsilməz
olan f funksiyası verilmişdir.
-
Bu funksiyanı
əyani şəkildə əks etdirməyə çalışaq.
-
Beləliklə, bu, y oxudur.
-
Bunu isə t oxu adlandıraq.
-
x dəyişənindən bir qədər sonra
istifadə edəcəyik.
-
Beləliklə, bu, t oxudur.
-
Bu isə
-
y bərabərdir f t funksiyasının qrafikidir.
-
Bu funksiyanın a b intervalında kəsilməz
olduğunu qeyd etdik.
-
Bu halda t burada a-ya,
-
burada isə b-yə bərabər olacaq
-
və funksiyamız bu interval boyunca
-
kəsilməzdir.
-
İndi isə maraq üçün F x funksiyasını
-
təyin edək.
-
Belə ki, F x bərabərdir inteqral
-
a-dan
-
x-ə f t dt-ni təyin edək.
-
Burada x a-dan böyük bərabər,
-
b-dən isə kiçik bərabərdir.
-
Başqa sözlə desək,
-
x bu intervalda yerləşir.
-
Bu inteqralı gördükdə ağlınıza
-
müəyyən inteqralın xassələri, diferensiallama,
-
yaxud da ibtidai funksiya gələ bilər.
-
Lakin bu haqda hələ
heç nə deyə bilmərik.
-
Sadəcə bilirik ki,
-
bu, a və x arasında yerləşən
əyrinin altındakı sahədir.
-
Buranı x ilə işarə edək.
-
Bu halda f x buradakı sahə olacaq.
-
Bildiklərimiz sadəcə bundan ibarətdir.
-
Hələ ki ibtidai funksiyadan istifadə edib
etməyəcəyimizi
-
bilmirik.
-
Bu videoda da məhz bunu isbat edəcəyik.
-
Gəlin f x-in törəməsini tapaq.
-
Bunun üçün sadəcə
-
törəmənin tərifindən istifadə edəcəyik və
-
gəlin görək bu,
-
bizə nə verəcək.
-
Deməli, törəmənin tərifinə əsasən alırıq ki,
f ştrix x
-
bərabərdir limit delta x yaxınlaşır
-
0-a F x üstəgəl delta x çıx f
-
x böl delta x.
-
Bu, sadəcə olaraq törəmənin tərifidir.
-
Bu nəyə bərabərdir?
-
Buradakı inteqrallardan istifadə edərək
bunu yenidən yazaq.
-
Bu, bərabər olacaq limit
-
delta x yaxınlaşır 0-a ---
f x üstəgəl delta x nəyə bərabərdir?
-
Burada x-i yerinə qoysaq,
-
inteqral a-dan x üstəgəl delta x-ə
-
f t dt alırıq.
-
Sonra isə bunu çıxmalıyıq.
-
Belə ki, F x əvəzinə
-
inteqral a-dan x-ə f t dt yazırıq
-
və böl delta x.
-
Bu nəyi ifadə edir?
-
Qeyd edim ki, biz hələ ki,
-
müəyyən inteqral, ibtidai funksiya haqqında
-
heç nə bilmirik.
-
Bu, sadəcə
-
a və x üstəgəl delta x intervalındakı
f əyrisinin altındakı sahəni əks etdirir.
-
Yaşıl rəngdə ştrixlənmiş bütöv bu sahəni.
-
-
-
Bu mavi ilə yazdığımızın da nə olduğunu
bilirik.
-
Yenə eyni mavi rəngdən istifadə edək.
-
Buradakı mavi rənglə yazılmış ifadə
-
bu mavi rənglə ştrixlənmiş
-
bütün bu
-
sahəyə bərabərdir.
-
Beləliklə, biz bu a və x üstəgəl delta x
aralığında
-
yerləşən yaşıl sahədən
-
bu mavi sahəni çıxırıq.
-
Bu halda nə alacağıq?
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bənövşəyi rənglə davam edək.
-
Bu fərq bizə bənövşəyi rənglə
ştrixlənmiş bu sahəni verəcək.
-
Bu sahəni necə ifadə edə bilərik?
-
Belə ki, bu sahəni
-
inteqral x-dən
-
x üstəgəl delta x-ə f t dt şəklində yaza bilərik.
-
Bu halda bu ifadəni yenidən yaza bilərik.
-
Belə ki, F ştrix x
-
bərabərdir limit
-
delta x yaxınlaşır 0-a, bunu 1 böl
-
delta x şəklində yaza bilərik, vur surət.
-
Biz artıq surətin nəyə bərabər
olduğunu bilirik.
-
Yaşıl sahə çıx mavi sahə
bənövşəyi sahəyə bərabərdir.
-
Hansı ki, bu bənövşəyi sahənin
nəyə bərabər olduğunu
-
burada qeyd etmişik.
-
1 böl delta x vur inteqral
-
x-dən x üstəgəl delta x-ə f t dt.
-
Olduqca maraqlı bir ifadə aldıq.
-
Bu, bizə inteqralın orta qiymət teoremindən
-
tanış gələ bilər.
-
İnteqralın orta qiymət teoreminə
-
əsasən, a b intervalında elə bir
c nöqtəsi var ki,
-
-- bunu bu şəkildə yazaq,
-
a kiçik bərabərdir c və kiçik bərabərdir --
-
ya da gəlin bunu daha aydın şəkildə yazaq.
-
-
-
x kiçik bərabərdir
-
c və kiçik bərabərdir
-
x üstəgəl delta x ,
-
f c funksiyası -- gəlin c-ni çəkək.
-
c nöqtəsi təxminən burada olacaq.
-
Bu nöqtədə hesablanmış funksiya isə
-
f c olacaq.
-
Funksiyanı c nöqtəsində hesablasaq,
-
bu, bizə bu xəttin
-
hündürlüyünü verəcək və
bunu da oturacağa,
-
yəni bu intervala vursaq --
-
bu interval delta x-dir.
-
x üstəgəl delta x çıx x delta x-ə bərabərdir.
-
Beləliklə, hündürlüyü oturacağa vurduqda
-
bu əyrinin altındakı sahəni alırıq və bu sahəni
-
inteqral x-dən x üstəgəl delta x-ə
f t dt şəklində ifadə etmişik.
-
Bu, inteqralın orta qiymət teoremidir.
-
f kəsilməz funksiyadırsa,
-
iki uc nöqtəsi arasında
elə bir c nöqtəsi var ki,
-
funksiyanın c nöqtəsindəki dəyəri
-
orta yüksəklik kimi qəbul edilə bilər.
-
Funksiyanın həmin orta yüksəkliyini
-
oturacağa vursaq,
-
əyrinin sahəsinin nəyə bərabər olduğunu
taparıq.
-
Bunu başqa formada ifadə
etməyə çalışaq.
-
Bu intervalda elə bir c nöqtəsi var ki,
-
f(c) = 1 böl delta x,
burada hər iki tərəfi
-
delta x-ə bölürük, vur inteqral x-dən
x üstəgəl delta x-ə
-
f(t) dt.
-
Bu, funksiyanın bu intervaldakı
orta dəyəri kimi
-
qəbul edilir.
-
Niyə?
-
Çünki bu hissə sahəyə bərabərdir,
-
sahəni oturacağa bölsək,
-
orta hündürlüyü taparıq.
-
Başqa sözlə desək,
-
buradakı hündürlüyü
-
oturacağa vursaq, sahəsi əyrinin altındakı
sahəyə
-
bərabər olan düzbucaqlı əldə edərik.
-
Bu, çox əlverişli hesab edilir.
-
Çünki bu, f ` (x)-in törəməsindən əldə etdiyimiz
ifadə ilə eynidir.
-
Belə ki, elə bir c nöqtəsi var ki,
-
f(c) buradakı ifadəyə bərabərdir.
-
Bunların hamısını fərqli bir rənglə
-
yenidən yazaq.
-
x, x üstəgəl delta intervalında
-
elə bir c dəyəri var ki,
bunun
-
bu ifadəyə bərabər olduğunu bilirik,
-
limit delta x yaxınlaşır 0-a,
-
bu ifadə əvəzinə,
-
buradakı ifadəni yaza
-
bilərik.
-
....
-
Limit delta x 0-a yaxınlaşdıqda, f(c)-nin
nəyə bərabər
-
olduğunu tapmalıyıq.
-
Bunun üçün bu hissəyə diqqət
yetirməliyik.
-
c dəyərinin hər zaman x və x üstəgəl delta x
-
arasında olduğunu bilirik.
-
Gördüyünüz kimi
-
delta x 0-a yaxınlaşdıqca buradakı yaşıl xətt
-
daha çox sol tərəfə gedir, və bu mavi xəttə
-
yaxınlaşır, yəni c arada olmalıdır.
-
Yəni c x-ə yaxınlaşır.
-
Belə ki, delta x 0-a yaxınlaşdıqca
-
c x-ə yaxınlaşır.
-
Başqa sözlə desək,
delta x 0-a yaxınlaşdıqca
-
f(c) f(x)-ə yaxınlaşır.
-
Buna əsasən bu ifadənin f(x)-ə
bərabər olduğunun
-
deyə bilərik.
-
Lakin bu yazılanların hər birinin
-
isbatını göstərməliyik.
-
...
-
x-in c-yə yaxınlaşdığını dəqiq deyə bilərik?
-
Sadəcə diaqramı çəkməklə c-nin x-ə
-
daha da çox yaxınlaşdığını
-
deyə bilmərik.
-
Bunu riyazi olaraq isbat etmək üçün
-
sıxışdırma teoremindən
istifadə edə bilərik.
-
Sıxışdırma teoremini
tətbiq etmək üçün
-
c-yə delta x-in funksiyası kimi baxmalıyıq.
-
Bu, həqiqətən də elədir.
-
Delta x-dən asılı olaraq, c daha solda və ya
-
daha sağda ola bilər.
-
Bu ifadəni yenidən yaza bilərik.
-
x kiçik bərabərdir c ( delta x),
-
kiçik bərabərdir x üstəgəl delta x.
-
Gördüyünüz kimi c hər zaman x və
x üstəgəl delta x
-
arasında qalır.
-
Limit x delta x 0-a yaxınlaşdıqda nəyə bərabərdir?
-
x delta x-dən asılı olmadığından
-
x-ə bərabər olacaq.
-
Limit x üstəgəl delta x, delta x 0-a yaxınlaşdıqda
nəyə bərabərdir?
-
delta x 0-a yaxınlaşdığından
-
bu, x-ə bərabər olacaq.
-
Delta x 0-a yaxınlaşdıqca, bu x-ə
yaxınlaşırsa
-
və bu funksiyadan kiçikdirsə,
-
delta x 0-a yaxınlaşdıqca bu da x-ə yaxınlaşırsa
-
və həmişə bundan böyükdürsə,
-
sıxışdırma teoreminə əsasən deyə bilərik ki,
-
limit delta x 0-a yaxınlaşdıqca
-
c (delta x) də həmçinin
-
x-ə bərabərdir.
-
Yəni ikisi ilə də eyni dəyərə
-
yaxınlaşmalıdır.
-
Gördüyünüz kimi riyazi üsulla
sıxışdırma teoremindən
-
istifadə edərək eyni nəticəni
-
əldə edə bildik.
-
Delta x 0-a yaxınlaşdıqca, c x-ə yaxınlaşır.
-
c x-ə yaxınlaşırsa, deməli,
f(c) f(x)-ə yaxınlaşır.
-
Bunu isbat etdik.
-
F kəsilməz funksiyadır.
-
F-in nəyə bərabər olduğunu müəyyən etdik.
-
Törəmə anlayışından istifadə edərək
-
F ` (x)-in f(x)-ə bərabər olduğunu
-
müəyyənləşdirdik.
-
Bu, nə üçün vacib hesab edilir?
-
Hər hansı kəsilməz bir f funksiyası varsa,
-
bu nümunədə kəsilməz funksiya var,
-
f-in müəyyən bir intervalda kəsilməz
olduğunu qeyd etdik,
-
kəsilməz bir f funksiyası varsa,
-
funksiyanı əyrinin altında
iki uc nöqtəsi
-
arasındakı sahə kimi göstərə bilərik,
-
bu halda,
-
bu funksiyanın törəməsi
-
kəsilməz funksiyaya bərabər olacaq.
-
Bunu başqa formada da ifadə edə bilərik.
-
hər bir kəsilməz funksiyanın
-
ibtidai funksiyası var.
-
Hər bir kəsilməz funksiyanın
-
ibtidai funksiyası var.
-
Bu isə F(x)-ə bərabərdir.
-
Bu səbəbdən bunu kalkulusun əsas teoremi
-
adlandırırıq.
-
O, bu iki fikri bir-biri ilə
-
birləşdirir.
-
Törəmə anlayışını bilirik,
-
inteqral anlayışı haqqında da
-
məlumatımız var.
-
Bu isbatdan əvvəl inteqrala
-
əyrinin altındakı sahə kimi
baxırdıq.
-
Onu əyrinin altıdakı sahə
-
adlandırırdıq.
-
Lakin indi inteqral və törəmə arasında
-
müəyyən bir əlaqənin olduğunu bilirik.
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
..
-
...
Khan Academy
