Punkt-hældnings- og standardform

Hvordan vi ud fra koordinater finder ligningen for en linje og skriver den i henholdsvis punkt-hældnings-, hældning-skæringspunkts- og standardform.

.

En linje går gennem punkterne minus 3 komma 6 og 6 komma 0.

Find ligningen for den linje i punkt-hældningsform,

hældning-skæringspunktsform og standardform.

Det er 3 forskellige måder at skrive

den samme ligning på.

Hvis vi har 1 af dem, kan vi omskrive den

til en af de 2 andre.

Lad os gennemgå dem. Vi starter med punkt-hældningsform.

Lad os sige, at punktet x1 komma y1 er

et punkt på linjen.

Hvis vi kun skrev x,

betyder det,

at den kan være en hvilken som helst værdi.

Når vi skriver 1 ved siden af,

mener vi en bestemt værdi af x

og en bestemt værdi af y eller et bestemt koordinat.

Det ser vi på i eksemplet.

Hvis vi kender et punkt,

og vi kender hældningen,

vil punkt-hældningsformen være

y minus y1 er lig med m gange x minus x1.

Hvis punktet minus 3 komma 6 er på linjen,

siger vi,

at y minus 6 er lig med m gange x minus minus 3,

så det ender med at være x plus 3.

Det her er et bestemt x, og det her er et bestemt y.

Det kunne være minus 3 og 6.

Det er altså punkt-hældningsform.

Hældning-skæringspunktform er y er lig med mx plus b,

hvor m igen er hældningen, og b er y-skæringspunktet.

y-skæringspunktet er den y-værdi,

hvor x er 0.

Standardform er ax plus by er lig med c,

hvor de her er 2 tal.

De kan ikke aflæses direkte

af grafen.

Lad os bestemme alle de her former.

Først skal vi finde hældningen.

Når vi har fundet hældningen,

er punkt-hældningsformen meget nem at finde.

Hældningen, der er lig med m,

er lig med ændringen i y

over ændringen i x.

Hvad er ændringen i y?

Hvis vi forestiller os,

at vi går herfra og hertil,

hvad er så ændringen i y?

y ender på 0,

og y startede på 6.

Vores slutpunkt er altså 0, og vores startpunkt er 6, når vi kigger på y.

Hvad er vores x-slutpunkt?

Det var 6.

Det kan godt være lidt forvirrende.

Det her er 0.

Det her er 6, som var det punkt,

y startede i.

Det her er 6,

hvor x slutter, og fra det skal vi

fratrække vores x-startpunkt.

x-startpunktet er her.

Det er minus 3.

.

Det er det minus 3 herovre.

Hvis vi går fra det her punkt til det her punkt,

bliver y seks mindre.

Vi gik fra 6 til 0.

Vores y blev 6 mindre.

Vi har altså 0 minus 6 er lig med minus 6.

Det giver mening.

y blev 6 mindre.

Hvis vi går fra det her punkt til det her punkt,

hvad sker der så med x?

Når vi går fra minus 3 til 6, går vi 9 op.

6 minus minus 3

er det samme som 6 plus 3, og det er 9.

Hvad er minus 6/9?

Hvis vi forkorter det, er det minus 2/3.

Vi dividerer både tælleren og nævneren med 3.

Det er altså vores hældning. Minus 2/3.

Vi har næsten allerede skrevet det i punkt-hældningsform.

Vi kan nu vælge et af de her punkter.

Vi vælger minus 3 komma 6.

Vi har allerede vores hældning.

Lad os skrive det i punkt-hældningsform.

.

Nu skal vi sige y minus et af de her punkter.

Vi vælger det her.

y minus 6 er lig med

hældningen, som er minus 2/3, gange x

minus vores x-koordinat.

x-koordinatet er minus 3.

x minus minus 3. Nu er vi færdige.

Vi kan reducere det en smule.

Det her bliver y minus 6 er lig med minus 2/3 gange x.

x minus minus 3 er det samme som x plus 3.

Det er vores punkt-hældningsform.

Nu kan vi bruge algebra til at omskrive ligningen

til hældning-skæringspunktsform.

Lad os gøre det.

Det skriver vi i orange.

Hældning-skæringspunktform.

.

Hvad kan vi gøre for at reducere det?

Vi kan gange minus 2/3 ud.

Minus 2/3x.

.

Minus 2/3 gange 3 er minus 2.

For at få det i hældning-skæringspunktsform

skal vi lægge 6 til på begge sider,

så 6 forsvinder på venstre side.

Vi lægger 6 til.

På venstre side står der nu kun y,

for de her går ud med hinanden.

y er lig med minus 2/3x.

Minus 2 plus 6, som er plus 4.

Her har vi det. Det er vores hældning-skæringspunktsform.

mx plus b, som er vores y-skæringspunkt.

Det sidste vi bliver bedt om er

at omskrive det til standardform.

.

Igen skal vi bruge algebra til at omskrive det,

så både x og y

er på den her side af ligningen.

Lad os lægge 2/3x til på begge sider.

Vi starter her.

y er lig med minus 2/3x plus 4.

Det er hældning-skæringspunktsform.

Vi lægger 2/3x til

på begge sider af ligningen.

Det gør vi,

så vi ikke har minus 2/3x

på højre side.

.

Hvad står der

på venstre side?

Det er 2/3x plus det her y.

De her går ud,

og det er lig med 4.

Det her er altså

ligningens standardform.

Hvis vi vil have, at det skal se ekstra flot ud,

kan vi fjerne brøken ved

at gange begge sider med 3.

Hvad får vi så?

2/3x gange 3 er 2x.

y gange 3 er 3y.

4 gange 3 er 12.

Det er den samme ligning,

vi har bare ganget alle led med 3.

Hvis vi gør det på venstre side,

skal vi også gøre det på højre side.

Det her er standardform.