Tekstopgave med Tog

Tog passerer hinanden med forskellige hastigheder.

.

Det her er endnu en opgave,

Kortaggio har sendt os.

Vi laver de her opgaver,

for det er opgaver,

der viser, hvordan man kan anvende

noget af den lidt simplere algebra.

Vi ser,

at vi kan finde ud af nogle seje ting, selvom det ser svært ud i starten.

Her har vi tog A. Det er repræsenteret af 2 punkter

og en pil. Det er 200 meter langt.

Lad os gå igennem hele opgaven.

Bagefter kan vi begynde

at prøve at løse den.

Lad os læse den først.

Tog A er 200 meter langt.

Tog B er 400 meter langt.

De kører på parallelle skinner med en konstant hastighed.

De kører i samme retning,

og A overhaler B på 15 sekunder.

Det her er er vores symboler, der viser, hvad der sker.

A starter lig bag B, og A slutter lige foran B.

Lad os tegne det.

Vi bruger blå til tog A.

Det her er tog A.

Det er 200 meter langt.

Vi bruger grøn til tog B.

Tog B er dobbelt så langt.

Det er 400 meter.

Sådan her starter togene altså.

Vi får at vide,

at det tager 15 sekunder

at overhale og nå til den her stilling.

Slutstillingen ser sådan her ud.

Tog B

er lige her,

og tog A har overhalet tog B.

200 meter.

Det her er 400 meter.

Den her situation tager 15 sekunder.

Det her tager 15 sekunder.

.

A overhaler altså B på 15 sekunder.

Den her sætning er altså det her.

Vi går fra den her situation til den her situation.

Når togene kører mod hinanden,

tager det dem kun 5 sekunder at nå forbi hinanden.

Der går vi fra den her stilling til den her.

Lad os tegne det.

Togene starter altså sådan her.

Tog A er 200 meter.

Tog B kører i den modsatte retning.

Det er 400 meter.

På 5 sekunder går vi fra det her

til det her.

Til den her stilling.

200.

Det her er selvfølgelig 400.

Det her tager 5 sekunder.

Når togene kører mod hinanden tager det dem altså 5 sekunder at nå forbi hinanden.

Nu er spørgsmålet,

hvor mange meter i sekundet hvert tog kører.

Vi har ikke rigtig

fået nogen information om hastighed her.

Vi får kun at vide, hvor lang tid det tager togene at køre forbi hinanden.

Måske kan vi dog bruge al den her information

til at løse opgaven.

Lad os sige, at hastigheden

for tog A er va.

Derudover har vi hastigheden for tog B.

Den kalder vi vb.

Ligegyldigt hvilken vej de kører,

kører de med samme hastighed.

Vi skal altid huske på,

at distance er lig med hastighed gange tid.

Når vi arbejder med hastigheder,

må man godt udtrykke hastigheden

relativt til noget andet.

Det kan vi gøre her.

Hvor langt kører tog A relativt til tog B her?

Det starter ved det her punkt.

Det kører ikke kun 400 meter.

Det kører til det punkt,

hvor fronten af toget er her.

Det skal altså køre 400 meter

og yderligere 200 meter.

Det kører altså 600 meter.

Det bevæger sig 600 meter i den her situation.

Hvor langt kører det i den her situation?

Igen kan vi lege, at det her tog er stationært.

Det kan hjælpe os lidt.

Vi laver altså alt her relativt til noget andet.

Vi kigger altså kun på,

hvordan togene bevæger sig relativt til hinanden.

Relativt til det her tog

bevæger vi os altså fra her 400 meter.

Derefter yderligere 200 meter.

I begge situationer bevæger vi os 600 meter.

I den her situation bevæger vi os relativt 600 meter.

Vi bevæger os 600 meter relativt til

bagenden af tog B i den her situation.

I den her situation bevæger vi os 600 meter

relativt til forenden af tog B.

I den her situation tager det 15 sekunder.

Det er, fordi tog A's hastighed

bliver spist af hastigheden, tog B kører med.

Hvis B's hastighed var 0,

ville vi bevæge os relativt til det her tog

med hastigheden A.

Nu kører det her tog dog med en eller anden hastighed.

Vores relative hastighed

til det her tog er altså lavere.

Hvad er den relative hastighed?

Lad os lege, at vi er en passager i tog B.

Vi siger, at vi sidder her.

Hvor hurtigt vil det se ud som om, tog A kører?

Hvad vil være den relative hastighed?

Det vil være forskellen mellem de 2.

Det vil altså være

va minus vb.

Vi ved,

at det skal tage 15 sekunder.

Vi husker stadig på hastighed gange tid.

Vi skriver derfor gange 15 sekunder.

Det er lig med den afstand, vi har bevæget os.

Hvis vi er en passager i det grønne tog her,

ville vi se,

at toget kørte fra det her punkt.

Det kørte forbi hele det her tog,

og yderligere 200 meter.

Det kørte altså i alt 600 meter.

.

Selvfølgelig kører begge tog

med en eller anden hastighed.

Det her tog har i virkeligheden kørt mere end 600 meter.

Hvis det her tog har kørt 100 meter,

har det her tog kørt 700 meter.

Vi laver dog alt relativt til passageren

i det grønne tog.

Det kan vi også gøre her.

Vi har også en passager i det grønne tog her.

Han er lige her.

Det var ikke flot tegnet.

Hvilken hastighed vil han føle, at det blå tog kører med?

Han kører i den her retning

med hastigheden vb.

Vi ved endnu ikke,

hvad den hastighed er.

Vi ved kun,

at toget er 400 meter langt.

Det andet tog

kører med hastigheden va.

Vi skal altså lægge de 2 hastigheder sammen.

Hvis det her tog kører med 60 mil i timen,

og det her kører med 60 mil i timen,

vil det føles for den her passager,

som om det her tog kommer mod ham med 120 mil i timen.

Vi har lagt de 2 hastigheder sammen.

Fra den her passagers synspunkt

nærmer toget sig altså

med hastigheden vb plus vb.

.

Togene kører forbi hinanden på 5 sekunder.

Vi husker på, at hastighed gange tid er lig med afstand.

Afstanden eller distancen her er 600 meter.

Det her er relativt

til passageren i det her tog.

Det er vigtigt, at man tænker sådan,

hvis man skal løse den her opgave.

Nu har vi 2 ligninger med 2 ubekendte.

Dem kan vi løse.

Vi skal finde hastigheden for de 2 tog.

Lad os dividere begge sider

med 15 her.

Vi har hastiheden af a minus hastigheden af b

er lig med 40 meter i sekundet.

60 divideret med 15

er 4.

Ja, 40.

Her har vi va plus vb

er lig med 120 meter i sekundet.

Nu kan vi tage den her ligning

og lægge til her.

Vi kan lægge de 2 ligninger sammen.

Vi har altså her va minus vb

er lig med 40 meter i sekundet.

Lad os lægge de 2 ligninger sammen.

Vi får 2 va.

De her 2 går ud med hinanden.

Det er lig med 160 meter i sekundet.

Det er det samme som va er lig med 80 meter i sekundet.

Nu kan vi substiutere tilbage her.

Differencen mellem de 2 er 40.

Vi har altså 80 minus vb

er lig med 40 meter i sekundet.

Hvad er så vb?

Vi kan trække 80 fra på begge sider af lighedstegnet.

Vi får minus vb er lig med minus 4.

Det er det samme som vb er lig med 40 meter i sekundet.

Vi har nu løst opgaven!

Det vigtige her

er at løse det her.

Det vigtige her er

at have fokus på den her grønne passager.

Så kan vi lettere løse opgaven.

Ham her bevæger sig altså

med 40 meter i sekundet.

Ham her bevæger sig med 80 meter i sekundet.

I den her sitaution bevæger ham her sig med 80 meter i sekundet,

og ham her bevæger sig med 40 meter

i sekundet.

Nu er vi færdige.

Igen tak til Kortaggio for at sende de her opgaver.

.