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Matrices: Reduced Row Echelon Form 3

  • 0:01 - 0:04
    這裡我有三個四元一次方程
  • 0:04 - 0:06
    就像第一個影片一樣
  • 0:06 - 0:08
    在那裏我講了行簡化階梯形
  • 0:06 - 0:20
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  • 0:08 - 0:11
    而解一次方程組
  • 0:11 - 0:12
    要用到增廣矩陣
  • 0:12 - 0:14
    至少從本質上來講的話
  • 0:14 - 0:16
    看 我的方程數比變量數少
  • 0:16 - 0:18
    所以我可能不會得到足夠的限制
  • 0:18 - 0:20
    或許可能會有無限個解
  • 0:20 - 0:22
    但來看看我是不是正確的
  • 0:22 - 0:24
    我們來構造增廣矩陣
  • 0:22 - 0:30
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  • 0:24 - 0:26
    是這個方程組的
  • 0:26 - 0:33
    在x1前的係數是1 1 和2
  • 0:33 - 0:35
    在x2前的係數是2 2 和4
  • 0:35 - 0:41
    在x3前的係數是1 2 和0
  • 0:41 - 0:45
    這裡當然沒有x3項
  • 0:45 - 0:47
    所以我們可以把它看做是係數是0
  • 0:47 - 0:50
    而x4前的係數是1 -1 和6
  • 0:53 - 0:56
    然後在等號右邊
  • 0:56 - 0:58
    是8 12 和4
  • 1:01 - 1:02
    這就是增廣矩陣
  • 1:02 - 1:07
    現在將這個化成行簡化階梯形
  • 1:07 - 1:10
    首先我要做的是
  • 1:10 - 1:12
    我要將這兩行的這些東西化成0
  • 1:12 - 1:14
    我能怎麽做呢？
  • 1:14 - 1:17
    我要保持第一行不變
  • 1:17 - 1:22
    就是1 2 1 1 8
  • 1:22 - 1:26
    這條線就表示等號
  • 1:26 - 1:30
    我能做的就是 我要消去――
  • 1:30 - 1:31
    我把第二行換成
  • 1:31 - 1:34
    第二行減去第一行
  • 1:34 - 1:45
    就是1-1=0 2-2=0 2-1=1 1――
  • 1:45 - 1:54
    這裡-1減去1是-2 然後12減去8是4
  • 1:54 - 1:56
    就這樣 這看起來很好
  • 1:56 - 1:57
    看起來像列
  • 1:57 - 2:01
    或x2由第二列表示的
  • 2:01 - 2:02
    看起來像是自由變量
  • 2:02 - 2:04
    但我不是100%的確定
  • 2:04 - 2:06
    我們對所有行來作運算
  • 2:06 - 2:12
    那麽我們來取――先不管這個東西
  • 2:12 - 2:13
    我們將第三行換成
  • 2:13 - 2:16
    第三個方程
  • 2:16 - 2:18
    減去2乘以第一個方程
  • 2:18 - 2:27
    就得到2減去2乘以1等於0 4減去2乘以2
  • 2:27 - 2:35
    好 也是0 0減去2乘以1 是-2
  • 2:35 - 2:41
    而6減去2乘以1 是4 對吧？
  • 2:41 - 2:42
    是6減2
  • 2:42 - 2:47
    然後4減去2乘以8 是-16
  • 2:47 - 2:49
    而4減去16是-12
  • 2:49 - 2:54
    現在做什麽？
  • 2:54 - 2:56
    好 我們來看看我們能不能不管
  • 2:56 - 2:58
    這裡的這個-2項
  • 2:58 - 3:03
    我重新寫一下這個增廣矩陣
  • 3:03 - 3:06
    我要使第二行不變
  • 3:06 - 3:10
    所以就是0 0 1 -2
  • 3:10 - 3:12
    然後是等號
  • 3:12 - 3:14
    就是矩陣的增廣部分
  • 3:14 - 3:17
    現在我們看看能做什麽
  • 3:17 - 3:19
    我先不管上面的0
  • 3:19 - 3:22
    因爲我要得到行簡化階梯形
  • 3:22 - 3:24
    所以任何軸元
  • 3:24 - 3:25
    一般來說總是係數1
  • 3:25 - 3:26
    或項1
  • 3:26 - 3:28
    它是行中的唯一非零項
  • 3:28 - 3:31
    我怎麽擺脫這個？
  • 3:31 - 3:33
    好 我可以消去――
  • 3:33 - 3:37
    我可以將第一行替換成第一行減去第二行
  • 3:37 - 3:46
    所以1減去0是1 2減去0是2 1減去1是0
  • 3:46 - 3:52
    而1減-2 就是1加2 是3
  • 3:52 - 3:56
    然後8減4是4
  • 3:56 - 3:59
    現在怎麽去掉這個？
  • 3:59 - 4:07
    好 我把第三行換成第三行加上2乘以第一行
  • 4:07 - 4:09
    對不起 是換成第三行加上2乘以第二行
  • 4:09 - 4:10
    對吧？
  • 4:10 - 4:13
    因爲得到的是-2 加上2乘以這個
  • 4:13 - 4:14
    它們就消去了
  • 4:14 - 4:15
    我們來看這些0
  • 4:15 - 4:17
    就是0加上2乘以0 是0
  • 4:17 - 4:25
    而0加上2乘以0 是0 -2加上2乘以1是0
  • 4:25 - 4:35
    而4加上2乘以-2 就是4減去4 結果是0
  • 4:35 - 4:40
    然後就是-12 加上2乘以4
  • 4:40 - 4:45
    就是-12加上8 結果是-4
  • 4:47 - 4:49
    現在 現在這兒很有趣――
  • 4:49 - 4:50
    這很有趣
  • 4:50 - 4:53
    我把這個化成了行簡化階梯形
  • 4:53 - 4:57
    我有兩個軸元 這就是一個軸元
  • 4:57 - 4:59
    這也是一個軸元
  • 4:59 - 5:01
    它們是唯一的非零項
  • 5:01 - 5:03
    在它們所在列中
  • 5:03 - 5:05
    而這只是一種形式
  • 5:05 - 5:08
    但這個軸元是比這個低一行
  • 5:08 - 5:12
    所以這是在這個向右一列
  • 5:12 - 5:14
    我檢查過了
  • 5:14 - 5:17
    這個看起來像是――第二列
  • 5:17 - 5:19
    看起來像是自由變量――
  • 5:19 - 5:21
    這裡沒有軸元 沒有軸元
  • 5:21 - 5:22
    但我來看看
  • 5:22 - 5:25
    我們回到我們的方程組來
  • 5:25 - 5:26
    這些對於我來數就是數
  • 5:26 - 5:28
    我有一點兒機械化地
  • 5:28 - 5:29
    幾乎像是一台計算機
  • 5:29 - 5:31
    將這個化成行簡化階梯形
  • 5:31 - 5:33
    實際上 幾乎就像一台計算機
  • 5:33 - 5:35
    但我回到一次方程組來
  • 5:35 - 5:37
    來看看結果是什麽
  • 5:37 - 5:41
    得到1乘以x1 我把它寫成黃色
  • 5:41 - 5:50
    得到1乘以x1 加上2乘以x2 加上0乘以x3
  • 5:50 - 5:55
    加上3乘以x4等於4
  • 5:55 - 5:57
    很明顯地我可以忽略這裡的這一項
  • 5:57 - 5:58
    我甚至不用寫下它來
  • 5:58 - 6:00
    實際上 我不打算寫下它來
  • 6:00 - 6:03
    然後我得到0乘以x1 加上0乘以x2
  • 6:03 - 6:05
    加上1乘以x3
  • 6:05 - 6:06
    所以我可以寫成這樣
  • 6:06 - 6:07
    我只寫下這一項
  • 6:07 - 6:12
    即1乘以x3 減去2乘以x4 等於4
  • 6:12 - 6:15
    然後這個最後一項 我得到了什麽？
  • 6:15 - 6:19
    我得到了0x1+0x2+0x3+0x4
  • 6:19 - 6:20
    好 這些都是0
  • 6:20 - 6:22
    左邊要寫一些什麽東西
  • 6:22 - 6:24
    就寫0吧
  • 6:24 - 6:27
    這個等於-4
  • 6:27 - 6:30
    好吧 這個沒有任何意義
  • 6:31 - 6:33
    結果是0=-4
  • 6:33 - 6:36
    這是一個沒有意義的限制
  • 6:36 - 6:37
    這個不可能
  • 6:37 - 6:39
    因爲0不能等於-4
  • 6:39 - 6:43
    這個不可能
  • 6:43 - 6:47
    這就意味著
  • 6:47 - 6:49
    這樣做是不可能的
  • 6:49 - 6:53
    即要找到這三個方程的交集
  • 6:54 - 6:56
    或同時滿足它們的解集
  • 6:56 - 6:58
    當我們最初看這個的時候
  • 6:58 - 6:59
    在這個影片開始的時候
  • 6:59 - 7:01
    我們說只有三個方程
  • 7:01 - 7:02
    我們有四個未知量
  • 7:02 - 7:04
    或許有無窮個解的解集
  • 7:04 - 7:06
    但事實證明這三個――
  • 7:06 - 7:09
    我猜你可以稱這三個爲三個曲面
  • 7:09 - 7:12
    在R^4中不相交 對吧？
  • 7:12 - 7:14
    這些都是四維的
  • 7:14 - 7:17
    我們在R^4中處理問題 因爲我們有――
  • 7:17 - 7:20
    我想每一個向量都有四個分量
  • 7:20 - 7:21
    或有四個變量
  • 7:21 - 7:23
    是你可以考慮它的方式
  • 7:23 - 7:26
    並且要想象在R^4中的東西是很困難的
  • 7:26 - 7:28
    但如果我們在R3中處理問題
  • 7:28 - 7:31
    我們就可以想象這種情況
  • 7:31 - 7:34
    就比如在R3中有兩個平面吧
  • 7:34 - 7:36
    這就是一個平面
  • 7:36 - 7:37
    然後還有另一個
  • 7:37 - 7:39
    與它完全平行的平面
  • 7:39 - 7:42
    我有另一個完全平行的平面
  • 7:42 - 7:43
    與第一個
  • 7:43 - 7:47
    即使這些是在R3中的兩個平面
  • 7:47 - 7:48
    我舉一個例子吧
  • 7:48 - 7:51
    比如說第一個平面
  • 7:51 - 8:01
    是由方程3x+6y+9z=5來表示的
  • 8:01 - 8:04
    第二個平面是由
  • 8:04 - 8:10
    方程3x+6y+9z=2來表示的
  • 8:10 - 8:15
    這兩個在R3中的平面――這是在R3中的情形
  • 8:15 - 8:17
    這就是R3
  • 8:17 - 8:20
    這兩個平面 很明顯它們不相交
  • 8:20 - 8:21
    因爲很明顯地
  • 8:21 - 8:24
    這個有相同的係數加上5
  • 8:24 - 8:26
    這個有相同的係數加上2
  • 8:26 - 8:28
    並且 如果我們看一看開始
  • 8:28 - 8:30
    如果它不那麽明顯的話 我們就說
  • 8:30 - 8:33
    我們只有兩個有三個未知量的方程
  • 8:33 - 8:34
    或許這個有無限個解
  • 8:34 - 8:36
    但它不會這樣
  • 8:36 - 8:40
    因爲你可以消去這個方程
  • 8:40 - 8:41
    從下面這個方程 從上面這個方程
  • 8:41 - 8:42
    你會得到什麽？
  • 8:42 - 8:44
    你會得到一個非常熟悉的――如果你僅僅
  • 8:44 - 8:46
    從上面消去下面的方程
  • 8:46 - 8:48
    就會得到3x-3x 6yj-6y 9z-9z――
  • 8:48 - 8:51
    其實 我來在這兒算一下
  • 8:51 - 8:54
    對於這個減去這個
  • 8:54 - 8:56
    就會得到0=5-2 就是3
  • 8:57 - 8:59
    這個是和上面得到的非常相似的結果
  • 8:59 - 9:02
    所以當你有兩個平行平面時
  • 9:02 - 9:03
    在R3中
  • 9:03 - 9:06
    或對於任何兩個平行的方程
  • 9:06 - 9:08
    或一個平行方程的集合
  • 9:08 - 9:09
    它們不相交
  • 9:09 - 9:10
    你會得到
  • 9:10 - 9:13
    當你把它化成行簡化階梯形時
  • 9:13 - 9:14
    或你僅僅做一些基本的消去
  • 9:14 - 9:16
    或你解出這個方程組
  • 9:16 - 9:18
    你就會得到一個這樣的結果
  • 9:18 - 9:19
    即0對於什麽東西
  • 9:19 - 9:21
    這就意味著它無解
  • 9:21 - 9:25
    所以對於一般的情況
  • 9:25 - 9:28
    如果你得到0對於什麽東西 就無解
  • 9:28 - 9:31
    如果你得到相同數量的軸元
  • 9:31 - 9:35
    和列數相同數目的軸元
  • 9:35 - 9:37
    如果是這樣――
  • 9:37 - 9:38
    我寫下來 最好知道這一點
  • 9:38 - 9:41
    如果你得到0等於什麽東西
  • 9:41 - 9:44
    那麽這就意味著無解
  • 9:44 - 9:46
    如果是在R3中
  • 9:46 - 9:48
    那麽可能是兩個平行平面
  • 9:48 - 9:49
    在R2中就是平行直線
  • 9:49 - 9:56
    如果你遇到這種情況
  • 9:56 - 9:57
    即軸元個數和列數相同
  • 9:57 - 10:01
    就像1 1 1 1
  • 10:01 - 10:15
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  • 10:01 - 10:05
    這就是R^4的情形
  • 10:05 - 10:07
    我想你們明白了
  • 10:07 - 10:09
    這個等於a b c d
  • 10:09 - 10:12
    就有唯一解
  • 10:16 - 10:17
    現在 如果有任何自由變量――
  • 10:17 - 10:25
    加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com
  • 10:17 - 10:20
    自由變量看起來就像這樣
  • 10:20 - 10:22
    比如說我們有1 0 1 0
  • 10:22 - 10:29
    然後得到元素1 1 我細心一點兒
  • 10:29 - 10:33
    還有0 我這樣來寫
  • 10:33 - 10:36
    還有1 0 0 然後還有元素1 2
  • 10:36 - 10:43
    然後在這裡有一串0
  • 10:43 - 10:45
    然後這個等於0――記住
  • 10:45 - 10:47
    如果這個是一串0等於某個變量
  • 10:47 - 10:48
    那麽就無解
  • 10:48 - 10:50
    或等於某一個常數
  • 10:50 - 10:51
    比如說等於5
  • 10:51 - 10:53
    這個等於2
  • 10:53 - 10:55
    如果這就是行簡化階梯形
  • 10:55 - 10:56
    我們最後就得到
  • 10:56 - 10:59
    我們就得到了一些自由變量
  • 10:59 - 11:01
    這是一個自由
  • 11:01 - 11:03
    或我想我們可以稱這一列爲自由列
  • 11:03 - 11:05
    某種程度上來講這個也是
  • 11:05 - 11:07
    因爲它沒有軸元
  • 11:07 - 11:09
    這些是軸元
  • 11:09 - 11:13
    這是變量x2而這是變量x4
  • 11:13 - 11:15
    那麽這些就是自由的
  • 11:15 - 11:16
    我們可以令它們等於任何東西
  • 11:16 - 11:19
    那麽然後我們就有無限組解
  • 11:19 - 11:22
    就是說沒有唯一解
  • 11:22 - 11:23
    這實際上就是我們看到的第一個例子
  • 11:23 - 11:25
    這些就是三種情況
  • 11:25 - 11:27
    它們是你們每次都會見到的
  • 11:27 - 11:28
    熟悉它們會很有好好處
  • 11:28 - 11:29
    所以你們以後就不會對於
  • 11:29 - 11:31
    當你們看到諸如
  • 11:31 - 11:33
    像0=-4 或0=3
  • 11:33 - 11:34
    或遇到
  • 11:34 - 11:36
    一串0和一串行的時侯感到困惑
  • 11:36 - 11:37
    我要把這一點講得非常清楚
  • 11:37 - 11:38
    有時
  • 11:38 - 11:39
    你們看到一串0時
  • 11:39 - 11:42
    在增廣矩陣左邊時
  • 11:42 - 11:44
    你們可能會說
  • 11:44 - 11:46
    哦 或許沒有唯一解
  • 11:46 - 11:47
    我可以得到無限個解
  • 11:47 - 11:50
    但你必須看這裡的這個元素
  • 11:50 - 11:52
    只有當這整個是0的時候
  • 11:52 - 11:54
    並且有自由變量的時候
  • 11:54 - 11:56
    那麽才會有無窮個解
  • 11:56 - 11:58
    如果有像這樣的情形 0=a
  • 11:58 - 12:00
    如果這個等於7
  • 12:00 - 12:02
    那麽就很驚人地
  • 12:02 - 12:03
    這個就沒有解
  • 12:03 - 12:05
    這就是平行平面的情況
  • 12:05 - 12:07
    無論如何 幸運的是你們明白了這很有用
  • 20:01 - 20:15
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  • 20:17 - 20:25
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  • 40:01 - 40:15
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  • 40:17 - 40:25
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Title:
Matrices: Reduced Row Echelon Form 3
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
12:08

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

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