完全方程式 例 3

完全方程式の例

それでは、

完全方程式の練習問題を続けましょう。

完全方程式の練習問題を続けましょう。

完全方程式の練習問題を続けましょう。

まず、

完全方程式かどうかを見分けることです。

完全方程式であれば、

psi をみつけ

微分方程式の答えを解きます。

次の問題は（ 3 x ＾2 −２xy ＋ 2 ）dx＋（６y＾２−x＾２＋３）dy＝０です。

次の問題は（ 3 x ＾2 −２xy ＋ 2 ）dx＋（６y＾２−x＾２＋３）dy＝０です。

次の問題は（ 3 x ＾2 −２xy ＋ 2 ）dx＋（６y＾２−x＾２＋３）dy＝０です。

見て分かるように

これは望ましい形式ではありません。

どのような形にすればいいでしょう？

あるxとyの関数＋

他のxとyの関数掛けるy’（あるいはdy／dx）＝０

これが望ましい形です。

どのようにこの方程式の形を変えればいいでしょう。

両辺をdxで割ります。

（３x＾２−２xy＋２）＋

dxをdxで割るので、このdxはなくなります。

＋（６y＾２ーx＾２＋３）dy／dx

この項では、dy／dxになります。

それが　０／dx、

つまり　０になります。

いいですか？

これが望ましい形式です。

これが望ましい形式です。

次にこれが完全方程式かどうか

確認します。

それでは、それを行います。

M の偏微分は何ですか？

これは、M 関数です。

これはプラスでした。

この部分のy に関しての偏微分はなんですか？

これは 0 になります。

これは　−２xでしたから、２になります。

この部分のyに関しての偏微分は−２xです。

N の x に関しての偏微分は何ですか？

これが 0 で、これは −２xです。

つまり、ともに−２xです。

MyとNxは

ともに−２xです。

ともに−２xです。

これは、完全方程式であることが
確認できました。

これは、完全方程式であることが
確認できました。

これは、完全方程式であることが
確認できました。

psi のx について偏微分は、Mに等しいです。

３x＾２−２xy＋２です。

両辺の不定積分を取れば、

psiは、 x＾３ーx＾２＊y＋２xに

psiは、 x＾３ーx＾２＊y＋２xに

ある種のyの関数が加えられたものです。

いいですか？

psi は、xとyの関数です。

xのみに関する偏微分を取ったので、

yのみの関数は失われます。

これは、定数が不定積分で

欠けているので同じです。

psi を得るには、yの関数、h（y）が必要です。

どうすればいいですか？

psi のyに関して 偏微分を取りましょう。

これとこれは等しくなります。

だから、psi のyに関してへ偏微分は

０−x＾２＋h’（y）

０−x＾２＋h’（y）

いいですか？

これは、xとyの関数のNと等しいはずです。

このようになり、

これを解くことができます。

＝６y＾２ーx＾２＋３

＝６y＾２ーx＾２＋３

両側から、X＾２が打ち消されます。

両側から、X＾２が打ち消されます。

h’（y）＝６y＾２＋３

h’（y）＝６y＾２＋３

この不定積分はなんですか？

２y＾3＋３yです。

＋Cを加えてもいいですが、

後で、微分方程式が解けたときに加えるので

ここで、特に加える必要はありません。

関数 psi とは何ですか？

新しい色を記述します。

psi は

x＾３ーx＾２y＋２x＋

ここで解いたh（y）を加え

２y＾３＋３y＋

そして、定数Cを加えます。

そして、定数Cを加えます。

すこし、変わったことをしましょう。

すこし、変わったことをしましょう。

一気に解くだけでなく、

直感に戻ってしたいと思います。

完全に機械的な問題の解き方にしたくないからです。

以前に習った微分の連鎖則を利用し

以前に習った微分の連鎖則を利用し

psi のxに関する微分はなんでしょう。

psi のxに関する微分はなんでしょう。

psi のxに関する微分はなんでしょう。

psi のxに関する微分はなんでしょう。

これは、内包的な微分の練習です。

この微分は

３x＾２−

xに関する最初の式の導関数に連鎖則を利用し

ーを先に置いて、

２xyが、このxに関する微分で

２xyが、このxに関する微分で

２xyが、このxに関する微分で

いいですか？

yに関する微分は、１で、

yのxに関する微分は　y’で　X＾２y’です。

X＾２＊y’です。

この微分は簡単に 2です。

＋この部分の微分です。

まず、y に対するこの微分を見てみましょう

連鎖則の内包的な微分をやっています。

連鎖則の内包的な微分をやっています。

これは、＋６y＾２です。

そこで、連鎖則を応用し

y に対する微分を取ったので、

Yのxに関する微分であるy’を

掛けます。

＋この部分の微分で

３掛ける、yのxに関する微分はy’です。

yのxに関する微分はy’です。

yのxに関する微分はy’です。

これを単純化して、確認してみましょう。

３x＾２−２xy＋２

これは、これらの項です。

これは、これらの項です。

y’を外に置いておきましょう。

ーがここにあり、

（x＾２＋６y＾２＋３）

これは、 psi の微分です。

これは密接に見ると、

元の問題と同じです。

元の問題は何でしたか？

元の問題は、

（３x＾２−２xy＋２）＋（６y＾２−x＾２＋３）y’＝０

（３x＾２−２xy＋２）＋（６y＾２−x＾２＋３）y’＝０

元の問題です。

psi のxに関して導関数は

これの内包的な微分です。

少し直観を与えられましたか？

xに関するpsi の微分は

psi は、x とyの関数で、＝０です。

これは x に関して psi の微分です。

ここに書きました。

それは、同じことですね？

だから＝ 0 です。

両側の不定積分 を取ると

この微分方程式の解が

psi ＝ c に等しいです。

psi は、わかっているので、それを c に等しいと設定し、

内包的な微分方程式の答えが得られます。

内包的に定義します。

この部分は毎回行うことは必要ではありません。

テストでこのステップを行うように

問われていない限り、行う必要はありません。

問われていない限り、行う必要はありません。

理解を深め、

機械的に手順を繰り返していくのを避けるため

行いました。

これで、psi の微分が何であるかが

分かります。

xに関する psi の微分を

内包的な微分を使用し

標準的な連鎖則で解けば、

元の問題の微分方程式の左辺が得られます。

元の問題の微分方程式の左辺が得られます。

xに関するpsi の微分が０であることが分かっています。

xに関するpsi の微分が０であることが分かっています。

元の微分方程式の右辺は 0 です。

この両側の 不定積分を取れば

psi ＝C で、

これが、元の微分方程式の答えです。

psi はこれです。

微分方程式の答えは

x＾３ーx＾２＊y＋２x＋２y＾３＋３y＝Cです。

x＾３ーx＾２＊y＋２x＋２y＾３＋３y＝Cです。

これは、元の微分方程式を内包的に定義する式です。

時間ぎれです。

次のビデオへ進みましょう。

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