Circles: Radius, Diameter and Circumference

원은 가장 기본적인 도형입니다

행성의 궤도 모양이나
바퀴, 분자 구조만 봐도

원은 주변에서
정말 많이 볼 수 있습니다

그러므로 원의 성질을
이해하는 것은 중요합니다

사람들은 원을
처음 발견했을 때

원의 성질에 대해
궁금해했습니다

원은 중심에서부터

같은 거리에 있는
점들의 집합입니다

원 위에 있는 모든 점들은 모두
중심에서부터 같은 거리에 있어요

그렇다면 원 위의 점과

중심 사이의 거리는
무엇일까요?

그 거리를 원의
반지름(radius)이라고 합니다

중심에서
가장자리까지의 거리예요

만약 이 반지름이 3 ㎝라면
이 반지름도 3 ㎝이고

이 반지름도 3 ㎝입니다
반지름의 길이는 변하지 않아요

원은 중심에서부터 같은 거리에
있는 점의 집합이기 때문이죠

이 거리가 바로
반지름이에요

그렇다면 원 위의 두 점을
잇는 선분을 그렸을 때

가장 긴 선분은
무엇일까요?

원의 가장 넓은 곳을 자른다면
그 거리는 얼마일까요?

노란 선분 말고도

원 위의 두 점 사이의 거리가
가장 먼 곳을 자르면 됩니다

이렇게 자르면
가장 긴 거리가 되지 않겠죠?

원 위의 두 점 사이의 간격을
넓게 자를 수 있는 곳은 많아요

반지름을 알아보았고

중심을 지나는 가장
긴 선분도 알아보았습니다

그러므로 이 선분은
반지름 두 개와 같을 거예요

이것도 반지름이고
이 선분도 반지름입니다

원에 선분을 그렸을 때
가장 긴 선분이 지름입니다

그러므로 이 선분은
원의 지름(diameter)이 되겠네요

원의 지름과 반지름의
관계는 아주 쉽습니다

지름은 반지름의 2배예요
(지름) = 2 × (반지름)

원의 둘레는
무엇일까요?

원의 둘레를 재기 위해
줄자로 원을 둘렀을 때

그 길이는 무엇일까요?

이 길이는 원의
원주(circumference)라고 합니다

이제 원주와 지름 사이의
관계를 알아봅시다

지름이 익숙하지 않다면
반지름을 사용할 수도 있어요

몇천 년 전 사람들은 줄자로

원주와 반지름의
길이를 측정했어요

하지만 그 결과가
정확하지는 않았습니다

원의 원주를 쟀더니
약 3이 나왔고

지름은 약 1이
나왔습니다

그때 사람들은 원주와
지름 사이의 비율이 궁금했어요

어떤 사람이 원을
정확하지 않은 줄자를 이용해

둘레를 쟀더니 약 3 m이고
지름을 쟀더니 약 1 m였어요

이 원의 원주와
지름의 비율을 봤더니

원주는 지름의 3배였죠

그리고 다른 원의
원주와 지름도 측정했습니다

이 원의 원주는 약 6 ㎝였고
지름은 약 2 ㎝였습니다

그리고 이 원의 비율을 봤더니
역시 원주는 지름의 3배였습니다

그래서 원주와 지름의 비율이

어떤 원에서든지
같을 수도 있다고 생각했습니다

그리고 사람들은 좀 더
정확한 줄자를 만들어냈어요

이 줄자로 측정했더니
지름은 1이었지만

원주는
약 3.1이었어요

위의 작은 원의 비율도
약 3.1이었어요

사람들은 계속해서
더 정확하게 측정할 수 있었고

결국 3.14159라는
수를 얻었습니다

이 수는 소수점 아래의 숫자가
무한히 계속되면서

반복되지도 않았어요

삶 속에서 원은 중요했고

모든 원에서 이 비율을
찾을 수 있었어요

이렇게 원주와 지름의 비율은
정말 중요했기 때문에

사람들은 이 숫자에
파이(Pi)라는 이름을 붙였어요

또는 π라고
표기할 수도 있습니다

π는 이 수를 나타냅니다

π는 원주와 지름의 비율에서
구한 것이지만

수학을 공부하다 보면

π는 수학에서 전반적으로
사용된다는 것을 알 수 있어요

π를 수학에서 어떻게
사용할 수 있을까요?

원주와 지름의 비율은 π입니다

여기서 비율은 원주를
지름으로 나눈 거예요

π는 3.14159....입니다

이 수를 계속 이어서
쓸 수도 있지만

번거롭기 때문에 그냥
π로 써주는 거예요

이 식에서 양변에
지름을 곱하면

원주 = 지름 × π = πd 입니다

또는 지름은
반지름의 두 배이므로

원주 = π × 2 × r = 2πr으로
쓸 수도 있어요

문제를 풀면서
적용해 봅시다

어떤 원이 있다고 합시다

이 원의 반지름은
3 m입니다

이때 이 원의 원주는
얼마일까요?

원주는 2πr이므로
(2π × 3) m겠죠

2 × 3 = 6이므로
(6π) m입니다

π를 수로 바꿔서
곱해줄 수도 있어요

π = 3.14159...이므로
여기에 6을 곱하면

아마 18.xx...가
나올 거예요

계산기로 계산할 수도 있지만
간단하게 π로 표기할 수도 있어요

6 × 3.14159를 계산하면
18과 19 사이의 수가 나올 거예요

지금은 계산기가 없으니
그냥 6π라고 쓰면 됩니다

6π를 계산하면 19보다는
작은 수가 나올 거예요

한 문제 더 풀어 봅시다
원의 지름은 무엇일까요?

반지름이 3 m라면
지름은 그것의 2배입니다

그러므로 3 × 2 = 6
또는 3 + 3 = 6

그러므로 원주는 (6π) m이고

지름은 6 m
반지름은 3 m입니다

여기 다른 원이 있습니다

이 원의 원주는 10 m예요

원의 둘레를 알고 있을 때

지름은 어떻게
구할 수 있을까요?

원주는 지름과
π를 곱한 것이죠

그러므로
πd = 10 m입니다

이 식의 양변을 π로 나누면
d = (10/π) m가 될 거예요

따라서 지름은 (10/π) m입니다

계산기로 10을 3.14159로 나누면
3.xxx... m가 나왔을 거예요

하지만 π로 표기하는게
더 간단하니 그냥 둡시다

이제 반지름을 구해 볼까요?
반지름은 지름의 1/2이죠

지름은 (10/π) m입니다

반지름을 구하려면
지름에 1/2를 곱하면 됩니다

1/2 × 10/π을 계산하면

분모의 2와
분자 10이 약분되어서

5/π가 됩니다
따라서 반지름은 5/π입니다

중요한 것은 π가
3.14159...라는 수라는 거예요

π는 그냥 특별한 수예요

지금까지 수를 사용했던 것처럼
곱할 수도 있어요

하지만 그냥 π를 그대로
놔두는 것이 더 편할 거예요

다음 강의에서는 원의 넓이를
구하는 방법을 알아봅시다