Circles: Radius, Diameter and Circumference

Der Kreis ist wohl die grundlegendste Form in unserem

Universum, wenn du die Umlaufbahn eines

Planeten betrachtest oder Reifen, oder

Dinge auf der molekularen Ebene,

der Kreis taucht immer wieder und wieder

auf.

Es ist also lohnend einige Eigenschaften

des Kreises zu verstehen.

Das erste Mal als der Kreis entdeckt wurde

- eigentlich muss man nur in den Himmel zum Mond schauen, um einen Kreis zu sehen - aber

beim ersten Mal haben sie sich gefragt, welche Eigenschaften

hat jeder Kreis?

Die erste Eigenschaft ist, dass ein Kreis

aus allen Punkten besteht, die den gleichen

Abstand zum Zentrum des Kreises haben.

Alle Punkte am Rand haben den gleichen Abstand

zur Mitte hier.

Das Erste, was jemand fragen würde,

ist, wie der Abstand

zum Zentrum definiert ist.

Also hier.

Wir nennen das den Radius des Kreises.

Es ist der Abstand von der Mitte zum Rand.

Wenn dieser Radius 3 cm ist, dann ist dieser Radius

auch 3 cm.

Und dieser Radius ist auch 3 cm.

Er wird sich nie ändern.

Die Definition besagt, dass ein Kreis aus allen Punkten besteht, die

den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.

Und dieser Abstand ist der Radius.

Nun die nächste interessante Frage, die sich die Leute stellen können ist,

wie breit ist der Kreis wohl ist?

Wie breit ist er an seinen entferntesten Punkten?

Oder wenn du ihn durch seine entferntesten Punkte durchschneiden willst,

wie lang ist diese Strecke?

Es muss nicht diese Strecke sein, ich hätte

den Kreis auch durch diese Punkte teilen können.

Ich würde ihn nicht an dieser Stelle durchschneiden,

weil das wären nicht die voneinander entferntesten Punkte.

Es gibt viele verschiedene Stelle, an denen ich den Kreis

durch seine entferntesten Punkte schneiden könnte.

Wir haben gerade den Radius kennen gelernt und wir sehen, dass die Strecke der entferntesten Punkte

durch das Zentrum auf die andere Seite des Kreises reicht.

Man könnte also sagen, es sind zwei Radien.

Du hast einen Radius hier und du hast einen weiteren

Radius hier.

Wir nennen die Distanz zwischen den entferntesten Punkten

des Kreises, den Durchmesser.

Das ist also der Durchmesser des Kreises.

Er hat eine sehr einfache Verbindung zum Radius.

Der Durchmesser entspricht dem zweifachen Radius.

Eine weitere interessante Frage zum Kreis ist,

wie lang wohl die Strecke um den Kreis herum ist?

Wenn du ein Maßband hast und du

müsstest damit den Kreis messen, wie groß wäre diese Strecke?

Wir nennen diese Strecke den Umfang des Kreises.

Wir wissen nun wie der Durchmesser mit dem Radius verbunden ist, wie aber

ist der Umfang mit dem Durchmesser verbunden?

Wenn du dich noch nicht so gut mit dem Durchmesser auskennst, es ist

sehr einfach zu erkennen, wie er mit dem Radius verbunden ist.

Vor vielen tausend Jahren haben Menschen ihr Maßband verwendet,

um zu messen und sie messen immer noch Umfänge

und Radien.

Als ihre Maßbänder nicht so gut waren,

sagen wir sie maßen den Umfang des Kreises

und das Ergebnis wäre eine 3.

Und sie Maßen den Radius des Kreises hier

oder den Durchmesser des Kreises und erhalten

eine Länge von 1.

Sie würden also sagen - ich notiere.

Wir fragen uns über das Verhältnis - lass

es mich so schreiben.

Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.

Sagen wir, jemand hat einen Kreis

und zum ersten Mal hatten sie kein

gutes Maßband, sie messen den Umfang des Kreises

und kommen auf ungefähr 3 Meter,

wenn man einmal um den Kreis geht.

Wenn der Durchmesser gemessen wird,

erhalte ich eine 1.

Okay, das ist interessant.

Vielleicht ist das Verhältnis aus Umfang

und dem Durchmesser 3.

Vielleicht ist der Umfang immer 3

mal dem Durchmesser?

Das war nur für diesen Kreis, aber was ist wenn wir

einen andere Kreis messen.

So wie dieser - ich habe ihn kleiner gemalt.

Sagen wir, sie haben diesen Kreis gemessen und

herausgefunden, dass der Umfang 6 cm ist,

ungefähr - wir haben ein schlechtes Maßband hier.

Jetzt finden sie heraus, dass der Durchmesser

ungefähr 2 cm ist.

Und schon wieder, das Verhältnis von Umfang zu

dem Durchmesser ist ungefähr 3.

Okay, das ist eine nette Eigenschaften von Kreisen.

Vielleicht ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser

immer gleich für jeden Kreis.

Man wollte sich diesen Sachverhalt genauer ansehen

und verwendete nun bessere Maßbänder.

Als sie bessere Maßbänder hatten, maßen sie,

dass ihr Durchmesser definitiv 1 ist.

Der Durchmesser ist also definitiv 1, aber

beim Messen des Umfangs fällt auf, dass

er näher bei 3,1 liegt.

Das gleiche gilt hier.

Sie stellen fest, dass das Verhältnis eher bei 3,1 liegt.

Die Messung wurde immer genauer,

und dann merkten sie, dass sie diese Zahl erhielten,

und sie fuhren mit ihrer Messung fort und

erhielten diese Nummer 3,14159.

Sie fügten immer mehr Zahlen hinzu,

welche sich nie wiederholten.

Es ist eine merkwürdige metaphysische Zahl,

die auftauchte.

Diese Zahl ist fundamental für unser Universum,

weil der Kreis so fundamental für unser Universum ist

und sie tauchte für jeden Kreis auf.

Das Verhältnis aus Umfang zu Durchmesser ist

diese magische Zahl und sie gaben ihr einen Namen.

Sie nannten die Zahl Pi. Man kann sie in lateinischen

oder als griechischen Buchstaben schreiben.

Das repräsentiert diese Zahl, welche die wohl

faszinierendste Zahl des Universums ist.

Sie taucht zuerst als Verhältnis von Umfang zu

Durchmesser auf, aber du wirst sehen, dass du während

deiner mathematischen Reise öfter auf diese Zahl stoßen wirst.

Es eines dieser fundamentalen Dinge des Universums,

die einen zu denken geben, dass es eine Art Ordnung gibt.

Wie können wir diese Erkenntnis in

der grundlegenden Mathematik verwenden?

Wir wissen also, dass das Verhältnis von

Umfang zu Durchmesser - wenn ich das Verhältnis sage,

dann meine ich, dass du den Umfang durch

Durchmesser teilst - die Zahl Pi ist.

Pi ist diese Zahl.

Ich könnte auch 3,14159 und so weiter schreiben,

aber das wäre eine Verschwendung von Platz und es wäre schwer

damit zu rechnen, deswegen schreiben die Leute diesen griechischen

Buchstaben Pi hier.

Wie können wir daran anknüpfen?

Wir können beide Seiten mit dem Durchmesser multiplizieren und wir

könnten sagen, dass der Umfang gleich Pi

mal dem Durchmesser ist.

Oder weil der Durchmesser 2 mal dem Radius entspricht, könnten wir

sagen, dass der Umfang Pi mal 2

mal dem Radius gleicht.

Oder die Form die wahrscheinlich am häufigsten verwendet wird,

ist 2 pi r

Mal sehen, ob wir das auch auf Aufgaben anwenden können.

Ich habe einen Kreis und

der Radius ist 3.

Also 3 - ich schreibe das auf - der Radius ist also 3.

Es sind 3 Meter - ich schreibe die Einheit auf.

Wie groß ist der Umfang des Kreises?

Der Umfang des Kreises entspricht 2 mal Pi mal dem Radius

Es ist also 2 mal Pi mal Radius

mal 3 Meter, was gleich 6 Meter mal

Pi oder 6 Pi Meter ist.

6 Pi Meter.

Nun kann ich das ausmultiplizieren.

Merke Pi ist nur eine Zahl.

Pi ist 3,14159 und geht noch viel weiter.

Wenn ich das mit 6 multipliziere, dann erhalte ich 18,

irgendwas irgendwas irgendwas.

Wenn du deinen Taschenrechner hast, kannst du es ausrechnen, aber zur

Übersichtlichkeit lässt man die Zahl

als Pi Zahl stehen.

Ich weiß nicht was rauskommt, wenn du 6 mal

3,14159 rechnest, ich weiß nicht, ob das Ergebnis näher an 19 oder

an 18 liegt. Wahrscheinlich ist es ungefähr 18, irgendwas

irgendwas irgendwas.

Ich habe gerade keinen Taschenrechner zur Hand.

Aber anstatt die Zahl aufzuschreiben, kannst

du einfach 6 Pi schreiben.

Ich denke, es würde nicht die Schwelle

zur 19 überschreiten.

Lass uns eine andere Frage betrachten.

Was ist der Durchmesser des Kreises?

Wenn der Radius 3 ist, dann ist der Durchmesser das Doppelte.

Es ist also 3 mal 2 oder 3 plus 3, was

6 Metern gleicht.

Der Umfang ist 6 Pi Meter, der Durchmesser ist 6 Meter,

der Radius ist 3 Meter.

Jetzt gehen wird den anderen Weg.

Sagen wir ich habe einen weiteren Kreis.

Sagen wir ich haben einen weiteren Kreis genau hier.

Und ich sage, dass der Umfang

10 Meter beträgt - das ist der Umfang des Kreises.

Wenn du ein Maßband zum Nachmessen des Kreises hast und

jemand dich fragt, was der Durchmesser des Kreises ist?

Wir wissen, dass der Durchmesser mal Pi oder Pi mal

dem Durchmesser gleich dem Umfang ist und

gleich 10 Meter ist.

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir beide Seiten der Gleichung

durch Pi teilen.

Der Durchmesser gleicht 10 Metern geteilt duch Pi oder

10 geteilt durch Pi Meter.

Und das ist nur eine Zahl.

Wenn du einen Taschenrechner hast, kannst du tatsächlich 10

durch 3,14159 teilen, du erhältst dann 3, irgendwas

irgendwas irgendwas Meter.

Ich kann das nicht im Kopf rechnen.

Aber es ist nur eine Zahl.

Zur Einfachheit lassen wir die Zahl oft so stehen.

Was ist nun der Radius?

Der Radius ist nun gleich 1/2 des Durchmessers

Diese ganze Strecke hier ist 10 geteilt durch Pi Meter.

Wenn wir nur die Hälfte wollen, also nur den Radius,

multiplizieren wir einfach mit 1/2.

Du hast also 1/2 mal 10 geteilt durch Pi, was gleich 1/2 mal 10,

oder du teilst den Zähler und den

Nenner durch 2.

Du erhälst 5 hier, und damit hast du 5 geteilt durch Pi.

Der Radius hier ist 5 geteilt durch Pi.

Es ist nichts besonderes.

Ich denke, dass die größte Verwirrung durch die Zahl

Pi entsteht, welche nur eine Zahl ist.

Pi ist die Zahl 3,14159 und sie hört nicht auf.

Es gibt tausende Bücher über Pi,

- ich weiß nicht, ob es wirklich tausend Bücher sind, ich übertreibe -

aber man könnte Bücher über diese Zahl schreiben.

Es ist nur eine Zahl.

Es ist eine sehr spezielle Zahl und wenn du

sie ausschreiben willst, könntest

du sie ausmultiplizieren.

Meistens wird sie aber

so mit Pi ausgedrückt.

Das reicht für jetzt.

Im nächsten Video, werden wir den Flächeninhalt eines Kreises bestimmen.