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建立指数函数例题

  • 0:01 - 0:05
    小李开了一个储蓄账户然后往里存了6250块钱
  • 0:05 - 0:08
    这个账户每年都会增长20%
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    那需要多少年能增长到12960块钱呢？
  • 0:14 - 0:16
    写出描述这个情况的等式
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    用t来表示小李开户
  • 0:18 - 0:21
    之后经过的年数
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    我鼓励你先暂停视频
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    然后先试着自己解题
  • 0:24 - 0:27
    写出描述这个情况的等式
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    运用题目里给出的变量t
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    然后再回答这个问题
  • 0:31 - 0:36
    到底需要多少年来达到12960块钱呢？
  • 0:36 - 0:38
    我们一起来想想
  • 0:38 - 0:40
    t表示的是小李开户之后
  • 0:40 - 0:41
    经过的年数
  • 0:41 - 0:44
    那我们就假设现在是小李开户
  • 0:44 - 0:45
    之后的0年
  • 0:45 - 0:46
    他有多少钱呢？
  • 0:46 - 0:50
    很明显是6250块钱
  • 0:50 - 0:51
    他用这么多钱开始的
  • 0:51 - 0:54
    现在我们说在他开户后
  • 0:54 - 0:55
    已经过了一年了
  • 0:55 - 0:57
    他有多少钱了呢？
  • 0:57 - 1:01
    他会有6250
  • 1:01 - 1:09
    加上6250的20%
  • 1:09 - 1:11
    因为每年增长20%
  • 1:11 - 1:14
    这是他开始时候的钱
  • 1:14 - 1:18
    然后他再得到6250的20%
  • 1:18 - 1:21
    我们提取出6250
  • 1:21 - 1:30
    得到6250乘1加20%，这个也可以写成0.2
  • 1:30 - 1:39
    等于6250乘1.2
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    那两年之后他有多少钱了呢？
  • 1:42 - 1:44
    他会有在第一年之后有的
  • 1:44 - 1:49
    这些钱，乘上1.2
  • 1:49 - 1:51
    因为它有增长了20%
  • 1:51 - 1:52
    所以是他第一年之后
  • 1:52 - 1:57
    有的钱乘上1.2
  • 1:57 - 2:10
    等于6250乘1.2乘1.2
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    也就等于6250乘1.2平方
  • 2:19 - 2:22
    我估计你已经猜出来之后的事了
  • 2:22 - 2:24
    其实我可以直接这么写，根据运算顺序
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    你先算指数
  • 2:26 - 2:29
    那三年之后呢？
  • 2:29 - 2:31
    三年之后，我们合成一下
  • 2:31 - 2:34
    我们还要再乘1.2一遍
  • 2:34 - 2:43
    所以他会有6250乘1.2的三次方
  • 2:43 - 2:44
    所以t年之后，我们
  • 2:44 - 2:47
    乘1.2 t次
  • 2:47 - 2:56
    所以在t年之后，他会有
  • 2:56 - 3:01
    6250乘1.2的t次方那么多钱
  • 3:01 - 3:06
    1.2的t次方
  • 3:06 - 3:09
    我不想
  • 3:09 - 3:10
    把这个整复杂了
  • 3:10 - 3:12
    不管怎么样
  • 3:12 - 3:14
    题目说，写出描述情况的等式
  • 3:14 - 3:16
    所以现在我们想求多少年之后
  • 3:16 - 3:18
    账户会达到12960块呢？
  • 3:18 - 3:20
    这个账户需要花多久
  • 3:20 - 3:23
    来达到12960呢？
  • 3:23 - 3:27
    或者我们可以写：什么时候12960
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    等于6250乘1.2的t次方呢？
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    这边是描述情况
  • 3:41 - 3:42
    的等式
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    然后我们要想
  • 3:47 - 3:49
    怎么求解
  • 3:49 - 3:52
    很自然的一个想法是将t分离出来
  • 3:52 - 3:55
    我们在两边除以6250
  • 3:55 - 3:58
    然后再把两边对调一下，我们得到
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    1.2的t次方等于
  • 4:07 - 4:17
    12960除以6250
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    既然它们都可以被10整除
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    那我们直接除以10
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    所以是1296除以625
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    现在你有几种办法
  • 4:28 - 4:30
    来解这个
  • 4:30 - 4:32
    其中一个方法，假如你很确定
  • 4:32 - 4:35
    这个答案是整数的话
  • 4:35 - 4:37
    你可以直接用你的计算器
  • 4:37 - 4:40
    然后不断乘1.2来得到这个答案
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    所以这是一种方法
  • 4:42 - 4:44
    但是在你学了对数之后
  • 4:44 - 4:46
    我们还会看到一个更系统的方法
  • 4:46 - 4:47
    我会在结尾做这个
  • 4:47 - 4:49
    我最后做以防你
  • 4:49 - 4:51
    还没有接触过对数
  • 4:51 - 4:55
    所以你可以说……让我先退出
  • 4:55 - 4:57
    这些东西
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    你可以说：好，1296除以625
  • 5:04 - 5:05
    等于这个数值
  • 5:05 - 5:07
    然后我们来看看需要乘1.2多少次
  • 5:07 - 5:11
    1.2乘1.2
  • 5:11 - 5:13
    这还差得远呢
  • 5:13 - 5:15
    让我来试三次
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    我们用同样的数字
  • 5:18 - 5:22
    用1.2，然后
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    用1.2……
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    我们先试三次吧
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    乘1.2乘1.2
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    还没到
  • 5:32 - 5:35
    那我们再乘一次会怎样呢
  • 5:35 - 5:38
    这就是我们想要的结果了
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    我们这就是暴力解
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    1.2的四次方等于这个数
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    所以这是一个比较暴力的方法
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    来求得t等于4
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    另一种方法，可能听着不太好理解
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    就是直接看这个
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    好像是5的某个次方
  • 5:55 - 6:00
    我们知道5的一次方是5,5的平方是25
  • 6:00 - 6:08
    5的三次方是125,5的四次方是625
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    所以你可能可以辨认出这个是
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    5的四次方
  • 6:11 - 6:13
    然后辨认出上面这个
  • 6:13 - 6:15
    有点难，这个是
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    6的四次方
  • 6:16 - 6:19
    然后这边这个是6/5
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    我们可以重写成6/5的t次方等于
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    6的四次方除以5的四次方
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    也就是6/5的四次方
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    然后你说，6/5的t次方必须等于6/5
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    的四次方
  • 6:46 - 6:48
    所以t必须等于4
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    当然，这是在你能辨认出
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    这是某个东西的四次方的前提下
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    这不容易
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    或者说你知道这是个整数
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    然后你一直乘1.2……
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    假如你知道这是个小整数
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    但是系统地解这个的方法是
  • 7:02 - 7:03
    用对数
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    在可汗学院上有很多
  • 7:05 - 7:06
    关于如何使用对数的视频
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    但假如你就是很想知道
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    1.2的什么次方
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    等于这个东西，你要做的是
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    我们在其它视频里证明过的……
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    这是我们要的1.2
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    的某个次方
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    我们求它的对数
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    实际上你可以用任何底
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    你的计算器上一般有一个自然对数，是以e为底
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    还有一个以10为底的对数
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    我们可以用10为底的对数
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    我们一起来做
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    我们求要得到的2.0736的对数
  • 7:41 - 7:43
    然后除以这个数，我们想求
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    这个数（1.2）的某个次方来得到这个数（2.0736）
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    所以除以1.2的对数
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    再说一遍，我们已经证明过了……哦这里我要除
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    让我插入一个除号
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    再说一遍，这个看着像是什么
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    黑魔法
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    但我们在其它视频里证明过了
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    假如你想用计算器来算这些的话
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    因为有些时候不一定是整数
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    可能是3又1/2年，或者
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    是7.1234年，或者其它数
  • 8:12 - 8:14
    这会给你一个更精确的答案
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    那你要怎么做呢
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    你要得到2.0736
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    你要通过什么数的次方来得到？
  • 8:20 - 8:21
    1.2
  • 8:21 - 8:22
    用你想得到的数的对数
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    除以你想用指数的底数
  • 8:26 - 8:30
    的对数，然后按输入
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    这就是你会得到的，这就是
  • 8:32 - 8:35
    另一种说1.2的四次方等于2.0736
  • 8:35 - 8:36
    的方法
  • 8:36 - 8:38
    再说一遍，这看着像黑魔法
  • 8:38 - 8:40
    如果你不知道对数是什么的话
  • 8:40 - 8:41
    我们在可汗学院上有相关视频
  • 8:41 - 8:43
    但是有多种解这道题的方法
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    特别是当题目的答案
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    比较简单的时候
Title:
建立指数函数例题
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:48

Chinese, Simplified subtitles

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