Constructing an exponential equation example

Liam si otevřel spořící účet
a převedl tam 6 250 dolarů.

Každý rok se obnos
na kontě zvýší o 20%.

Za kolik let bude
na kontě 12 960 dolarů?

Vyjádřete tuto situaci
pomocí rovnic.

Použijte 't' pro vyjádření počtu let
od doby, co Liam účet otevřel.

Teď doporučuji zastavit toto video
a zkusit si to sám.

Zkuste napsat rovnici,
která modeluje tuto situaci

s použitím 't'
jak je tu psáno.

A poté odpovězte na otázku,

za jak dlouho dosáhne
obnos na kontě 12 960 dolarů.

Přemýšlejme o tom.

't' vyjadřuje počet roků od doby,
co si Liam otevřel svůj účet.

Představme si, že je to
0 let od doby, co si otevřel účet.

Kolik peněz bude mít?

No bude tam mít
pouze 6 250 dolarů.

S tolika penězi začne.

Ale řekněme, že to je
1 rok, co si otevřel účet.

Kolik bude mít?

Bude mít 6 250krát...

Nebo to napíšeme takhle...
plus 20% z 6 250.

Roste to o 20% každý rok.

S tolika penězi tedy začal

a pak dostane dalších
20% z těch 6 250.

Když vytkneme 6 250,

dostaneme 6 250 krát (1 plus 20%),
což můžeme napsat jako 0,2.

Což se rovná
6 250 krát 1,2.

Takže, kolik bude mít po dvou letech?

Bude mít stejně, jako měl
po jednom roce, krát 1,2,

protože to opět vrostlo o 20%.

Takže bude mít stejně jako
na konci prvního roku, krát 1,2.

To se rovná 6 250 krát 1,2 krát 1,2…

Což se rovná 6 250 krát 1,2 na druhou.

Asi možná vidíte, kam tím mířím.

Nebo to taky můžu napsat takhle,
s exponentem jako první.

Takže co po třech letech?

Po třech letech…
No, prostě to složíme.

Zase to vynásobíme 1,2.

Takže bude mít 6 250 krát 1,2 na třetí.

A po 't' letech
to tolikrát vynásobíme 1,2.

Takže po 't' letech bude na účtě mít
6 250 krát 1,2 na 't'.

1,2 na 't'.

Napište rovnici,
která modeluje tuto situaci.

Potřebujeme zjistit, za kolik let
se účet dostane na 12 960 dolarů?

Chceme tedy vědět, kdy tam
bude 12 960 dolarů.

Nebo si můžeme napsat 12 960…

Kdy se to bude rovnat
6 250 krát 1,2 na 't'?

Tak toto je ta rovnice,
která modeluje danou situaci.

A dále musíme přemýšlet,
jak ji vlastně pak můžeme vyřešit.

Přirozeně můžeme izolovat 't'.

Vydělíme obě strany 6 250.

Když si prohodíme strany rovnice,
dostaneme 1,2 na 't' rovná se…

Tisíc… Dvě stě… No, počkat…
12 960 děleno 6 250.

Obě čísla jsou dělitelná 10,
takže proč je nevydělit 10?

To je 1 296 děleno 625.

Je několik způsobů,
jak tento příklad dále řešit.

Pokud si myslíte,
že zde vyjde celé číslo,

můžete prostě použít svoji kalkulačku
a vynásobit 1,2 tak, aby vyšlo toto číslo

Můžeme si to zkusit.

Ale jak uvidíme,
jde to i systematičtěji,

až se naučíte o logaritmech.

Ale udělám to až jako poslední,
v případě,

že jste se ještě o logaritmech neučili.

Můžete si říct…

Jenom tady všechno zavřu…

Můžete se kouknout a říct si, ok,
1 296 děleno 625 je tahle hodnota.

Tak se podíváme,
kolikrát to musíme vynásobit 1,2.

1,2 krát 1,2 nám dá…

To nám ještě nedá dost

Tak to zkusíme třikrát.

Takže vezmeme to stejné číslo.

Zvětšíme číslo 1,2.

Uděláme to třikrát.

1,2 krát 1,2 krát 1,2

To nám pořád nedá výsledek.

Co když to ještě jednou vynásobíme 1,2?

A to nás tam nakonec dostane.

A to jsme to dělali
jenom hrubou silou.

1,2 na čtvrtou nám dá tuto hodnotu.

Takže to je jeden způsob
tak nějak hrubý způsob,

jak zjistit, že 't' se rovná 4.

Další způsob, trochu méně intuitivní,
možná to na vás vyskočí…

Jé, to vypadá jako nějaká mocnina 5.

Víme, že 5 na první je 5,
5 na druhou je 25,

5 na třetí je 125,
5 na čtvrtou je 625

Tak možná poznáte,
že toto je 5 na čtvrtou

Je ale možná trošku těžké si uvědomit,
že teto číslo je 6 na čtvrtou.

A toto zde je 6/5.

Takže si to můžeme přepsat

jako 6/5 na 't' se rovná 6 na čtvrtou,
to celé lomeno 5 na čtvrtou,

což je to samé jako 6/5 na čtvrtou.

6/5 na 't' se tedy musí
rovnat 6/5 na čtvrtou.

't' se musí rovnat 4.

Je dobře, když rozpoznáte,
že je toto zvýšeno na čtvrtou,

což není jednoduché.

Nebo když víte, že je tohle nízké
celé číslo, a zkusíte to násobit 1,2.

Nejsystematičtější je ale
použití logaritmů.

O použití logaritmů je
na Khanově škole videí spousta.

Jestli vás ale zajímá, jak vyřešit,
na kolikátou umocnit 1,2 tak,

aby se to rovnalo tomuhle, tak
co uděláte,

a my si to dokážeme v ostatních videích,

je, že vezmete číslo, které chcete,
aby vyšlo 1,2 na nějakou mocninu.

Utvoříme z toho logaritmus,
a to vlastně s jakýmkoli základem

Kalkulačky většinou mají
předinstalovaný základ e nebo 10.

Můžeme zvolit základ 10.

Takže to uděláme.

Vezmeme logaritmus toho,
k čemu se chceme dostat, 2,0736

a vydělíme to tím, co chceme umocnit,
abychom toto číslo dostali.

Děleno logaritmem 1,2.

A znova to dokážeme…
Vlastně jsem chtěl dělit.

Vložím tam znak pro děleno.

Může to vypadat jako takové voodoo.

Dokážeme to v jiných videích,

kdybyste chtěli kalkulačkou
počítat podobné příklady,

protože to občas nevyjde
tak hezké celé číslo.

Například 3 a půl roku
nebo třeba 7,1234, tak nějak.

Tímhle se dostanete
k přesnější odpovědi.

K čemu se chcete tedy dostat?

Chcete 2,0736.

Čím to zvýšíte na určitou mocninu?

1,2.

Vydělte logaritmus, ke kterému se snažíte
dostat, děleno logaritmem základu,

ke kterému se pokoušíte dostat
mocninu, stiskněte Enter.

Dostanete…

Toto je jen jiný způsob, jak vyjádřit,
že 1,2 na čtvrtou bude 2,0736.

Jestli se vám to zdá jako voodo,
neznáte logaritmy,

máme o tom na Khanově škole videa.

Jde k tomu ale přisoupit různými způsoby,
hlavně tento příklad,

jehož odpověď byla trošku jednodušší.