Constructing an exponential equation example

"Лиам си открил спестовна сметка и внесъл 6250 долара в нея.

Всяка година сметката се увеличава с 20%

Колко години ще са нужни,
за да достигне сметката 12 960 долара?"

"Напиши уравнение, което представя ситуацията.

Използвай t, за да представиш броя години

откакто Лиам е открил сметката си."

Съветвам те да спреш видеото

и да опиташ първо да направиш това самостоятелно.

Опитай да напишеш уравнението,
което представя ситуацията,

използвайки променливата t по начина,
по който са я въвели.

И после отговори на въпроса:

"Колко години ще са нужни,
докато сметката стигне 12 960 долара?"

Нека помислим върху това.

t представлява броят години

откакто Лиам е открил сметката.

Нека кажем, че са минали 0 години, откакто Лиам

е открил сметката си.

Колко пари ще има?

Ще има 6250 долара в сметката си.

С толкова е започнал.

Да кажем, че е минала 1 година, откакто

той е открил сметката си.

Колко ще има?

Ще има 6 250 долара по –

или нека го запишем така – плюс 20%.

Нараства с 20% всяка година.

С толкова е започнал годината,

а после получава още 20% от тези 6250.

Ако изнесем 6250 пред скоби, това е

равно на 6250 по (1 + 20%)
или можем да запишем това като 0,2.

Което е равно на 6250 по 1,2.

Колко пари ще има в края на втората година?

Ще има същата сума, която

е имал и в края на първата година, по 1,2.

Понеже сметката отново е нараснала с 20%.

Той ще има сумата, която

е имал в края на първата година, по 1,2,

което е равно на 6250 по 1,2 по 1,2.

Което е равно на 6250 по (1,2)^2.

Мисля, че виждаш накъде отива това.

Или можем да го запишем така – редът на действията –

първо извършваш действието със степените.

А след 3 години?

След 3 години... ще съставим –

ще умножим отново по 1,2.

Тогава ще има 6250 по (1,2)^3.

След t години ще умножим

по 1,2 толкова пъти.

След t години
той ще има в сметката си

6250 по (1,2)^t.

(1,2)^t, 1,2 на степен t.

Не искам да се объркаме с това.

Както и да е.

И ни казват: "Напиши уравнение,
което представя ситуацията."

Искаме да намерим колко години

ще са нужни, за да стигне сметката до 12 960.

Така че искаме да кажем кога

ще има 12 960 долара в сметката.

Или можем да запишем 12 960 – кога

това ще е равно на 6250 по (1,2)^t?

Това тук е уравнението,

което представя ситуацията.

И после трябва да помислим как можем

да решим това.

Разбира се, можем да изолираме променливата t.

Нека разделим двете страни на 6250.

И ако обърнем двете страни,

получаваме (1,2)^t е равно на – нека запиша

това, 12 960, делено на 6250.

След като и двете се делят на 10,

защо не ги разделим на 10?

Това е 1296, делено на 625.

И има няколко начина, по които

можеш да решиш задачата в този момент.

Един начин е, ако смяташ, че това тук

ще даде отговор цяло число, можеш да използваш калкулатора си

и да умножиш 1,2 достатъчно пъти,

че да получиш това число, каквото и да е то.

Можем да го направим по този начин.

И както ще видим – има по-систематичен начин

да направим това, след като научим за логаритмите,

и ще направя това накрая.

Ще го направя последно, просто в случай,

че все още не знаеш за логаритмите.

Можеш буквално да кажеш... Нека

изляза от всичко това първо.

Можеш да кажеш: "Да видим, 1296, делено на 625,

е тази стойност.

Да видим колко пъти трябва да умножим по 1,2."

1,2 по 1,2 ни дава – това

не ни дава достатъчно близък отговор.

Нека опитаме 3 пъти.

Нека вземем същото това число.

Нека вземем 1,2 и да го повдигнем на...

Нека повдигнем 1,2 на трета степен.

По 1,2 по 1,2.

Това все още не ни дава този отговор.

А ако умножим още веднъж по 1,2?

Това ни дава този отговор.

И просто го направихме с груба сила.

(1,2)^4 ще ни даде тази стойност.

Това е един начин – с един вид груба сила –

да намерим, че t = 4.

Друг начин, който може да не ти изглежда толкова логичен,

е... това изглежда

е някаква степен на 5.

Знаем, че 5 на първа е 5,

5 на втора е 25,

5 на трета е 125,

5 на четвърта е 625.

Може да осъзнаеш, че това тук

е 5 на четвърта.

И всъщност е малко по-трудно

да осъзнаем, че това ето тук

е 6 на четвърта.

Това тук е 6/5.

Така че можем да преобразуваме
това до (6/5)^t е равно на

6^4 върху 5^4.

Което е същото нещо като (6/5)^4.

Тук ще кажеш, че (6/5)^t трябва да е равно на

(6/5)^4.

t трябва да е равно на 4.

Добре е, когато можеш да осъзнаеш,

че това е нещо, повдигнато на четвърта степен,

което не е лесно да се направи.

Или, ако знаеш, че това е цяло число,

можеш просто да продължиш да умножаваш 1,2 –

ако знаеш, че това е малко цяло число.

Но систематичният начин да направим това

е да използваме логаритми.

И има много видеа в Кан Академия

за използването на логаритми.

Но ако повече те интересува –

ако просто искаш да намериш 1,2 на каква степен

е равно на това, тогава –

и доказваме това в други видеа –

ако кажеш: "нека вземем това,
което искаме да е равно на

1,2 на някаква степен..."

Нека вземем логаритъм от това.

И можеш да вземеш логаритъм
при каквато и да е основа.

Калкулаторите по принцип имат естествен логаритъм, който е при основа 'е',

и логаритъм при основа 10.

Можем просто да вземем логаритъм при основа 10.

Нека направим това.

Ще вземем логаритъм от това, което искаме да получим – 2,0736 –

и ще го разделим на това, което
искаме да повдигнем на степен,

за да получим това число.

Делено на логаритъм от 1,2.

И, отново, доказваме това –
всъщност искам да разделя.

Нека вмъкна символ за делене.

Отново, може да изглежда донякъде като вуду магия.

Доказваме това в други видеа, но ако

искаш да използваш калкулатор, за да пресметнеш подобни неща,

понеже понякога годините няма да са хубаво цяло число...

Може да са 3 цяло и 1/2 години или

може да са 7,1234 години, или нещо такова.

Това ще ти даде по-точен отговор.

Какво искаш да получиш?

Искаш да получиш 2,0736.

Какво повдигаш на някаква степен?

1,2.

Делиш логаритъм от това, което опитваш да получиш,

на логаритъм при основата, която опитваш да повдигнеш на някаква степен,

и натискаш Enter.

И после получаваш – това буквално

е друг начин да кажем, че (1,2)^4

ще е равно на 2,0736.

Отново, ако това ти изглежда като вуду магия,

ако не знаеш какво са логаритмите,

имаме видеа за това в Кан Академия.

Но има множество начини да се справиш с това,

особено с тази задача, при която отговорът беше

малко по-прост.