Transformations, part 2 | Multivariable calculus | Khan Academy

지난 영상에서는

함수를 한 공간의 점에서 다른 공간의 점으로

옮기는 것으로 생각하는 변환을 소개하였고

이번에는 입력 공간이 2차원일 때

어떤 모습인지 예를 보여 주고 싶습니다

이곳이 입력 공간이고

xy평면과 같은 모양입니다

출력 공간도 2차원이니까

마찬가지로 평면이 되겠죠

제가 하려고 하는 것은

변환 하나를 보여 주고

해당하는 함수를 자세히 살펴보아서

변환을 이해하는 것입니다

변환의 모습은 이렇습니다

이것이 우리가 살펴볼 변환입니다

점이 많이 움직이는 난잡한 꼴이죠

많은 일이 일어나고 있고

2차원에서 2차원으로 가는

이런 변환을 이해할 때

편리한 사고는

둘 다 같은 xy평면이니까

입력과 출력 공간을 겹쳐서

평면이 복사되어 이동하는 것으로

나타내는 것입니다

나타난다는 말이 항상

애니메이션을 반복해서

관찰한다는 것은 아닙니다

변환 관점으로 생각하는 것은

머릿속의 아주 추상적인 생각으로

함수가 어떤 것인지를

이해하는 데 도움이 됩니다

나중에 더 이야기하겠지만

먼저 이 함수가 무엇인지 알아보죠

제가 애니메이션을 실행한 함수는

입력 x, y를 f(x, y) =

x^2+y^2가

출력의 x성분이고

x^2-y^2이

출력의 y성분인 것입니다

이해를 돕기 위해

원점의 예를 듭시다

원점의 (0, 0)이

어디로 옮겨가는지 살펴봅시다

f(0, 0)

x와 y가 모두 0이니까 위에 이건 0

아래도 같이 0이네요

점 (0, 0)은 자기 자신으로 가고

변환을 보시면 (0, 0)이

핀을 꽂은 것처럼

그대로 있는 것이 보입니다

이런 점은 해당 함수의 고정점이라 부르고

변환 관점이니까

'고정'점이라는 말이

사용되겠죠

다른 점을 보죠

(1, 1)입니다

f(1, 1)을요

이 점만 보기 위해

잠시 변환을 치워 두죠

입력 공간에서 (1, 1)은 여기 있고

어디로 갈지 알아보려고 합니다

값을 넣어 보면 x^2+y^2은

1^2+1^2이 되고

아래쪽에는 x^2-y^2이

1^2-y^2이 되겠죠

앗, 1^2-1^2이요

다 넣은 결과는

[2 0] 이군요

[2 0]

그러니까 이 점이 어떻게 이동해서

(2, 0)으로 갈 겁니다

변환을 보면 이 점이

이 점으로 이동해야 하고

점이 매우 많아서

따라가기 힘들 수 있지만

주의깊게 살펴보면

점이 그곳으로 가는 게 보입니다

이렇게 많은 점들의 이동을

계속 살펴볼 수 있겠지만

이게 무슨 목적인지

감이 안 오시겠죠?

사실 함수를 시각화하는

더 간단하고 덜 난잡한 방법이 많습니다

이 경우엔 벡터장이 좋은 방법이고

입력 하나와 출력 하나가 있으면

그래프가 좋겠죠

그러면 왜 변환으로 생각할까요?

주 이유는 개념적인 것입니다

눈앞의 애니메이션에서

하나하나씩 점들을 관찰해서

어디로 이동하는지 보기 위해서가 아닙니다

하지만 함수를 변환으로 이해하면

다양한 수학적 개념들을

더 정교하게 이해할 수 있죠

다변수 미적분학에서 배우게 될

도함수나 그 다양한 활용 연산은

공간의 늘어남과 찌그러짐

같은 것으로 이해할 수 있고

이런 것들은 그래프나 벡터장에서

의미를 찾기 쉽지 않습니다

그래서 변환은 이해의 한 관점을 추가해 주죠

또한 변환은 선형대수에서

매우 중요한 부분입니다

언젠가 선형대수와

다변수 미적분학의 연관성을

배우는 날이 올 겁니다

변환에 대한 개념이 선형대수와

다변수 미적분학 관점에서

모두 확고한 것은

두 분야의 연결을 이해하는 데

좋은 기반이 될 것입니다