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Maintenant, voilà notre solution.
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Tout d'abord, Alice et Bob choisissent, publiquement,
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un module premier et un générateur.
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Ici, ce sera 17 et 3.
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Ensuite, Alice choisit un nombre secret, au hasard, disons 15,
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et calcule : 3 puissance 15 modulo 17
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et envoie le résultat publiquement à Bob.
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Ensuite Bob choisit son propre nombre secret, par exemple 13,
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et calcule : 3 puissance 13 modulo 17,
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et envoie le résultat publiquement à Alice.
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C'est maintenant que se passe le "truc".
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Alice prends le résultat publié par Bob, et
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l'élève à la puissance de son nombre secret
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pour obtenir la clé secrète et partagée, qui est, dans ce cas, 10.
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Bob prends à son tour le résultat publié par Alice, et
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l'élève à la puissance de son nombre secret, ce qui produit
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le même résultat, secret et partagé.
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Il faut noter qu'ils ont fait le même calcul, bien que ce ne soit pas évident à priori.
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Regardons Alice. Le 12 qu'elle a reçu de Bob
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était 3 puissance 13 modulo 17.
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Et son calcul était 3 puissance 13, puissance 15 modulo 17.
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Maintenant regardons Bob. Le 6 qu'il a reçu d'Alice
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était le résultat de 3 puissance 15 modulo 17.
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Et son calcul fut 3 puissance 15, puissance 13.
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Il faut noter qu'il ont fait le même calcul avec les exposants dans un ordre différent.
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Or quand on échange les exposants, le résultat ne change pas.
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Ils ont en fait élevés 3 à la puissance de leurs nombres secrets.
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Sans connaitre l'un des nombres secrets, 15 ou 13,
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Eve ne pourra pas trouver la solution.
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Et c'est comme ça que ça marche.
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Tandis qu'Eve s'escrime sur le problème du logarithme discret,
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et avec des nombre suffisamment grands, nous pouvons dire
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qu'il est impossible en pratique, pour elle, de casser l’encryption
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dans un temps raisonnable.
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Cette méthode résout le problème de l'échange de clés.
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On peut l'utiliser conjointement avec un générateur de nombres pseudo-aléatoires
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pour encrypter des messages entre des personnes qui ne se sont jamais rencontrées.
