< Return to Video

More on Matrix Addition and Scalar Multiplication

Edit subtitles

0:01 - 0:03

在上一個影片中我們開始講
0:03 - 0:04

兩個線性變換
0:04 - 0:07

我們得到的Rn到Rm的線性變換S
0:07 - 0:10

是一個Rn到Rm的映射
0:10 - 0:13

然後我們得到線性變換T
0:13 - 0:19

T也是一個從 Rn到Rm的映射
0:20 - 0:24

我們定義這兩個變換的
0:24 - 0:26

加法運算
0:26 - 0:32

S加上T 這個關於x的變換我們定義
0:32 - 0:42

它等於關於x的S加上關於x的t
0:42 - 0:46

當然這裡的輸入還是Rn
0:46 - 0:49

且得到的結果是 Rm上的向量
0:49 - 0:51

如果我們讓兩個Rm上的向量相加
0:51 - 0:53

我們得到另一個Rm上的向量
0:53 - 0:56

因爲Rm是一個完全次空間
0:56 - 0:57

並且它還是封閉的
0:58 - 0:59

所以這也是一個映射
0:59 - 1:07

所以 S+T仍然是一個Rn到Rm上的映射
1:07 - 1:11

我們說過最近的影片裏提到的
1:11 - 1:12

每一個線性變換都
1:12 - 1:14

可以被描述爲一個矩陣
1:14 - 1:18

我們可以說關於x的s等價於
1:18 - 1:20

一個矩陣A乘以x
1:20 - 1:24

同樣我們可以說關於x的t等價於
1:24 - 1:27

一個矩陣B乘以x
1:27 - 1:29

這兩個矩陣都是m×n矩陣
1:29 - 1:34

我們可以寫m×n 兩個都是
1:34 - 1:38

因爲這兩個都是Rn到Rm的映射
1:38 - 1:40

我們得到另一個定義
1:40 - 1:43

這是我們得到的定義
1:43 - 1:45

稍後我們會得到另一個定義
1:45 - 1:49

我們定義兩個矩陣的加法運算
1:49 - 1:54

我麽說任意矩陣A加上B
1:54 - 1:59

前提它們擁有相同的維數
1:59 - 2:02

在這裡它們都是m×n的
2:02 - 2:06

我們定義這個加法得到一個新矩陣
2:06 - 2:10

這個矩陣的每一列
2:11 - 2:13

都是前兩個矩陣相應列的和
2:13 - 2:19

所以這個矩陣的第一列將是
2:19 - 2:21

A的第一列和B的第一列的和
2:21 - 2:26

所以 a1+b1 下一列的計算我將寫在新的一行裏
2:26 - 2:29

這裡是 a2+b2
2:29 - 2:36

直到an+bn
2:36 - 2:40

這是一個定義
2:40 - 2:42

這樣定義的原因是
2:42 - 2:45

如果這樣定義矩陣的加法那麽同樣地
2:45 - 2:51

用Ax+Bx替換
2:51 - 2:54

上面的這些
2:54 - 2:57

等價於相應的矩陣
2:57 - 3:02

即A加上B乘以x
3:04 - 3:07

這就是這個漂亮表達的動機了
3:07 - 3:11

如此在這裡通過定義矩陣加法
3:11 - 3:14

這些看起來很抽象我們來
3:14 - 3:17

做一個例子――兩個矩陣相加
3:17 - 3:20

我們以2×2矩陣爲例
3:20 - 3:27

這裡我讓矩陣[1,3；-2,4]加上
3:27 - 3:28

注意它們擁有相同的維數
3:28 - 3:35

另一個矩陣[2,7；-3,-1]
3:35 - 3:36

我們會得到什麽呢
3:36 - 3:38

通過定義我們只要
3:38 - 3:40

讓它們相應的列相加
3:40 - 3:41

你讓第一列相加
3:41 - 3:43

當我們讓相應的列相加時
3:43 - 3:45

兩個行向量相加會産生什麽呢、兩個向量
3:45 - 3:47

我們只是讓它們相應的元素相加
3:47 - 3:50

基本上當你讓兩個矩陣相加時
3:50 - 3:52

你僅僅是讓它們相應的元素相加
3:52 - 3:53

我在這裡討論它
3:53 - 3:55

僅僅是因爲我定義它的方法
3:55 - 3:56

但是它們是等價的
3:56 - 3:58

首先第一列
3:58 - 4:00

在這個矩陣裏在這裡
4:00 - 4:02

將會是這個行向量加上這個行向量
4:02 - 4:04

所以這裡將會是1加上2
4:04 - 4:05

通過這種方法往下寫
4:05 - 4:08

接下來是-2 -3
4:10 - 4:15

接下來是第二列這裡的這個
4:15 - 4:20

將是3+7 和4-1
4:22 - 4:30

所以這個等式等於[3,10；-5,3]
4:30 - 4:33

就像這樣
4:33 - 4:35

注意盡管這個定義是
4:35 - 4:36

讓相應的行向量相加
4:36 - 4:38

會怎樣呢？
4:38 - 4:40

我只是將相應的元素相加
4:40 - 4:42

我讓1和2相加
4:42 - 4:44

3和7相加 -2和3相加
4:44 - 4:47

4和-1相加
4:47 - 4:48

這是很容易懂的
4:48 - 4:50

再沒有比這簡單的了
4:50 - 4:53

事實上我們可以重寫這個定義
4:55 - 4:58

如果我們說行向量或者矩陣A
4:58 - 5:04

等價於a11、a12,...a1n
5:04 - 5:08

我們寫下一列 a21 這裡到an1
5:08 - 5:12

一直寫到ann
5:12 - 5:14

之前我們看到過這些
5:14 - 5:18

對於矩陣B 通過相同的方法或相似的定義
5:18 - 5:22

這裡是b11 這個元素是b11
5:22 - 5:25

這是b12 一直到b1n
5:25 - 5:29

這是b21 第二行相同的方法一直到bn
5:29 - 5:34

對不起這裡是m 我們有m行所以這裡是mn
5:34 - 5:41

所以這裡是bm1 這裡將是bm2
5:41 - 5:47

相同的方法一直到bmn 在這裡
5:47 - 5:50

要細心點這些都是m×n矩陣
5:50 - 5:55

最下面的這一行是第m行兩個都是
5:55 - 5:59

但可以重新定義矩陣。。。準確來說
5:59 - 6:01

定義矩陣加法
6:01 - 6:04

矩陣A加上矩陣B
6:04 - 6:09

我僅僅需要它們的相應元素相加
6:09 - 6:10

所以最上面這個元素將是
6:10 - 6:12

用不同的顏色標記下來
6:12 - 6:16

它將會是a11+b11 這一個是
6:16 - 6:25

a21+b21 同樣的方法一直到am1+bm1
6:25 - 6:30

然後這裡將會是同樣的 a12+b12
6:30 - 6:32

同樣的方法一直到a1n
6:32 - 6:34

屏幕向右移一點
6:34 - 6:38

同樣的方法一直到a1n+b1n
6:38 - 6:43

緊接著依次到amn+bmn
6:43 - 6:45

這就是等價的定義
6:45 - 6:49

這裡花費了更少的空間去寫下它
6:49 - 6:50

做到這些我感覺很愉快
6:50 - 6:52

因爲我們同樣定義了向量加法運算
6:52 - 6:55

基本上歸結下來就是將
6:55 - 6:56

所有相應元素相加
6:56 - 6:58

這就是矩陣相加的全部內容
6:58 - 7:01

這可能是你最近的數學學習中
7:01 - 7:03

最簡單的定義之一
7:03 - 7:06

現在矩陣純量乘法
7:06 - 7:07

非常相似的概念
7:07 - 7:16

我們定義變換的純量乘法
7:16 - 7:21

等價於純量乘以x的變換
7:21 - 7:22

這就是定義
7:22 - 7:31

我們同樣定義純量乘以一個矩陣A
7:31 - 7:33

等價於這個純量。。。
7:33 - 7:36

一個新矩陣它的每一列是
7:36 - 7:39

純量乘以A的行向量
7:39 - 7:43

這是a1 接下來第二個向量是ca2
7:43 - 7:50

一直到can
7:50 - 7:52

做這些的動機是
7:52 - 7:54

可以簡單地寫爲
7:54 - 7:58

我提到過T=Bx
7:58 - 8:00

這個x的變換
8:00 - 8:05

和關於x的變換T是等價的
8:05 - 8:07

我們仍然知道c
8:07 - 8:10

這將會是c乘以矩陣B
8:10 - 8:12

再乘以向量x
8:12 - 8:14

這就是x的變換
8:14 - 8:15

可以被寫成的樣子
8:15 - 8:25

這將等價於非常巧妙的
8:25 - 8:26

我們在上一個影片做了這些
8:26 - 8:28

將矩陣被分成行向量的組合
8:28 - 8:30

讓行向量乘以x的相應元素
8:30 - 8:32

然後分配純量c
8:32 - 8:33

重新排列一下
8:33 - 8:35

我們現在可以說通過這些定義
8:35 - 8:39

這個等價於一個新矩陣cB
8:39 - 8:43

我通過應用這些定義新矩陣cB
8:43 - 8:46

它本質上是 c乘以B的每一列
8:46 - 8:47

再乘以向量x
8:47 - 8:50

這就是我們的動機
8:50 - 8:52

我們想要解釋這些通過一個新矩陣
8:52 - 8:55

和一個向量的乘積
8:55 - 8:57

因爲任何的線性變換都可以
8:57 - 8:59

表述成這種形式
8:59 - 9:01

這也是做這些定義的原因
9:01 - 9:03

現在應用一下
9:03 - 9:04

我將展示給你們的是
9:04 - 9:07

它可能比矩陣加法更簡單
9:07 - 9:12

如果你想讓純量5乘以這個矩陣
9:12 - 9:14

我將寫一個3×2矩陣
9:14 - 9:20

是[1,-1; 2,3; 7,0]
9:20 - 9:22

它將等於
9:22 - 9:25

通過我剛才說的定義
9:25 - 9:27

我讓純量乘以
9:27 - 9:28

矩陣的每一個行向量
9:28 - 9:29

所以這裡是5乘以1 2 7
9:29 - 9:30

但是這是什麽
9:30 - 9:32

這是5乘以每一個元素
9:32 - 9:33

這裡是51 等於5
9:33 - 9:36

52 等於10
9:36 - 9:39

57 等於35
9:39 - 9:42

接下來下一列將是5乘以這一列
9:42 - 9:45

它是5乘以它的每個元素
9:45 - 9:47

5-1 等於-5
9:47 - 9:50

53 等於15
9:50 - 9:52

50 等於0
9:52 - 9:53

這就是這個例子
9:53 - 9:56

從字面上講如果回到這個定義
9:56 - 10:01

可以定義關於矩陣的純量乘法
10:01 - 10:04

我們可以同樣定義cA等價於
10:04 - 10:06

我們說過這是A的表示
10:07 - 10:09

關於純量c乘以A的每個元素
10:09 - 10:10

就是這樣
10:10 - 10:14

所以它是c乘以所有元素 ca12
10:14 - 10:17

一直到ca1n
10:17 - 10:19

用同樣的方法
10:19 - 10:25

ca21 一直到cam1
10:25 - 10:26

然後我們沿著對角線向下
10:26 - 10:29

這裡是camn
10:29 - 10:31

字面上你只是將純量
10:31 - 10:34

乘以A中的每個元素
10:34 - 10:35

這就是你所做的
10:35 - 10:37

所以這裡需要澄清一點
10:37 - 10:39

它只是
10:39 - 10:41

高中學習的內容的複習

Title:: More on Matrix Addition and Scalar Multiplication
Description:: More on Matrix Addition and Scalar Multiplication

more » « less
Video Language:: English
Duration:: 10:41

David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Revision 1

David Chiu