More on Matrix Addition and Scalar Multiplication
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0:01 - 0:03在上一个视频中我们开始讲
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0:03 - 0:04两个线性变换
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0:04 - 0:07我们得到的Rn到Rm的线性变换S
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0:07 - 0:10是一个Rn到Rm的映射
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0:10 - 0:13然后我们得到线性变换T
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0:13 - 0:19T也是一个从 Rn到Rm的映射
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0:20 - 0:24我们定义这两个变换的
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0:24 - 0:26加法运算
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0:26 - 0:32S加上T 这个关于x的变换 我们定义
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0:32 - 0:42它等于关于x的S加上关于x的t
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0:42 - 0:46当然 这里的输入还是Rn
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0:46 - 0:49且得到的结果是 Rm上的向量
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0:49 - 0:51如果我们让两个Rm上的向量相加
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0:51 - 0:53我们得到另一个Rm上的向量
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0:53 - 0:56因为Rm是一个完全子空间
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0:56 - 0:57并且它还是封闭的
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0:58 - 0:59所以 这也是一个映射
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0:59 - 1:07所以 S+T仍然是一个Rn到Rm上的映射
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1:07 - 1:11我们说过 最近的视频里提到的
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1:11 - 1:12每一个线性变换都
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1:12 - 1:14可以被描述为一个矩阵
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1:14 - 1:18我们可以说 关于x的s等价于
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1:18 - 1:20一个矩阵A乘以x
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1:20 - 1:24同样 我们可以说关于x的t等价于
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1:24 - 1:27一个矩阵B乘以x
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1:27 - 1:29这两个矩阵都是m×n矩阵
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1:29 - 1:34我们可以写m×n 两个都是
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1:34 - 1:38因为这两个都是Rn到Rm的映射
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1:38 - 1:40我们得到另一个定义
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1:40 - 1:43这是我们得到的定义
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1:43 - 1:45稍后我们会得到另一个 定义
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1:45 - 1:49我们定义两个矩阵的加法运算
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1:49 - 1:54我么说任意矩阵A加上B
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1:54 - 1:59前提它们拥有相同的维数
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1:59 - 2:02在这里它们都是m×n的
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2:02 - 2:06我们定义这个加法得到一个新矩阵
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2:06 - 2:10这个矩阵的每一列
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2:11 - 2:13都是前两个矩阵相应列的和
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2:13 - 2:19所以这个矩阵的第一列将是
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2:19 - 2:21A的第一列和B的第一列的和
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2:21 - 2:26所以 a1+b1 下一列的计算我将写在新的一行里
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2:26 - 2:29这里是 a2+b2
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2:29 - 2:36直到an+bn
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2:36 - 2:40这是一个定义
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2:40 - 2:42这样定义的原因是
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2:42 - 2:45如果这样定义矩阵的加法 那么同样地
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2:45 - 2:51用Ax+Bx替换
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2:51 - 2:54上面的这些
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2:54 - 2:57等价于相应的矩阵
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2:57 - 3:02即A加上B乘以x
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3:04 - 3:07这就是这个漂亮表达的动机了
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3:07 - 3:11如此 在这里通过定义矩阵加法
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3:11 - 3:14这些看起来很抽象 我们来
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3:14 - 3:17做一个例子――两个矩阵相加
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3:17 - 3:20我们以2×2矩阵为例
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3:20 - 3:27这里 我让矩阵[1,3；-2,4]加上
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3:27 - 3:28注意它们拥有相同的维数
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3:28 - 3:35另一个矩阵[2,7；-3,-1]
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3:35 - 3:36我们会得到什么呢
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3:36 - 3:38通过定义 我们只要
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3:38 - 3:40让它们相应的列相加
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3:40 - 3:41你让第一列相加
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3:41 - 3:43当我们让相应的列相加时
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3:43 - 3:45两个列向量相加会产生什么呢、 两个向量
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3:45 - 3:47我们只是让它们相应的元素相加
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3:47 - 3:50基本上 当你让两个矩阵相加时
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3:50 - 3:52你仅仅是 让它们相应的元素相加
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3:52 - 3:53我在这里讨论它
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3:53 - 3:55仅仅是因为我定义它的方法
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3:55 - 3:56但是它们是等价的
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3:56 - 3:58首先 第一列
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3:58 - 4:00在这个矩阵里 在这里
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4:00 - 4:02将会是这个列向量加上这个列向量
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4:02 - 4:04所以 这里将会是1加上2
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4:04 - 4:05通过这种方法往下写
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4:05 - 4:08接下来是-2 -3
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4:10 - 4:15接下来是第二列 这里的这个
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4:15 - 4:20将是3+7 和4-1
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4:22 - 4:30所以这个等式等于[3,10；-5,3]
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4:30 - 4:33就像这样
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4:33 - 4:35注意 尽管这个定义是
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4:35 - 4:36让相应的列向量相加
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4:36 - 4:38会怎样呢？
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4:38 - 4:40我只是将相应的元素相加
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4:40 - 4:42我让1和2相加
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4:42 - 4:443和7相加 -2和3相加
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4:44 - 4:474和-1相加
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4:47 - 4:48这是很容易懂的
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4:48 - 4:50再没有比这简单的了
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4:50 - 4:53事实上 我们可以重写这个定义
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4:55 - 4:58如果我们说 列向量或者矩阵A
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4:58 - 5:04等价于a11、a12,...a1n
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5:04 - 5:08我们写下一列 a21 这里到an1
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5:08 - 5:12一直写到ann
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5:12 - 5:14之前我们看到过这些
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5:14 - 5:18对于矩阵B 通过相同的方法 或相似的定义
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5:18 - 5:22这里是b11 这个元素是b11
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5:22 - 5:25这是b12 一直到b1n
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5:25 - 5:29这是b21 第二行 相同的方法 一直到bn
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5:29 - 5:34对不起 这里是m 我们有m行 所以这里是mn
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5:34 - 5:41所以这里是bm1 这里将是bm2
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5:41 - 5:47相同的方法一直到bmn 在这里
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5:47 - 5:50要细心点 这些都是m×n矩阵
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5:50 - 5:55最下面的这一行是第m行 两个都是
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5:55 - 5:59但可以重新定义矩阵。。。 准确来说
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5:59 - 6:01定义矩阵加法
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6:01 - 6:04矩阵A加上矩阵B
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6:04 - 6:09我仅仅需要它们的 相应元素相加
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6:09 - 6:10所以 最上面这个元素将是
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6:10 - 6:12用不同的颜色标记下来
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6:12 - 6:16它将会是a11+b11 这一个是
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6:16 - 6:25a21+b21 同样的方法一直到am1+bm1
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6:25 - 6:30然后这里将会是 同样的 a12+b12
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6:30 - 6:32同样的方法一直到a1n
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6:32 - 6:34屏幕向右移一点
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6:34 - 6:38同样的方法一直到a1n+b1n
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6:38 - 6:43紧接着 依次到amn+bmn
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6:43 - 6:45这就是等价的定义
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6:45 - 6:49这里花费了更少的空间去写下它
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6:49 - 6:50做到这些我感觉很愉快
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6:50 - 6:52因为我们同样定义了向量加法运算
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6:52 - 6:55基本上归结下来就是将
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6:55 - 6:56所有相应元素相加
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6:56 - 6:58这就是矩阵相加的全部内容
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6:58 - 7:01这可能是你最近的数学学习中
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7:01 - 7:03最简单的定义之一
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7:03 - 7:06现在 矩阵标量乘法
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7:06 - 7:07非常相似的概念
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7:07 - 7:16我们定义 变换的标量乘法
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7:16 - 7:21等价于 标量乘以x的变换
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7:21 - 7:22这就是定义
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7:22 - 7:31我们同样定义 标量乘以一个矩阵A
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7:31 - 7:33等价于这个标量。。。
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7:33 - 7:36一个新矩阵 它的每一列是
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7:36 - 7:39标量乘以A的列向量
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7:39 - 7:43这是a1 接下来第二个向量是ca2
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7:43 - 7:50一直到can
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7:50 - 7:52做这些的动机是
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7:52 - 7:54可以简单地写为
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7:54 - 7:58我提到过T=Bx
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7:58 - 8:00这个x的变换
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8:00 - 8:05和关于x的变换T是等价的
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8:05 - 8:07我们仍然知道c
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8:07 - 8:10这将会是c乘以矩阵B
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8:10 - 8:12再乘以向量x
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8:12 - 8:14这就是x的变换
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8:14 - 8:15可以被写成的样子
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8:15 - 8:25这将等价于 非常巧妙的
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8:25 - 8:26我们在上一个视频做了这些
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8:26 - 8:28将矩阵被分成列向量的组合
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8:28 - 8:30让列向量乘以x的相应元素
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8:30 - 8:32然后分配标量c
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8:32 - 8:33重新排列一下
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8:33 - 8:35我们现在可以说 通过这些定义
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8:35 - 8:39这个等价于一个新矩阵cB
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8:39 - 8:43我通过应用这些定义 新矩阵cB
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8:43 - 8:46它本质上是 c乘以B的每一列
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8:46 - 8:47再乘以向量x
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8:47 - 8:50这就是我们的动机
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8:50 - 8:52我们想要解释这些 通过一个新矩阵
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8:52 - 8:55和一个向量的乘积
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8:55 - 8:57因为任何的线性变换都可以
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8:57 - 8:59表述成这种形式
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8:59 - 9:01这也是做这些定义的原因
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9:01 - 9:03现在应用一下
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9:03 - 9:04我将展示给你们的是
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9:04 - 9:07它可能比矩阵加法更简单
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9:07 - 9:12如果你想让标量5乘以这个矩阵
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9:12 - 9:14我将写一个3×2矩阵
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9:14 - 9:20是[1,-1; 2,3; 7,0]
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9:20 - 9:22它将等于
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9:22 - 9:25通过我刚才说的定义
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9:25 - 9:27我让标量乘以
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9:27 - 9:28矩阵的每一个列向量
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9:28 - 9:29所以 这里是5乘以1 2 7
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9:29 - 9:30但是 这是什么
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9:30 - 9:32这是5乘以每一个元素
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9:32 - 9:33这里是5*1 等于5
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9:33 - 9:365*2 等于10
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9:36 - 9:395*7 等于35
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9:39 - 9:42接下来 下一列将是5乘以这一列
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9:42 - 9:45它是5乘以它的每个元素
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9:45 - 9:475*-1 等于-5
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9:47 - 9:505*3 等于15
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9:50 - 9:525*0 等于0
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9:52 - 9:53这就是这个例子
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9:53 - 9:56从字面上讲 如果回到这个定义
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9:56 - 10:01可以定义关于矩阵的标量乘法
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10:01 - 10:04我们可以同样定义cA等价于
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10:04 - 10:06我们说过这是A的表示
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10:07 - 10:09关于标量c乘以A的每个元素
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10:09 - 10:10就是这样
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10:10 - 10:14所以 它是c乘以所有元素 c*a12
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10:14 - 10:17一直到c*a1n
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10:17 - 10:19用同样的方法
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10:19 - 10:25ca21 一直到cam1
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10:25 - 10:26然后我们沿着对角线向下
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10:26 - 10:29这里是c*amn
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10:29 - 10:31字面上 你只是将标量
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10:31 - 10:34乘以A中的每个元素
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10:34 - 10:35这就是你所做的
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10:35 - 10:37所以这里需要澄清一点
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10:37 - 10:39它只是
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10:39 - 10:41高中学习的内容的复习
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chezisu1988 added a translation |