-
Geçen videoda doğrusal transformasyonla başlamıştık.
-
Rn'den Rm'ye eşleştirme olan doğrusal transformasyon s vardı.
-
Sonra, yine Rn'den Rm'ye eşleştirme olan doğrusal transformasyon t'yi öğrendik.
-
Ve, bu iki transformasyonun toplamını tanımladık.
-
Yani, s artı t, (x'in) transformasyonu eşittir
-
x'in s fonksiyonu artı x'in t fonksiyonu olarak tanımladık.
-
Ve elbette, giriş hala Rn'den, ve bu vektörlerin hepsi Rm'nin içindedir.
-
Eğer bu Rm'nin içinde olan iki vektörü toplarsak,
-
Rm'nin içinde başka bir vektör elde ederiz; çünkü Rm geçerli bir altuzaydır.
-
Aynı zamanda, toplama altında kapalıdır.
-
Yani bu hala bir eşleştirmedir.
-
Bu yüzden s artı t hala Rn'den Rm'ye bir eşleştirmedir.
-
Ayrıca, geçen videoda gösterdiğimiz her doğrusal transformasyon bir matrix olarak tanımlanabilir demiştik.
-
(x'in) s fonksiyonu,
-
a çarpı x matriksine eşittir diyebiliriz.
-
Ve ayrıca, (x'in) t fonksiyonunun,
-
b matriksi çarpı x matriksine eşit olduğunu da söyleyebiliriz.
-
S ve t matrikslerinin ikisi de m'nin n'ye karşı olduğu matrikslerdir.
-
M'e karşı n'nin ikisini de yazalım.
-
Çünkü bunların ikisi de Rn'den Rm'ye olan eşleşmelerdir.
-
Ve yaptığımız şey başka bir tanımlamadır.
-
Bu burada başka bir tanımlamaydı ve sonra bir tane daha tanımlama yaptık.
-
İki matriksin toplamını tanımladık.
-
A ile b'nin toplamı olan herhangi bir matriks,
-
aynı boyutlara sahip olmalıdır.
-
İki matriks de, bu durumda, m'ye karşı n'dir.
-
Ve bu toplamayı yeni bir matriks olarak tanımladık.
-
Yeni matriksin her sütunu, A ve B matrikslerinin uyan sütunlarının toplamıdır.
-
Yani, bu matriksin ilk sütunu a'nın ilk sütunu ve b'nin ilk sütununun toplamıdır.
-
Bu da demek oluyor ki, a1 artı b1, ikinci sütun,
-
a2 artı b2'dir.
-
Ve bu An artı Bn'ye kadar gider.
-
Bu bir tanımlamaydı.
-
Bu tanımlamayı yapmamızın sebebi şu ki,
-
eğer bir matriks toplamını böyle tanımlarsak,
-
Sx artı Tx'i, Ax artı Bx'e değiştirince,
-
tanıma bağlı olarak,
-
a artı b çarpı x olduğu sonucuna varıyoruz.
-
Bu, matriks toplamasını tanımlamak ve uygun bir ifadeye ulaşmamız için bir motivasyon oluyor.
-
Şimdi bunların hepsi çok soyut gözüküyor, bu yüzden
-
bir, veya iki tane matriks ekleyelim.
-
Örnek olarak ikiye iki durumuyla başlayalım.
-
Yani 1,3, negatif 2 ve 4 matrikslerine,
-
aynı boyutta olmaları gerektiğini unutmadan,
-
matriks 2, 7, negatif 3 ve negatif 1'i ekleyelim.
-
Sonuç ne olur?
-
Tanımlamaya bakarsak, sadece uyan sütunlarını eklemeliyiz.
-
1'inci sütunu ekleyelim.
-
Uyan sütunları birbirleriyle toplarsak, iki sütunu ekleyince ne olur?
-
İki vektör mü?
-
Sadece uyan girişlerini ekliyoruz.
-
Yani aslında, iki matriksi toplayınca, sadece
-
tüm uyan girişleri toplamış oluyoruz.
-
Bundan tanımladığımız gibi bahsedeyim,
-
ama bunların hepsi eştir.
-
Öncelikle, ilk matriksteki ilk sütun,
-
bu sütunla burdakini toplamın olacak.
-
Yani 1 artı 2,
-
sonra negatif 2 eksi 3 olacak.
-
Ve sonra ikinci sütun,
-
3 artı 7 ve sonra 4 eksi 1 olacak.
-
Yani bu 3, 10, negatif 5 ve 3'e eşit olacak.
-
Ve tanımlamaya göre uyan sütunları topluyorum.
-
Yani ne oldu?
-
Sadece, uyan girişleri topluyorum.
-
1'i, 2 ile, 3'ü 7 ile,
-
2'yi negatif 3 ile ve 4'ü negatif 1 ile topladım.
-
Bu kadar basit.
-
Daha karışık bir şey yok.
-
Aslında, bu tanımlamayı şöyle de yazabilirdik:
-
Vektör veya matriks a, a bir bire, a bir iki'ye yani devam edersek a1m'ye kadar eşit diyelim.
-
Ve sonra aşağı inersek a iki birden (2 1) a1m'ye kadar anlamına geliyor.
-
Ve sonra en aşağı amn'ye kadar inelim.
-
Bunu daha önce görmüştük.
-
Ve sonra b matriksi, yine aynı argüman veya
-
yakın tanımlamayla, b bir bir (1 1),
-
b bir iki (1 2), bm1'ye kadar gidecek.
-
b21, ikinci sıra, bmn'ye kadardır.
-
Yani bm1 sonra bm2 ve
-
bmn'ye kadar gider.
-
Bunlar m'ye karşı n matriksleridir.
-
Yani iki durumda da sıra m'ninci sıradır.
-
Ama matriksimizi yeniden tanımlayabiliriz veya başka bir
-
şekilde matriks toplamasının tanımını belirtebiliriz. Eğer
-
a artı b ekliyeceksek, sadece uyan girişleri ekleyeceğiz.
-
Yani giriş,
-
a11(bir bir) artı b11 (bir bir),
-
a21 (iki bir) artı b21(iki bir), ve böyle am1 artı bm1'e kadar gidecek.
-
Ve sonra, tabi ki, a12 (bir iki)artı b12 (bir iki),
-
a1n artı b1n'ye kadar ve sonra da
-
amn artı bmn'ye kadar gidecek.
-
Bunlar eş tanımlamalardır.
-
Bunu yazmak çok daha az yer alır ancak,
-
bunu yaparken rahat hissettim çünkü daha önceden
-
vektör toplamını tanımlamıştık.
-
Ama aslında, bu tüm uyan girişleri toplamaya getiriyor bizi.
-
Matriks toplamı bu kadar.
-
Bu herhalde son gördüğünüz matematik tecrübelerinizin en kolayı.
-
Şimdi, matriks sayısal çarpma,
-
çok benzer bir düşünce.
-
Sayısal çarpma çarpı a'yı
-
x transformasyonunu skala çarpı
-
x transformasyonuna eşit olarak tanımladık.
-
Bu bir tanımlamaydı.
-
Ve ayrıca skala çarpı bir matriks a'yı
-
skalaya eşit olarak tanımladık.
-
Yeni bir matriks'te, her sütunu, skala çarpı
-
a'nın sütun vektörleri olur.
-
Yani a1, ve sonra bir sonraki sütun ca2 ve can'ye kadar gidiyoruz.
-
Bunu yapmamızın bütün sebebi,
-
x'in t transformasyonuna basitleştirilebilir olduğunu göstermekti.
-
Yani hala c var.
-
Böylece, c çarpı, B matriksi
-
çarpı x vektörü olacak.
-
Bu x'in transformasyonunun başka şekilde yazımıdır.
-
Bunu geçen videoda sütun vektörlere bölüp x'in her bir elementiyle çarparak göstermiştim
-
ve sonra c'yi dağıtıp birazcık sırasını değiştirerek yapmıştık.
-
Şimdi bu tanımı kullanarak yeni matriksin cB'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz.
-
Bu tanımı, yeni bir matriks cB,
-
aslında c çarpı B'nin her bir sütun vektörleri
-
çarpı x olarak kullanıyoruz.
-
Amacımız buydu.
-
Bunu bir matriks ve bir vektörün çarpımı olarak ifade edebiliriz
-
çünkü herhangi bir doğrusal transformasyon
-
böyle ifade edilebilir olmalı.
-
Bu yüzden bu tanımlamayı yaptık.
-
Şimdi uygulayalım.
-
Bundan daha da basit bir matriks toplaması göstemek istiyorum size.
-
Skalayı, 5 kere matriks ile çarpacağız.
-
3'e karşı 2 matriksi yapalım.
-
Yani 1, negatif 1, 2, 3, 7, 0.
-
Bu tanımlamayla
-
skalayı her bir sütun vektörüyle çarpıyorum.
-
Yani 5 çarpı 1, 2, 7 olacak.
-
Ama nedir bu?
-
Bu sadece 5 kere her bir giriştir.
-
5 çarpı 1, yani 5.
-
5 çarpı 2, yani 10.
-
5 çarpı 7 yani 35.
-
Ve bir sonraki sütun 5 çarpı bu sütun
-
yani 5 çarpı her bir giriş olacak.
-
Böylece, 5 çarpı negatif 1 negatif 5'e eşit olacak.
-
5 çarpı 3 eşittir 15.
-
5 çarpı 0 eşittir 0.
-
Bu kadar basit.
-
Eğer tanımlamaya geri dönersek,
-
matriksin sayısal çarpımını tanımlayabiliriz.
-
Yani aynı zamanda cA'yı, eğer A'nın temsili dersek,
-
c çarpı
-
A'nın her bir girişi olarak tanımlayabiliriz.
-
Bu kadar.
-
Yani c çarpı a 11, c çarpı a 12 ve a1n'e kadar olacak.
-
C çarpı a21,
-
c çarpı am1'e kadar gideriz.
-
Ve eğer diyagonal gidersek c çarpı amn olur.
-
Yani sadece skalayı alıyorsun ve A'nın her bir girişi ile çarpıyorsun.
-
Ve yapman gereken tek şey bu.
-
Umarım ki, bir şeyleri açıklığa kavuşturdum, veya
-
belki de bunlar birazcık lisede öğrendiklerinizin yeniden incelemesiydi.
-
-
