Więcej na temat dodawania macierzy i mnożenia przez skalar.

Wprowadzone zostają definicje wraz z przykładami dodawania macierzy oraz mnożenia ich przez stałą.

W poprzednim filmie zaczęliśmy od wprowadzenia dwóch

przekształceń liniowych.

Mieliśmy przekształcenie s, które

przeprowadza Rn na Rm.

Mieliśmy również przekształcenie t, które

także przekształcało Rn na Rm.

Zdefiniowaliśmy dodawanie tych dwóch

przekształceń liniowych.

Więc s+t, jest przekształceniem x, zdefiniowanym

jako s(x) +t(x), czyli sumę dwóch wektorów.

onownie nasze przekształcenie jest zdefiniowane na Rn, i

każdy z wektorów z wyniku jest z Rm.

Dodając do siebie dwa wektory z Rm otrzymujemy

kolejne wektor z Rm, gdyż jest to przestrzeń liniowa.

Zatem jest ona zamknięta ze względu na dodawania.

Więc w konsekwencji otrzymujemy przekształcenie liniowe.

Czyli s+t jest przekształceniem z Rn do Rm.

Powiedzieliśmy również, że każde przekształcenie liniowe

które pokazaliśmy w poprzednim filmie może być przedstawione za pomocą macierzy.

Możemy powiedzieć, że s(x) jest równe

macierzy A pomnożonej przez x.

Dodatkowo można również powiedzieć, że t(x) jest równe

pewnej macierzy B pomnożonej przez X.

Każda z tych macierzy jest rozmiaru m x n.

Zapiszmy więc, że są one rozmiaru m x n.

Dzieje się tak dlatego, że są one przekształceniami z Rn do Rm.

To co zrobiliśmy, to wypowiedzenie następnej definicji.

To w tym miejscu było definicją i napisaliśmy

kolejną definicję.

Zdefiniowaliśmy dodawanie dwóch macierzy.

Powiedzieliśmy, że każda macierz A i B do zdefiniowania dodawania muszą

mieć ten sam wymiar.

Zatem każda z nich w naszym wypadku jest wymiaru m x n.

Wówczas zdefiniowaliśmy dodawanie którego wynikiem jest nowa macierz, której

każda z kolumn jest sumą kolumn jej odpowiadających

macierzy które dodawaliśmy.

Oznacza to, że pierwsza kolumna będzie sumą pierwszej kolumny A

oraz pierwszej kolumny macierzy B.

Zapiszmy to zatem jako A1+B1

Następną kolumnę zapisujemy po linii jako A2+B2.

Zapisujemy tak dalej aż do n-tej kolumny, która wynosi An +Bn.

To również była definicja.

Powodem, dla którego wprowadziliśmy tę definicję, jest to, iż

jeśli zdefiniujesz dodawania macierzy w ten sposób, to

tę sumę zapisując jako Ax + Bx można

w ostateczności zapisać w postaci

(A+B)x.

Otrzymanie tak prostego zapisu na dodawanie przekształceń, było motywacją,

dla której wprowadziliśmy definicję dodawania macierzy.

To wszystko wygląda na bardzo abstrakcyjne, dlatego

dodajmy do siebie dwie macierze.

Na początek rozważymy macierze wymiaru 2 na 2.

Dodajmy więc macierz 1,3; -2,4 do drugiej macierzy,

która jak przypominamy musi być tego samego wymiaru,

i niech wynosi ona 2,7;-3,-1.

Co w ten sposób otrzymujemy?

Zgodnie z definicją dodajemy tylko

ich odpowiadające sobie kolumny.

Dodajmy pierwszą kolumnę.

Jeśli dodasz odpowiadające sobie kolumny,

co się stanie jeśli dodasz do siebie dwa wektory?

Dodajesz oczywiście odpowiadające sobie współrzędne.

Więc w rzeczywistości dodając do siebie dwie macierze,

dodajesz tylko odpowiadające sobie elementy w tych macierzach.

Będę mówił o tym jednak w języku dodawania kolumn, gdyż

w ten sposób definiowaliśmy dodawanie, jednak definicje te są sobie równoważne.

Pierwsza kolumna w naszej macierzy wyjściowej będzie

sumą tej kolumny oraz tej kolumny.

Będzie to zatem 1 +2, co zapiszę w tej właśnie formie,

a następnie - 2 - 3.

Druga kolumna natomiast będzie wynosiła

3+7 oraz 4 - 1.

Zatem ostatecznie otrzymujemy macierz gdzie odpowiednie wiersze to 3,10 oraz

-5, 3.

Pomimo naszej poprzedniej definicji dodajemy

do siebie odpowiadające kolumny.

Co w takim razie dokładnie się wydarzyło?

Jak łatwo zauważyc dodaje do siebie odpowiadające sobie elementy.

Dodałem kolejno 1 do 2, 3 do 7, -2 do

-3 oraz 4 do -1.

To takie proste.

Niczego skomplikowanego w tym nie ma.

W zasadzie moglibyśmy nawet przeformułować naszą definicję.

Jeśli napiszemy, że wektor macierzy A wynosi a11,

a12 i tak aż do a1n.

Następnie idziemy na dół do a21 aż do an1.

Ostatecznie idziemy do prawego dolnego rogu aż do ann.

Widzieliśmy to wcześniej.

Macierz B oznaczamy analogicznie,

ten element to b11, ten to

b12, aż do b1n.

Ten jest równy b21, drugi wiersz, aż do bn, ah przepraszam za pomyłkę, to jest

m, gdyż mamy m wierszy, czyli to jest mn.

Więc to jest bm1, to byłoby bm2, aż do

bmn, w tym miejscu.

Musimy być ostrożni, gdyż są to macierze m na n.

Zatem ten wiersz jest m-tym wierszem w każdym z dwóch przypadków.

Moglibyśmy jednak przedefiniować naszą macierz, albo powiedzieć

w momencie podawania definicji dodawania macierzy, że

mając za zadanie dodać do siebie macierze A i B, to jedyne co zrobię, to dodam do siebie

odpowiadające sobie elementy.

Więc element tutaj będzie - zrobię to w innym kolorze,

to będzie a11 +b11, ten będzie równy

a21 + b21 aż do am1+ bm1.

To w oczywisty sposób będzie równe a12+ b12, aż do

a1n... przewinę trochę w dół.... aż do

a1n +b1n i ostatecznie aż do

amn +bmn.

Te definicje są sobie równoważne.

Ten sposób zabiera zdecydowanie mniej zapisu i

zdecydowałem się go użyć, gdyż wprowadziliśmy już

dodawanie wektorów.

Ostatecznie jednak każda definicja zmusza Cię do dodania wszystkich

odpowiadających sobie elementów.

To wszystko czym jest dodawanie macierzy.

To pewnie najłatwiejsza rzecz jaką

widziałeś w swojej ostatniej matematycznej historii.

Teraz przejdziemy do mnożenia macierzy przez stałą, któremu

przyświeca bardzo podobny pomysł.

Zdefiniowaliśmy wcześniej mnożenie przez skalar

przekształcenia liniowego T na x jako skalar razy

przekształcenie T na x.

Taka była nasza definicja.

Czyli mamy również, że skalar razy macierz A

Będzie równy nowej macierzy, gdzie każda kolumna jest naszym skalarem

pomnożonym przez odpowiadającą jej kolumnę macierzy A.

Zatem mamy a1, następna kolumna to ca2 i postępujemy tak

dla całej macierzy.

Powodem dla którego wprowadzamy taką definicję jest to, iż to

mogliśmy uprościć, gdyż Tx miało być równe Bx,

przekształcenia na x zdefiniowane jako T było

równe Bx.

W dalszym ciągu mamy naszą stałą c.

Będziemy zatem mieli c * B

pomnożona przez wektor x.

W ten sposób możemy zapisać nasze przekształcenie liniowe na x.

Więc to byłoby równe przez przekształcenia, które

zrobiliśmy w poprzednim filmie rozbijając to na

wektory złożone z kolumn i następnie mnożąc przez każdy element

wektora x, a następnie wprowadzając c i porządkując

wszystko nieznacznie.

Możemy zatem powiedzieć, w oparciu o definicje, że jest to równe

pewnej nowej macierzy cB.

Używamy tej definicji, pewna macierz cB, gdzie

równa jest ona macierzy B której każdą kolumnę mnożymy przez c

pomnożoną przez x.

To był powód naszych przekształceń.

Chcieliśmy przedstawić to wyrażenie jako iloczyn pewnej nowej

macierzy i wektora, gdyż każde przekształcenie liniowe powinno być

możliwe do zapisania w tej właśnie formie.

W takim właśnie celu wprowadziliśmy tę definicję.

Zastosujmy ją teraz.

Chciałem również pokazać, że to może być nawet prostsze

niż dodawanie macierzy.

Więc jeśli chcemy pomnożyć macierz przez 5,

w tym przykładzie macierz 3 na 2.

Niech będzie to macierz 1,-1;2,3;7,0.

To mnożenie możemy policzyć na mocy tej definicji,

za pomocą mnożenia przez skalar poszczególnych

kolumn naszej macierzy.

Więc mnożymy 5 przez 1,2,7.

Co zatem otrzymujemy?

Mnożymy 5 przez każdy z elementów.

Mamy 5 razy 1, czyli 5.

5 razy 2, czyli 10.

5 razy 7, czyli 35.

Następnie drugą kolumnę mnożymy przez 5,

czyli każdy element mnożymy przez 5.

5 razy -1 daje nam -5.

5 razy 3 daje 15.

5 razy 0 to 0.

To takie proste!

Jeśli powrócimy do tej definicji, to możemy

zdefiniować mnożenie macierzy przez skalar.

Czyli możemy zdefiniować cA jako równe, powiedzmy

to jest przedstawienie macierzy A, jako mnożenie skalaru

przez każdy element macierzy A.

To wszystko.

Czyli mamy odpowiednio c a11, c 12,

aż do c* a1n.

Następnie idziemy w dół otrzymując c*a21 aż do

c* am1, a potem idąc przekątną otrzymamy

c* amn.

Dosłownie bierzesz skalar c i mnożysz go przez

każdy element macierzy A.

To wszystko co musisz zrobić.

Mam nadzieję, że to wyjaśniło pewne kwestie, albo

może film ten stanowił podsumowanie tego, czego mogłeś

się nauczyć na studiach.