Veel maatriksite liitmisest ja skalaarkorrutistest.

More on Matrix Addition and Scalar Multiplication

Viimases videos, me alustasime kahe lineaar

teisendusega.

Meil oli teisendus s mis oli

kujutis Rn-ist Rm-i.

Ja siis oli meil teisendys t, mis oli

samuti kujutis Rn-ist Rm-i.

Ja me defineerisime nende kahe teisenduse

liitmise.

S pluss t, see x-i teisendus nagu me defineerisime

on võrdne

Ja muidugi, see sisend on ikkagi Rn-ist ja siis

need mõlemad vektorid on Rm-is.

Kui me liidame Rm-i vektorid üksteisega, siis me saame

vektori Rm-ist sest Rm on osahulk.

Se on samuti kinnine liitmise puhul.

Niisiis, see on ikkagi teisendamine.

S pluss t on ikkagi Rn-i kujutis Rm-i.

Iga lineaarset teisendust, mida eelnevates klippides

näinud olete, saab kujutada maatriksina.

Ma võime öelda, et s x-ist on võrde mingi

a korda x maatriksiga.

Ja samuti, t x-ist on võrdne mingi

b korda x maatriksiga.

Ja mõlemad nendest oleksid m kordan maatriksid.

Las ma kirjutan selle m korda n, mõlemad.

Kuna need on mõlemad kujutised Rn-ist Rm-i.

Ja me tegime uue definitsiooni.

See siin olidefinitsioon ja me tegime uue

definitsiooni.

Me defineerisime kahe maatriksi summa.

Me ütlesime, et iga maatrixi a ja b puhul, neil

peavad olema samad mõõtmed.

Selle näite puhul on need m korda n.

Ja me defineerisime, et see summa on uus maatriks, kus

iga veerg sellest maatriksist on vastavate veergude summa

nendest maatriksitest.

Selle maatriksi esimene veerg on a esimese veeru ja

b esimese veeru summa.

a1 pluss b1, teine veerg, ma teen väikse joone siia,

on a2 pluss b2.

Ja nii käib see kuni An ja Bn summani.

See oli deffinitsioon.

Ja miks me üldse selle deffinitsiooni tegime, oli

seetõttu, et kui niiviisi maatriksi liitmist defineerida, siis

kui sa selle asendad Ax pluss Bx, sa saad

et see asi siin on võrdne vastava

maatriksiga, a plus b korda x.

See oli motivatsioon, et saada

lihtsalt defineerida maatriksi summat.

Nüüd, see kõik tundub väga abstraktne, et nüüd liidame

maatriksi, või isegi liidame kaks maatriksi.

Alustame kaks-korda-kaks olukorraga.

Ütleme, et ma liidan maatriksi 1, 3, miinus 2, 4

maatriksile, mäletagem, et neil peavad olema samad mõõtmed,

maatriksile 2,7, miinus 3, miinus 1.

Mille me saame?

Definitsiooni järgi, peame lihtsalt liitma

vastavad veerud.

Sa liidad esimese veeru.

Kui sa liidad vastavad veerud, mis

juhtub, kui sa liidad kaks veergu, kaks vektorit?

No, siis sa lihtsalt liidad nende vastavad kogud.

Põhimõtteliselt, kui sa liidad maatrikse, sa lihtsalt

liidad kõik vastavad kogud.

Ma räägin sellest sellisel viisil, kuna nii ma selle

defineerisin, aga need kõik on samaväärsed.

Esimene asi, esimene veerg selles maatriksis siin,

on see veerg liita see veerg.

See saab olema 1 pluss 2, las ma kirjutan selle nii

siis miinus 2, miinus 3.

Ja siis see teine veerg, see siin, saab olema

3 pluss 7 ja siis 4 miinus 1.

See on võrdne 3, 10, miinus 5 ja

3, lihtsalt nii.

Pange tähele, kuigi definitsioon on, et ma liidan

vastavad veerud.

Mis siis juhtus?

Ma lihtsalt liidan vastavad sissekanded.

Ma liitsin ühe kahele, kolme seitsmele, miinus kahe

miinus kolmele, nelja miinus ühele.

See on otsekohene.

Ei midagi keerulisemat.

Ma oleksime võinud selle definitsiooni uuesti kirjutada.

Kui me ütleme, et vektro või maatriks a on võrdne a11

a12, kuni a1n.

Ja kui sa lähed allapoole, see on a21 kuni a1n.

Ja siis sa lähed täitsa alla, ann-ini.

Me oleme seda varem näinud.

Ja siis maatriks b, sama argumendi võrra

või sarnase deffinitsiooni, see on b11,

b12, kuni b1n.

See on b21, teine rida, kuni bn-ini. Oih

see on hoopis m, meil on m rida, see on mn.

See siin on bm1, see oleks bm2 kuni

siia, bmn-ini.

Oleme ettevaatlikud, need on m korda n maatriksid.

See rida siin on m-is rida, mõlemal juhul.

Kuid me võiksime maatriksi uuesti defineerida,

saame me öelda, et

kui ma liidan a ja be, siis ma

liidan vastavad sisendid.

See siin saab olema -teen teise värviga-

saab olema a11 pluss b11, see siin

a21 pluss b21, kuni alla am1 pluss bm1-ni

See saab olema a12 pluss b12, kuni

a1n-ini

kuni a1n pluss b1n-ini, kuni

amn pluss bmn-ini.

Need on samaväärsed definitsioonid

See võtab vähem ruumi kirjutamiseks, jama tundsin

end mugavalt, kuna me oleme juba

defineerinud vektorite liitmise.

See kõik koondub tegelikult

vastavate sisendite liitmisele.

See ongi maatriksi liitmine.

See on arvatavasti üks lihtsamaid asju,

sa oled näinud, hiljutistes matemaatilistes eksperimentides.

Nüüd, maatriksi skalaarkorrutis

väga sarnane idee.

Me defineerisime skalaarkorrutise korda a

x-i teisenduse, et see on võrdne skalaarkorrutis korda

x-i teisendus.

See oli definitsioon.

Ja me defineerisime skalaari korda maatriks a, mis on

võrdne skalaariga.

Uus maatriks, kus iga selle veerg on skalaari ja a veeru

vektori korrutis.

a1 ja järgmine veerg on ca2

ja siis sa teed terve tee niimoodi.

Selle mõtte oli, et seda

saaks lihtsustada -- t oli võrdne Bx-iga a korda

xi lihtsustus, t lihtsustus x-ist

oli võrdne.

Meil on ikka meie c

See on c korda maatriks B,

korda vektor x.

Sedasi saame x-i lihtustust kirjutada.

korrutades veeru vektorid x-i komponentidega

ja siis

natukene.

Nüüd saab öelda, kasutades seda definitsiooni, et see on võrdne

mingi uue maatriksi cB-ga

Me kasutame seda definitsiooni, mingi uue maatriksi cB

kus see on c korda iga B veeru

vektor korda x.

See oli meie motivaator.

Me tahame seda kasutada kui mõne uue maatriksi ja

vektori produkti, sest kõik lihtsustused

tuleks väljendada sel viisil.

Ja selle pärast tegime me selle definitsiooni.

Rakendame nüüd seda.

Ma tahtsin näidata, et see on isegi lihtsam,

kui maatriksi liitmine.

Kui me tahame korrutada skalaar 5 korda maatriks,

ma teen 3 korda 2 maatriksi.

1, miinus 1, 2, 3, 7, 0.

See on võrde...definitsiooni järgi, ma lihtsalt

ütlen, ma korrutan iga veeru vektori

skalaariga.

See on 5 korda 1, 2, 7.

Mis see on?

See on lihtsalt 5 korda sisend.

See on 5 korda 1, mis on 5.

5 korda 2, mis on 10.

5 korda 7, mis on 35.

Järgmine veerg: 5 korda see veerg siin.

mis on viis korda iga sisend.

5 korda miinus 1 on miinus 5.

5 korda 3 on 15.

5 korda 0 on 0.

See on nii lihtne!

Kui me pöördume tagasi deffinitsiooni juurde, saame

defineerida maatriksi skalaarkorrutise.

Me saame defineerida, et

Nii ongi.

C korda a11, c korda a12, kuni

c korda a1n-ini.

C korda a21, kuni c

korda am1, ja kui sa lähed diagonaalselt

tuleb c korda amn.

Sa korrutad skalaari A

iga sisendiga.

Ja see on kõik, mis sa pead tegema.

Loodetavasti see tegi asja selgemaks

võib-olla oli see pigem ülevaade

asjadest, mida sa õppisid keskkoolis.