More on Matrix Addition and Scalar Multiplication

More on Matrix Addition and Scalar Multiplication

قد بدأنا في العرض الاخير

بتحويلين خطيتين

كان لدينا التحويل الخطي s والذي

يصل من Rn الى Rm

ثم كان لدينا التحويل الخطي t، والذي كان

ايضاً يصل من Rn الى Rm

وقد عرفنا فكرة جمع هذان

التحويلان

اي s + t، هذا تحويل x وعرفناه

على انه s(x(، هذا المتجه + t(x(

وبالطبع، هذا المدخل لا يزال من Rn، ثم ان كل

من هذه تعتبر متجهات في Rm

اذا جمعنا متجهين في Rm، سنحصل على

متجه آخر في Rm لأن Rm عبارة عن فضاء جزئي صالح

انه ايضاً مغلق تحت اطار الجمع

لا يزال هذا ربطاً

اذاً s + t لا يزال عبارة عن وصل من Rn الى Rm

وقد قلنا ايضاً ان كل تحويل خطي قد

وضحناه في عرض سابق، يمكن ان يمثل كمصفوفة

يمكننا ان نقول ان s(x( =

المصفوفة x × a

يمكننا ايضاً ان نقول ان t(x( =

المصفوفة x × b

وكل منهما عبارة عن مصفوفة m×n

دعوني اكتب ذلك، كلاهما m×n

لأن كلاهما تعتبران ربط من Rn الى Rm

وما فعلناه هو اننا كوّنا تعريف آخر

كان هذا التعريف هنا وكوّنا

تعريفاً آخر

لقد عرفنا جمع مصفوفتان

وقلنا ان اي مصفوفة a + b، كلاهما يجب ان تحتويا على

نفس الابعاد

وفي هذه الحالة كلاهما مصفوفة m×n

وقد عرفنا ان هذا الجمع ناتجه يكون مصفوفة جديدة، حيث ان كل

عامود في هذه المصفوفة عبارة عن مجموع

الاعمدة المتماثلة في المصفوفات

اذاً العامود الاول من هذه المصفوفة سيكون مجموع اول عامود من a

واول عامود من b

اي a1 + b1، العامود الثاني، سأقوم بعمل خط

هنا، هو a2 + b2

الى ان نصل الى An + Bn

كان هذا تعريفاً

وسبب تكوين هذا التعريف هو

لأنه اذا عرفنا جمع المصفوفات بهذه الطريقة، بالتالي

هذا، عندما نعوضه بـ Ax + Bx، سنحصل على

هذا الشيئ هنا ويكون مساوياً

للمصفوفات المتماثلة بحسب هذا التعريف، (a + b) × x

كان هذا الدافع للحصول على عبارة جيدة، مثل

هذه، لكي نعرف جمع المصفوفات بهذه الطريقة

الآن يبدو هذا كله مختصراً، لذا دعونا

نجمع مصفوفات، او عونا نجمع مصفوفتين

سوف نبدأ بمصفوفات 2×2

لذا دعونا نفترض انني اجمع المصفوفة 1, 3, -2, 4 مع

المصفوفة --تذكروا انه يجب ان يكون لهما نفس الابعاد-- مع

المصفوفة 2, 7, -3, -1

على ماذا نحصل؟

حسناً، بحسب التعريف، نقوم بجمع

اعمدتهما المتماثلة

نجمع العامود الاول

عندما نجمع الاعمدة المتماثلة، ماذا

يحدث عندما نجمع عامودان، متجهان؟

حسناً، نقوم فق بجمع مدخلاتهما المتماثلة

اذاً عندما نجمع مصفوفتان، نقوم فقط

بجمع جميع المدخلات المتماثلة

سأتحدث عنه بهذه الطريقة، لأنني

قمت بتعريفه هكذا، لكنهم متساوون جميعاً

الشيئ الاول، او العامود الاول، في هذه المصفوفة

هنا، سيكون هذا العامود + هذا العامود

اي سيكون 1 + 2، دعوني اكتب بهذه الطريقة

ثم -2 - 3

ثم العامود الثاني، اي هذا، سوف

يكون 3 + 7 ثم 4 - 1

وهذا يساوي 3, 10, -5 و

3، هكذا

ولاحظوا، رغم ان التعريف عبارة عن جمع

الاعمدة المتماثلة

حسناً، ما الذي يحصل؟

عندما اجمع المدخلات المتماثلة

فإنني اجمع 1 مع 2، 3 مع 7، -2 مع

-3، و 4 مع -1

انه مباشر

لا يوجد شيئ وهمي

في الحقيقة، يمكننا اعادة كتابة هذا التعريف

اذا قلنا ان المتجه او المصفوفة a تساوي a11

a12، وصولاً الى a1n

ثم اذا نزلنا الى اسفل، هذا a21، وصولاً الى a1n

ثم نزولاً الى ann

لقد رأينا هذا من قبل

ثم المصفوفة b، بنفس الطريقة، او بحسب

التعريف نفسه، هذا b11، ذلك المدخل هو b11، وذلك

b12، الى ان نصل الى b1n

هذا b12، الصف الثاني، نزولاً الى bn، آسف، هذا

m، لدينا m صفوف، لذا فإن هذا mn

اذاً هذا bm1، وهذا يكون bm2، وصولاً

الى bmn، هنا

اريد ان اكون حذراً، ان هذه مصفوفات m×n

اذاً هذا الصف هو m في كلتا الحالتين

لكن يمكننا ان نعيد تعريف المصفوفة، او بطريقة اخرى

ان نعيد تعريف جمع هذه المصفوفات، اذا

اردت ان اجمع a + b، فسوف اجمع

المدخلات المتماثلة

اذاً هذا سيكون --سأستخدم

لون مختلف-- سيكون a11 + b11، وهذا

سيكون a21 + b21 وصولاً الى am1 + bm1

ثم هذا سيكون، بالطبع، a12 + b12

وصولاً الى a1n --دعوني ارتفع الى الاعلى قليلاً--

وصولاً الى a1n + b1n، ومن ثم وصولاً

الى amn + bmn

هذان التعريفان متكافئان

هذا يتطلب مساحة اقل عند الكتابة وانا اشعر

بالراحة عند استخدامه لأننا بالفعل

قد عرفنا جمع المتجهات

لكنه يدفعكم الى ان تجمعوا كل

المدخلات المتماثلة

هذا هو جمع المصفوفات

ربما انه واحد من الاشياء البسيطة التي

ستراها في الممارسة الاخيرة للرياضيات

الآن، ضرب الكمية القياسية للمصفوفة

له نفس الفكرة

لقد عرفنا ضرب الكمية القياسية

بتحويل x على انه يساوي الكمية القياسية ×

تحويل x

كان هذا التعريف

وعرفنا ايضاً الكمية القياسية × المصفوفة a على انه

مساوياً للكمية القياسية

المصفوفة الجديدة تكون اعمدتها عبارة عن الكمية القياسية ×

متجهات عامود a

اذاً a1، ثم العامود الثاني وهو ca2، ثم

وصولاً الى can

والدافع وراء هذا، لأنه يمكنه

ان يبسط الى --حسناً، t كما قلت انه مساوياً لـ Bx

a × تحويل x --التحويل

t(x( كان مساوياً له

اذاً لا زال لدينا c

وستكون c × المصفوفة B

× المتجه x

هذا ما يمكن ان يكتب عليه تحويل x

وهذا يمكن ان يساويه من خلال معالجة --و

قد فعلنا ذلك في العرض الاخير عن طريق تجزيئ هذا في

متجهات العامود ونضربهم بمكونات

x، ثم نقوم بتوزيع c ونعيد ترتيبهم

قليلاً

يمكننا الآن ان نقول، باستخدام هذا التعريف، ان هذا يساوي

مصفوفة جديدة وهي cB

لقداستخدمنا هذا التعريف، والمصفوفة الجديدة هي cB، حيث انها

c × كل من

متجهات العامود x × B

هذا كان دافعنا

اردنا ان نكون قادرين على توضيحه على انه حاصل

مصفوفة جديدة ومتجه، لأن اي تحويل خطي

يجب ان يوضح بتلك الطريقة

ولهذا السبب كوّنا هذا التعريف

دعونا نطبقه الآن

واردت ان اوضح لكم انه ربما يكون ابسط

من جمع المصفوفات

اذا اردنا ان نضرب الكمية القياسية 5 بالمصفوفة

بهذا تكون مصفوفة 3×2

اذاً 1, -1, 2, 3, 7, 0

هذا يساوي --بحسب هذا التعريف

اقول انني اضرب الكمية القياسية بكل من

متجهات العامود

انه 5 × 1, 2, 7

لكن ما هذا؟

انه عبارة عن 5 × كل من المدخلات

5 1 = 5

5 × 2 = 10

5 × 7 = 35

ثم العامود التالي سيكون 5 × هذا العامود

انه عبارة عن 5 × كل من مدخلاته

5 × -1 = -5

5 × 3= 15

5 × 0 = 0

انه شيئ بسيط

فاذا عدنا الى هذا التعريف، سيكون بامكاننا

ان نعرف ضرب الكمية القياسية للمصفوفة

ويمكننا ايضاً ان نعرف cA على ان يساوي، اذا افترضنا

ان هذا تمثيلاً لـ A، اي للكمية القياسية c × كل

من مدخلات A

هذا هو

انه c × a11، و c × a12

وصولاً الى c × a1n

نتجه اى الاسفل بهذ الطريقة، c × a21 وصولاً الى c

× am1 ثم اذا اتجهنا لأسفل الخط القطري

سيكون c × amn

اي اننا نأخذ الكمية القياسية و نضربها

بكل مدخل في A

وذا كل ما عليك فعله

اذاً اتمنى ان هذا العرض قد وضح الامور قليلاً، او

ربما كان مراجعة بسيطة للاشياء التي ربما قد

تعلمتها في المرحلة الثانوية

.

.

.

كان هذا

كان هذا التعريف

نفس الابعاد

يمكننا اعادة كتابة هذا التعريف