Formas de seccionar un cubo mediante planos de corte

Una explicación de las diferentes maneras en las que un cubo puede ser seccionado en una serie de diferentes formas geométricas (formadas por hasta seis lados cortados de las seis caras del cubo) mediante planos de corte. Por la Khan Academy.

Lo que quiero hacer en este vídeo
es explorar los tipos de formas en 2D

que podemos construir,
mediante planos de corte de cubos.

Así que ¿de qué estoy hablando?

Digamos que queremos
deconstruir un cuadrado:

¿Cómo podemos cortar un cubo con un plano
para lograr la intersección de este cubo,

y que este plano sea un cuadrado?

Imaginaremos que ese plano
que vamos a cortar, justo así,

el cuadro es tal vez el más obvio,

así que corta
por la parte superior justo allí

corta el lateral, justo aquí,

corta el lateral, supongo que en la parte
de atrás de un cubo de cristal,

para que podáis verlo,
justo aquí, línea de puntos,

y entonces corta este, justo aquí.
Así que podéis imaginar un plano que hace así,

y si quiero dibujar el plano más amplio,
lo puedo dibujar así.

Dejarme ver si puedo hacer
un trabajo decente y adecuado

en dibujar como diríais el propio,
como podéis ver, la parte del plano

que está cortando este cubo.
Se verá, podrá verse como algo...

se vería como algo así.
Y puedo incluso colorear

la parte del plano que podríais
ver, de hecho, si el cubo fuese opaco,

si no pudierais ver a través.
Pero si realmente pudierais mirar a través

podríais ver esta línea de puntos,
y el plano se vería como algo así.

Así que un cuadrado es
algo muy fácil y directo de obtener,

si estáis haciendo un plano de corte
de un cubo.

Pero ¿y un rectángulo?
¿Cómo podéis lograr eso?

En todo caso, os animo:

Pausad el vídeo y por vosotros mismos
tratad de pensar en ello:

¿Cómo podéis obtener estas formas
de las que estoy hablando?

Bueno para un rectángulo
podéis de hecho cortar así:

Así, si cortáis este lado así,

y después cortáis ese lado así,

y entonces cortáis este lado así;
seguro que ya veis a dónde lleva esto,

este lado de esta manera,

y entonces cortáis la base,
justo por allí,

y entonces la intersección del plano
con el que estás cortando;

así, la intersección, veamos:

Este podría ser el plano
con el que estoy cortando,

así que la intersección del plano
con el que estoy cortando

y mi cubo va a ser un rectángulo.

Así que podría verse así,
y una vez más, dejadme rellenar esto,

si podéis ver esto,
si imagináis el plano

justo como uno de estos enormes filos
con que los magos usan cortan a gente en dos,

o para hacer como que lo hacen,
entonces nos da

la ilusión de cortar a una persona en dos,

se podría ver como algo así.

¡Bien! Así que podéis decir:
"Ok, no es tan difícil de digerir,

que si intersecciono un plano con un cubo
puedo obtener un cuadrado, un rectángulo.

Pero ¿y qué tal triángulos?".

Bien, una vez más pausad el vídeo
si pensáis que podéis averiguar esto,

los triángulos no son tan difíciles.
Podéis cortar este lado justo aquí,

este lado justo por aquí,

y este lado justo por aquí,

y entonces, esto es; por supuesto
puedo seguir dibujando el plano,

pero creo que ya os hacéis
una idea,

este sería un triángulo.

Hay diferentes tipos de triángulos
que podéis construir.

Podéis construir un triángulo equilátero,

así que mientras que este corte sea
tan largo como este de aquí,

y tan largo como esta longitud
de aquí arriba,

o la longitud que hace intersección
en este espacio del cubo,

este será un triángulo equilátero.

Si movierais este punto más hacia arriba,
de hecho lo haré en otro color,

entonces obtendríais
un triángulo isósceles.

Si trajerais este punto
muy, muy cerca, como aquí,

os acercaríais a un ángulo recto,
pero no sería realmente un ángulo recto:

todavía tendríais estos ángulos
que serían de menos de 90º,

podéis acercaros a 90º.
Así que no podéis realmente obtener

un ángulo recto exacto,
y ya que no podéis llegar a 90º,

mucho menos llegaréis a los 91º,
así que no seréis en verdad capaces de hacer

un triángulo obtuso del mismo modo.

Pero sí podéis hacer un equilátero,
podéis hacer isósceles,

podéis hacer triángulos escalenos.

Se podría decir que podríais hacer
los diferentes tipos de triángulos agudos.

Pero ahora vamos a hacer
algunas cosas verdaderamente interesantes:

¿Podéis hacer un pentágono
al cortar un cubo con un plano?

Y realmente quiero que pauséis el vídeo
y penséis en ello aquí,

porque es algo tan divertido.
Pensad en ello:

¿Cómo podéis obtener un pentágono
al seccionar un cubo con un plano?

Muy bien, pues ahí va,

así es como podéis obtener un pentágono
al seccionar un cubo con un plano:

Imaginad cortar la zona superior
-lo haremos un poco diferente-,

así que imaginad cortar la parte superior,
justo aquí, de esta manera.

Imaginad cortar esta parte trasera,
de esta manera,

esta parte trasera que podéis ver,
algo parecido a esto,

ahora cortáis este lado,
justo aquí, de esta manera,

y ahora cortáis este lado,
justo aquí, de este modo.

Este podría ser,
y del mismo modo dibujaré el plano

-aunque tal vez no será tan obvio
si trato de dibujar el plano-

pero así os hacéis una idea:
si corto aquí, en el ángulo correcto

(no en un ángulo recto -90º-
sino 'el ángulo correcto', el adecuado.

De hecho no debería decir 'right angle',
pues eso lo confundirá todo).

Si lo corto en el ángulo correcto,

que estoy haciendo,
con la intersección de mi plano

con mi cubo va a ser
este pentágono, justo aquí.

Ahora subamos un poco las apuestas,
¡subámoslas un poco más!

¿Y qué tal un hexágono?

¿Puedo cortar un cubo de una manera,
con un plano bidimensional,

que me de la intersección del plano
en el cubo que sea un hexágono?

Como os podéis imaginar,
no os habría preguntado eso

si no fuese posible.
Así que veamos si se puede hacer.

Así que si cortamos esto, justo aquí,
si cortamos esta pieza de la base,

justo allí,
y entonces cortamos este lado de atrás,

así, y entonces cortamos el lado
que podemos ver justo aquí

(este lado me podría haber salido
mucho más recto).

¡Así que esperemos que tengáis la idea!

Puedo cortar este cubo
de forma que finalmente obtengo un hexágono.

Así que esperemos que esto os dé
una mejor apreciación

de lo que podéis hacer realmente
con un cubo,

especialmente si estáis ocupados
cortándolos con grandes planos de corte

-o grandes hojas de corte, de algún modo-.

Hay mucho más en un cubo
de lo que pudierais imaginar en el pasado.

Cuando pensamos en ello,
hay seis caras en un cubo,

y por tanto seis superficies en un cubo,

y así podéis cortar de él
un máximo de seis de las superficies

cuando lo intersecáis con un plano,

y cada vez que cortáis
en una de estas superficies

forma un lado.
Así que aquí cortamos cuatro lados,

aquí cortamos en cuatro superficies
de cuatro lados,

aquí cortamos en tres,
aquí cortamos en cinco

-no estamos cortando la base
del cubo, aquí-,

y aquí estamos cortando en los seis lados,
en las seis superficies,

de las caras de este cubo.