-
W tym odcinku powiem,
jak się uwymiernia mianownik.
-
Uwymiernianie mianownika.
Co to właściwie znaczy?
-
Powiedzmy, że mamy ułamek
z mianownikiem niewymiernym.
-
Najprostszy przykład:
1 przez √2.
-
Uwymiernianie to przedstawienie
liczby w taki sposób,
-
by w mianowniku nie było
liczby niewymiernej.
-
Pewnie spytacie:
„Sal, po co mamy to robić?
-
Czemu trzeba uwymierniać
mianowniki?”.
-
Właściwie nie trzeba,
-
ale myślę, że nauczyciele
matematyki na to nalegają,
-
bo uzyskujemy liczby
w jednym formacie.
-
Słyszałem też,
że zanim wynaleziono kalkulatory,
-
łatwiej było prowadzić obliczenia
przy wymiernych mianownikach.
-
Nie wiem, czy to prawda.
No i jest jeszcze powód estetyczny.
-
Niektórzy mówią:
„Nie wiem, ile to jest 1 przez √2,
-
jaka to część pizzy.
-
Chcę wymierny mianownik!”.
-
To rzekłszy, nauczę was
usuwać niewymierność.
-
Prosty sposób. Gdy w mianowniku
jest tylko liczba niewymierna,
-
możemy pomnożyć cały ułamek
-
przez tę liczbę niewymierną
podzieloną przez siebie.
-
Czyli przez 1.
Coś dzielone przez siebie to 1.
-
Właściwie nie zmieniamy
tej liczby, tylko jej postać.
-
Ile to będzie równe?
-
W liczniku mamy 1 razy √2,
czyli √2,
-
a w mianowniku pojawi się
√2 razy √2.
-
√2 pomnożony przez √2 daje 2.
-
To jest 2.
-
Z definicji,
kwadrat tego musi być równy 2.
-
Podnosimy √2 do kwadratu,
więc musimy uzyskać 2.
-
Mianownik uwymierniony!
-
Nie usunęliśmy pierwiastka,
tylko przenieśliśmy go do licznika.
-
A w mianowniku mamy liczbę…
-
Liczbę wymierną.
-
Możecie powiedzieć:
„To jest √2 drugich”.
-
Łatwiej to wymówić. Kolejny argument
za usuwaniem niewymierności.
-
Jeszcze ze dwa przykłady.
-
Powiedzmy, że mam 7…
-
podzielić przez √15.
-
Najpierw uproszczę ten pierwiastek.
-
15 to 3 razy 5. Żadna z tych liczb
nie jest kwadratem,
-
czyli prościej już nie będzie.
-
Więc tak jak tutaj, pomnóżmy to
-
przez pierwiastek z 15
-
podzielony przez pierwiastek z 15.
-
To będzie równe:
-
7 razy pierwiastek z 15…
Pomnożyłem liczniki.
-
W mianowniku: √15 razy √15,
co się równa 15.
-
Usunęliśmy niewymierność.
Mianownik jest wymierny.
-
W liczniku jest liczba
niewymierna, a w mianowniku nie.
-
Nie zmieniliśmy liczby,
tylko sposób jej przedstawienia.
-
A teraz coś trudniejszego.
-
Weźmy takie wyrażenie:
-
12 podzielić przez 2 minus
pierwiastek kwadratowy z 5.
-
W mianowniku mamy dwumian,
-
który zawiera liczbę niewymierną.
-
Nie mnożę ułamka przez √5 / √5,
bo i tak zostanie niewymierność.
-
Zaraz pokażę, że nic z tego.
-
Jeśli pomnożę to przez √5 / √5,
-
to w liczniku będę miał 12√5,
-
a w mianowniku pojawi się 2√5
-
minus √5 · √5, czyli 5.
-
Nic nam to nie dało.
-
Chociaż tutaj
mamy już liczbę wymierną, 5,
-
to ta wciąż jest niewymierna: 2√5.
-
Nie ma więc sensu tego robić,
-
gdy w mianowniku jest dwumian
z liczbą niewymierną.
-
Tu pomoże jeden ze wzorów
skróconego mnożenia.
-
Zróbmy to obok.
-
Nauczyliśmy się dawno temu,
a może nie aż tak,
-
że jeśli mamy,
powiedzmy, (2 – √5),
-
i pomnożymy to przez (2 + √5),
-
to co uzyskamy? Pamiętacie?
-
Nie? Obowiązuje ta sama zasada,
-
co w (a – b)(a + b).
-
Zgadza się? (a – b)(a + b).
-
Kilka odcinków temu
dowiedzieliśmy się, że to jest a²
-
minus b².
-
Dla przypomnienia, a · a to a²,
plus a · b, czyli ab,
-
minus b · a, czyli minus ab,
-
i jeszcze minus b razy b,
co daje nam minus b².
-
To się zeruje,
więc zostaje a² minus b².
-
Zatem (2 – √5)
pomnożone przez (2 + √5)
-
będzie równe
-
2 do kwadratu, czyli 4…
-
Zapiszę. To będzie 2 kwadrat
-
minus √5 do kwadratu.
-
A to po prostu 5.
-
Całość będzie równa
4 minus 5, czyli minus 1.
-
Jeśli więc pomnożymy…
-
jeśli wykorzystamy
wzór skróconego mnożenia,
-
konkretnie różnicę kwadratów,
-
to usuniemy niewymierność
z mianownika. Do dzieła!
-
Jeśli mam… przepiszę to.
12 podzielić przez (2 – √5).
-
W tej sytuacji
pomnożę cały ułamek
-
przez (2 + √5)
podzielone przez (2 + √5).
-
Znów mnożę przez 1.
-
Nie zmieniam liczby,
tylko jej postać.
-
W liczniku będziemy więc mieli
12 razy 2, czyli 24,
-
plus 12 razy √5.
-
Plus 12 razy pierwiastek z 5.
-
Dzielimy to przez…
-
znowu skorzystajmy
z wzoru skróconego mnożenia.
-
Uzyskujemy tu 2²…
Dokładnie to wyrażenie.
-
Czyli 4 minus 1…
-
albo… przepraszam, 4 minus 5.
-
Mamy 2² odjąć (√5)², czyli 4 – 5.
-
Albo możemy zapisać to jako minus 1.
-
Napiszę tu jedynkę,
a minus przed wszystkim.
-
Zresztą nie piszmy 1 w mianowniku,
-
napiszmy po prostu:
-24 odjąć 12√5.
-
Nie ma liczby niewymiernej
i w ogóle wygląda to lepiej.
-
Jak już mówiłem, warto to robić,
bo taki ułamek nie jest oczywisty.
-
Powiedzmy, że wy i ja konstruujemy
rakietę, i to wasz wynik…
-
a to mój.
-
Wcale nie widać od razu,
że liczba jest ta sama.
-
Jeśli postanowimy
zawsze usuwać niewymierność,
-
to wtedy: „Wyszło nam to samo!
Można wysłać rakietę na Marsa!”.
-
Jeszcze jeden przykład. Tutaj.
-
Rozwiążmy jeszcze jeden.
Powiedzmy…
-
powiedzmy, że mam…
-
Może teraz dajmy jakąś zmienną.
-
Powiedzmy, że mamy 5y
-
podzielić przez 2 pierwiastki
kwadratowe z „y”
-
odjąć 5.
-
Zróbmy tak, jak przedtem.
-
W mianowniku jest dwumian
z liczbą niewymierną. Potencjalnie.
-
Skoro „y” może przyjąć każdą wartość,
także niewymierną,
-
usuńmy pierwiastek z mianownika.
-
Czemu to będzie się równać?
-
Pomnóżmy cały ten ułamek
przez (2√y + 5)
-
podzielone przez (2√y + 5).
-
To jest 1. Nie zmieniamy liczby,
bo mnożymy ją przez 1.
-
Zacznijmy od mianownika.
Ile będzie równy?
-
Tym dwóm do kwadratu…
-
Znów różnica kwadratów.
-
Mamy 2 razy pierwiastek z „y”
do kwadratu
-
minus 5 do kwadratu.
-
Możemy to rozwinąć:
-
(2√y + 5)(2√y – 5).
Tak się rozpisuje różnicę kwadratów.
-
Nasz licznik to 5y razy 2√y.
-
Więc to będzie 10…
-
Tu jest y¹, a tu „y” do potęgi ½,
-
napiszmy więc y√y.
-
10 razy y√y.
-
Albo można napisać, że to „y”
do potęgi ³/₂ lub 1½.
-
I w końcu 5y razy 5.
-
Czyli plus 25y.
-
Możemy uprościć to jeszcze bardziej.
-
Ile będzie się równać mianownik?
-
Będziemy tu mieli 2 do kwadratu
czyli 4…
-
Pierwiastek z y² to „y”
-
Zgadza się? Tu 4y…
-
i jeszcze minus 25.
-
Odejmujemy 25.
-
A nasz licznik, tutaj, to…
-
Możemy to zostawić –
zapisać jak jest – albo przekształcić.
-
Są różne możliwości,
ale dla uproszczenia
-
zostawmy tu 10…
-
Zapiszę inaczej. To y¹,
a to „y” do potęgi ½.
-
Mógłbym napisać:
„y” do potęgi ³/₂
-
albo „y” do potęgi 1½.
-
Albo też: 10y razy √y.
-
To formy równoważne. Plus 25…
-
Dodać 25y.
-
Mam nadzieję, że usuwanie
niewymierności było dla was ciekawe.
