Định lý giá trị trung bình | Định lý tồn tại | AP Giải tích AB | Khan Academy

Định lý giá trị trung bình chứng minh rằng nếu 1 hàm số f liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vì trên khoảng mở (a,b), thì tồn tại 1 điểm c trên khoảng (a,b) mà f'(c) đó bằng với độ biến thiên trung bình của hàm số trên [a,b]. Nói 1 cách khác, đồ thị có 1 tiếp tuyến tại 1 điểm trong (a,b) mà song song với cát tuyến trên [a,b]. Được tạo bởi Sal Khan.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-existence-theorems/ab-mvt/v/conditions-for-mvt-graph?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-existence-theorems/ab-ivt-evt/v/intermediate-value-theorem-example?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB ?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan AcademyÕs AP Calculus AB: https://www.youtube.com/channel/UCyoj0ZF4uw8VTFbmlfOVPuw?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Hãy xem nếu ta có thể hiểu

về định lý giá trị trung bình 1 cách trực quan hơn không.

Và ta cũng sẽ thấy, một khi bạn phân tích một số biệt ngữ toán học

và kí hiệu, nó thực sự là 1 định lí khá trực quan.

Hãy nghĩ về 1 vài hàm số, như là f.

Giả sử mình có hàm f.

Và ta đã biết 1 vài thứ về hàm này.

Ta biết rằng hàm này liên tục trên khoảng đóng

giữa x= a và x=b.

Và khi ta đặt ngoặc vuông ở đây,

tức là nó là khoảng đóng.

Vậy khi mình đặt ngoặc vuông ở đây,

nó có nghĩa là ta đang bao gồm cả điểm a.

Và nếu mình đặt ngoặc vuông ở vế phải thay vì

ngoặc đơn, nó có nghĩa là

ta bao gồm cả điểm b.

Và tính liên tục nghĩa là ta không có

bất kì khoảng cách hay bước nhảy của hàm số

trên khoảng đóng này.

Bây giờ, giả sử nó khả vi trên

khoảng mở giữa a và b.

Và ta nói, sẽ ổn thôi

nếu nó không khả vi tại điểm a,

hay nó không khả vi tại đểm b.

Và khả vi nghĩa là ở đó

có 1 đạo hàm xác định, mà bạn có thể

lấy đạo hàm tại những điểm đó.

Vậy nó khả vi trên khoảng mở giữa a và b.

Đó là những hằng số mà ta sẽ

đặt chúng vào định lý giá trị trung bình.

Và hãy thử hình dung cái này.

Đây là hàm số của mình, đó là trục y.

Và rồi ở ngay đây là trục x..

Và mình sẽ, xem nào, trục x,

để mình vẽ khoảng của mình ở đây.

Đây là a, ở ngay đây là b.

Giả sử hàm số của ta giống như vầy.

Vẽ 1 hàm số tùy ý ở đây.

Tại điểm này ở đây, giá trị x là a,

và giá trị y là f(a).

Tại điểm này ngay đây, giá trị x

là b, và giá trị y, hiển nhiên, là f(b).

Vậy định lý giá trị trung bình cho ta biết

nếu ta lấy độ biến thiên trung bình

trên khoảng tại 1 điểm nào đó

thì độ biến thiên tức thời, ít nhất

là tại 1 điểm nào đó trên khoảng mở này,

sẽ tương tự với

độ biến thiên trung bình

Điều đó có nghĩa là gì?

Vậy hãy tính độ biến thiên trung bình.

Độ biến thiên trung bình giữa điểm a và b,

nó sẽ là hệ số góc của đường cát tuyến.

Vậy-- đây là cát tuyến.

Hãy nghĩ về hệ số góc của nó,

Định lý giá trị trung bình cho ta biết

tại điểm nào đó trong khoảng này,

thì hệ số góc tức thời của tiếp tuyến

sẽ tương tự với với hệ số góc của cát tuyến.

Và ta có thể thấy, nó giống như cái ở ngay đây,

hệ số góc của tiếp tuyến, nó giống với

hệ số góc của cát tuyến.

Nó cũng giống với trường hợp ngay đây.

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng với hệ số góc

của cát tuyến.

Tại 1 điểm nào đó, độ biến thiên tức thời của bạn

sẽ bằng độ biến thiên trung bình.

Bây giờ, làm thế nào để ta viết nó 1 cách toán học?

Hãy tính hệ số góc trung bình

trên khoảng này.

Hệ số góc trung bình trên khoảng này,

hay độ biến thiên trung bình, hệ số góc của cát tuyến,

sẽ bằng độ biến thiên của y

ở ngay đây-- chia độ biến thiên của x.

Độ biến thiên của y ở đây là gì?

Độ biến thiên y của t là f(b) - f(a),

và nó sẽ chia cho độ biến thiên của x.

Chia b - a.

Mình sẽ viết bằng màu đỏ.

Ở ngay đây, đây là đồ thị của

y=f(x).

Ta đang nói rằng hệ số góc của cát tuyến,

hay độ biến thiên trung bình của ta trên khoảng từ a đến b,

là biến thiên của y-- delta ở đây

viết tắt cho sự biến thiên của y-- chia độ biến thiên x.

là cái mà đương nhiên, sẽ bằng cái này.

Và định lý giá trị trung bình cho ta biết

ở đây tồn tại-- nếu ta biết 2 thứ này

về hàm số, thì ở đây

tồn tại vài giá trị x giữa a và b.

Vậy trong khoảng mở giữa a và b, có tồn tại c.

Và ta có thể nói

Nó thuộc khoảng mở giữa a và b.

Hay ta có thể nói giá trị c mà a đó nhỏ hơn c,

thì nhỏ hơn b.

Vậy 1 vài giá trị c trong khoảng này.

1 vài c ở giữa nó khi mà độ biến thiên tức thời

tại giá trị x đó bằng với

độ biến thiên trung bình.

Vậy ở đây tồn tại c trong khoảng mở

mà độ biến thiên trung bình

bằng độ biến thiên tức thời tại điểm đó.

Đó là tất cả những gì về nó.

Và ta đã thấy biểu đồ ở đây, đây có thể là c của ta.

Hoặc đây cũng có thể là c.

Bạn có thể nói

f liên tục trên a,b, khả vi trên-- f

liên tục trên khoảng đóng, khả vi

trên khoảng mở, và bạn thấy tất cả kí hiệu này.

Vậy nó cho ta biết điều gì?

Nó cho ta biết rằng tại 1 điểm nào đó trong khoảng,

độ biến thiên tức thời thì

sẽ bằng với độ biến thiên trung bình

trên cả khoảng này.

Trong video tiếp theo, ta sẽ

có 1 ví dụ thực tế ngoài đời khi mà nó có ích hơn.