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이번 시간에는 기울기에 관한 예제를
많이 풀어볼 것 입니다
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약간의 복습을 하자면
기울기는
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직선의 경사를
측정하는 방법입니다
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그리고 그 정의는 이 영상을 통해서
알 수 있기를 바랍니다
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기울기의 뜻은 y값의 변화량
나누기 x값의 변화량입니다
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지금은 아직 이해가
안될지도 모르지만
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많은 문제를 풀어볼수록
이해가 잘될 것입니다
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우선 여기 첫번째 직선부터 봅시다
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직선a의 기울기를 구해봅시다
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여기에 참고할 수 있도록
두 점이 이미 주어져있습니다
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첫번째로 이 점들의
좌표들을 봅시다
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여기에 점 하나가 있습니다
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이것의 좌표가 무엇인가요?
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x 좌표가 3이고
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y 좌표가 6입니다
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밑에 있는 점에서는
x 좌표가 마이너스 1 이고
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y 좌표가 마이너스 6입니다
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기울기를 구하는
몇 가지 방법이 있는데
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하나는 저기 위에 있는
식을 쓰는 것입니다
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기울기는 x의 변화량 분의
y의 변화량입니다
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수식으로 구할 수 있습니다
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그래프로 그려보겠습니다
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y값의 변화량이 무엇입니까?
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y의 변화량은
말 그대로 한 점에서
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다른점으로 이동할 때
y값이 얼마나 변했습니까?
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y값이 얼마나
바뀌었습니까?
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여기서는 y가 마이너스 6에서
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6으로 올라갔습니다
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이 두 점 사이의 거리가
어떻게 됩니까?
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거리는 y값의 종점이 될것입니다
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다시 말하면 6 빼기
시작점의 y값입니다
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마이너스 6을 빼거나
6 더하기 6을하면 12가 나옵니다
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직접 세도 됩니다
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하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯
일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘
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y 값을 12만큼 바꿨을때
x값을 얼마만큼 바꿔야 할까요?
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x값은 y의 변화값에 비례하여 얼마나 변했습니까?
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x= -1 에서
x=3으로 옮겨갔습니다
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그렇죠? x가 -1에서
3으로 옯겨갔습니다
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끝점인 3에서 시작점인
-1을 빼주면 4를 구할 수 있습니다
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그래서 이 직선의 기울기가 4분의 12,
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또는 더 짧게 약분을 해주면
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3이 됩니다
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이것을 해석해보면 1을 움직일 때마다,
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한번 이렇게 써봅시다
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x의 변화량 분의 y의 변화량은
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3 또는 1분의 3이라고 할 수 있습니다
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이것은 1칸을 오른쪽으로 움직일 때마다
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동시에 3칸 위로 올라갈것을 말해주는데, 이것은
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y축으로 3칸 위로 올라가기
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때문입니다. 이해되나요?
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x를 1칸 오른쪽으로 움직일때, y는 3칸 올라갑니다
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x를 1칸 오른쪽으로 움직일때, y는 3칸 올라갑니다
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만약 x를 2칸 오른쪽으로 움직이면,
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y는 6칸 위로 움직여집니다.
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기울기는 2분의6, 그러니까 3과 같습니다
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그래서 3이 x가 늘어날때마다
얼마나 y값이 올라가는지 말해줍니다
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두번째 직선그래프로도 똑같이 기울기를 구해봅시다
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그래프 b
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같은 방법입니다
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그래프에 나와있는 점들을 사용하겠습니다
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근데 사실은 직선위에있는 아무 점이나 사용해도 됩니다
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여기 주어진 첫번째 점이
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점 0,1 입니다
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0,1이 있습니다
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그리고 시작점 (끝점이라고 불러도 상관없습니다),
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시작점이 여기에 있는데
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우리는 이것을 x 는 마이너스 6이고
y는 마이너스 2로 볼 수 있습니다
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아까와 똑같은 방법으로 해보면,
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이 직선의 x 변화량에 따른 y변화량은 무엇입니까?
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우선 x의 변화량부터 구해봅시다
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x변화량이 무엇입니까?
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이런 경우에서는 델타 x의 값이 무엇입니까?
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그냥 셀 수 있습니다
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하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯.
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x는 6만큼 변화하였습니다
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만약에 그래프가 없다면,
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x절편인 0에서
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x가 시작하는 값을 빼주면 됩니다
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0 빼기 마이너스 6을 구하면
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x값의 변화량은 6이 됩니다
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그러면 y의 변화량은 얼마입니까?
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이 점이 끝나는 점입니다
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이 점이 시작점 입니다
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그래서 x변화량을 구할땐 0에서 마이너스 6을 뺐고,
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y에서는 1에서 마이너스 2을 빼면됩니다
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1 빼기 마이너스 2
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1 빼기 마이너스 2는 얼마입니까?
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1 더하기 2와 같은 것 이므로
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3이 됩니다
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그러면 기울기는 3/6 또는 1/2 입니다
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x를 6만큼 옮겼을 때,
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y는 3만큼 위로 움직였습니다
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y변화량이 3일때 x변화량은 6입니다
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사람들이 자주 헷갈려하는 것 중 하나가
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순서를 어떻게 정하는 것입니다. 어떻게 0이
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먼저고 마이너스6이 두번째고, 또 1 이 첫번째고
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마이너스 2가 두번째냐는 겁니다
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x와 y의 순서만 같게 하면 두 순서를 바꿔도
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상관이 없다는게 답입니다
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또 그냥 x변화량 분의
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y변화량을 하면 됩니다
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그러면 마이너스 2 빼기 1과 같습니다
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이 좌표를 사용해서 풀면, 마이너스 6 빼기 0 분의
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y 인 마이너스 2 빼기 1 입니다
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결국 마이너스만 붙인 겁니다
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마이너스만 붙인 겁니다
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하지만 마이너스 분의 마이너스니까
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지울 수 있습니다
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마이너스 6 분의 마이너스 3 이니까,
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마이너스가 지워져서
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2분의 1이 됩니다
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중요한 점은 만약 이 y좌표를 먼저
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사용할 경우에는,
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같은 x좌표를 먼저 사용해야합니다
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만약 이 y값을 먼저 계산하면,
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이 x값을 먼저 사용해서
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계산을 해야합니다
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다시 말하자면, x변화량과
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y변화량을 구할 때, 같은 도착점과
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시작점을 사용하는게 중요합니다
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좀 더 나은 이해를 위해 설명을 하자면,
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x가 항상 마이너스 6만큼 이동한다고 칩니다
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x가 마이너스 6만큼 움직이는건 거꾸로 가는거니깐,
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y도 마이너스 3만큼 움직일 것 입니다
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하지만 말하고자 하는 것은 같습니다
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이 직선의 기울기는 1/2 입니다
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x가 2칸 움직일 때 마다,
y 는 1칸 위로 갑니다
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또는, x가 뒤로 2칸 움직이면,
y는 밑으로 1칸 움직입니다
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그게 1/2 기울기가 말해주는 겁니다
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여기 보시면, 기울기가 1/2인 직선이
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기울기가 3인 직선보다 덜 가파릅니다
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조금 더 해봅시다
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여기에 직선 c 가 있습니다
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분홍색으로 쓸게요
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이점이 시작점 이라고 칩시다
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그냥 제가 마음대로 정하는겁니다
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여기에 그려져 있는 점들을 사용할겁니다
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시작점은 (-1, 6)이고,
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끝나는 점은 (5,-6)입니다
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기울기가 y의, 죄송합니다,
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x변화량 분의,
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절대 안까먹을겁니다
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x변화량 분의 y변화량입니다
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x값의 증가량 분의 y값의 증가량 이기도 한데요,
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x값의 증가량은 양 옆으로 얼마나 움직였는지,
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y값의 증가량은 위아래로 얼마나 움직였는지 입니다
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y값의 변화량은 y의 끝점
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빼기 y의 시작점 입니다
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이것이 끝점의 y값이고,
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이건 시작점의 y값입니다.
y값의 변화량 나누기
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끝점의 x값 빼기 시작점의 x값 입니다
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만약 이게 헷갈린다면,
제가 지금 말하는건
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끝점의 x값인 5 빼기
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시작점의 x값인 마이너스 1 분의
끝점의 y 값인 마이너스 6 빼기
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시작점의 y값인 6과 같습니다
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마이너스 6 빼기 6은
마이너스 12고
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5 빼기 마이너스 1은
6입니다
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그래서 기울기는
마이너스 6분의 12
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마이너스 2와 같습니다
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이번에는 기울기가
마이너스입니다
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x가 1칸 늘어날 때 마다
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y는 밑으로 내려갑니다
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그래서 직선이 밑으로
내려가는 모양입니다
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선이 왼쪽 위에서
오른쪽 밑으로 내려옵니다
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x가 증가할 수록
y는 감소합니다
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그래서 기울기가
음수인겁니다
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이 직선은 기울기가
양수여야 합니다
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증명을 해봅시다
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여기에 있는 같은 점들을
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사용해보겠습니다
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이 선은 직선 d입니다
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기울기는 x변화량 분의 y변화량입니다
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이 점에서 이 점으로 갈 때
y값이 얼마나 바뀝니까?
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한번 봅시다
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이렇게 해봅시다
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올라가는거니까
칸을 셀 수 있습니다
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하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯
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y가 6칸 올라갔습니다
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x는 얼마나 변화했나요?
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다른 색을 사용하겠습니다
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하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯
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x가 6칸 움직였습니다
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그래서 기울기는 6분의 6
또는 1 입니다
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x를 1칸 움직일 때 마다
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오른쪽으로 1만큼 움직일 때 마다
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y또한 1만큼 위로 움직입니다
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x가 마이너스 2만큼 움직인다면
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y도 마이너스 2 만큼 움직입니다
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결국 이 기울기 에서는
x 변화량과 y 변화량이 같습니다
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쉽죠?
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만약 이것을 수학적으로
계산을 한다면
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이 좌표를 이용할 수 있습니다
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이것이 시작점이라고
할 수 있습니다
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시작점은 (-2,-4)
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끝점은 (4,2)입니다
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(4,2)
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기울기는 x변화량 분의
y변화량이니까
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4 빼기 마이너스 2 분의
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2 빼기 마이너스 4입니다
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2 빼기 마이너스 4는 6입니다
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이건 이 부분의 거리라는겁니다
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4 빼기 마이너스 2는 6이고
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이것 또한 이부분의 거리입니다
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기울기가 1이 나옵니다
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하나 더 풀어봅시다
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조금 더 풀어봅시다
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재미있는 문제들입니다
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직선 e의 기울기를 구해봅시다
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x변화량 분의 y변화량
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y의 변화량을 구해보면
이 점에서 저 점으로 가봅시다
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그냥 세어 보겠습니다
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하나, 둘, 셋, 넷, 다섯
여섯, 일곱, 여덟
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8 입니다
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또는 2 빼기 마이너스 6을 하면
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거리가 8이 나옵니다
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y의 변화량이 무엇입니까?
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아니 x의 변화량이 무엇입니까?
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이 점의 x값은 4이고
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이 점의 x값도 4입니다
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x는 변하지 않습니다
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기울기는 0분의 8인데
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잘 모르겠습니다.
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0분의 8은 정의할 수 없습니다
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이 경우에서는
기울기 정의가 불가능합니다
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항상 세로로된 직선이 있으면
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기울기는 없습니다
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0으로 나누기 때문입니다
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하지만 기울기가 없다는 것은
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직선의 세로로
되어있다는 것을 말해줍니다
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마지막으로 이걸 해봅시다
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이 직선은 평범한 직선
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문제 인 것 같습니다
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이 점은
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(3,1)입니다
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이건 직선 f입니다
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좌표가 (3,1)인 점 하나가 있습니다
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여기에는 점 (-6,-2)이 있습니다
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기울기는 y변화량 나누기
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다른 방향으로 갈 수 있도록
이 점을 끝점이라고 하겠습니다
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y의 변화량이
이번에는 밑으로 내려갈겁니다
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마이너스 2 빼기 1입니다
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이 부분의 거리입니다
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마이너스 2 빼기 1는
마이너스 3입니다
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3칸 밑으로 내려갔습니다
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x의 변화량은 무엇입니까?
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뒤로 갈겁니다
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얼마나 움직였습니까?
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마이너스 6 빼기 3입니다
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이부분의 거리는 마이너스 9 입니다
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왼쪽으로 9칸 움직일 때 마다
3칸 밑으로 움직입니다
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뒤로 9칸 갈 때, 3칸 밑으로 갑니다
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이것은 앞으로 9칸 움직일 때
위로 3칸 움직이는 것과 같습니다
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다 똑같습니다.
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마이너스가 없어지고
기울기는 3분의 1입니다
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3분의 1입니다
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위로 올라가는 직선입니다
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3칸 옆으로 움직일 때,
1칸 위로 움직입니다
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이 영상이 기울기에 대한
좋은 복습이였길 바랍니다