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Slope and Rate of Change

  • 0:00 - 0:05
    이번 시간에는 기울기에 관한 예제를
    많이 풀어볼 것 입니다
  • 0:05 - 0:09
    약간의 복습을 하자면
    기울기는
  • 0:09 - 0:12
    직선의 경사를
    측정하는 방법입니다
  • 0:12 - 0:17
    그리고 그 정의는 이 영상을 통해서
    알 수 있기를 바랍니다
  • 0:17 - 0:22
    기울기의 뜻은 y값의 변화량
    나누기 x값의 변화량입니다
  • 0:22 - 0:25
    지금은 아직 이해가
    안될지도 모르지만
  • 0:25 - 0:29
    많은 문제를 풀어볼수록
    이해가 잘될 것입니다
  • 0:29 - 0:31
    우선 여기 첫번째 직선부터 봅시다
  • 0:31 - 0:34
    직선a의 기울기를 구해봅시다
  • 0:34 - 0:39
    여기에 참고할 수 있도록
    두 점이 이미 주어져있습니다
  • 0:39 - 0:42
    첫번째로 이 점들의
    좌표들을 봅시다
  • 0:42 - 0:44
    여기에 점 하나가 있습니다
  • 0:44 - 0:45
    이것의 좌표가 무엇인가요?
  • 0:45 - 0:48
    x 좌표가 3이고
  • 0:48 - 0:51
    y 좌표가 6입니다
  • 0:51 - 0:56
    밑에 있는 점에서는
    x 좌표가 마이너스 1 이고
  • 0:56 - 1:01
    y 좌표가 마이너스 6입니다
  • 1:01 - 1:03
    기울기를 구하는
    몇 가지 방법이 있는데
  • 1:03 - 1:05
    하나는 저기 위에 있는
    식을 쓰는 것입니다
  • 1:05 - 1:11
    기울기는 x의 변화량 분의
    y의 변화량입니다
  • 1:11 - 1:13
    수식으로 구할 수 있습니다
  • 1:13 - 1:15
    그래프로 그려보겠습니다
  • 1:15 - 1:17
    y값의 변화량이 무엇입니까?
  • 1:17 - 1:20
    y의 변화량은
    말 그대로 한 점에서
  • 1:20 - 1:24
    다른점으로 이동할 때
    y값이 얼마나 변했습니까?
  • 1:24 - 1:26
    y값이 얼마나
    바뀌었습니까?
  • 1:26 - 1:30
    여기서는 y가 마이너스 6에서
  • 1:30 - 1:34
    6으로 올라갔습니다
  • 1:34 - 1:36
    이 두 점 사이의 거리가
    어떻게 됩니까?
  • 1:36 - 1:39
    거리는 y값의 종점이 될것입니다
  • 1:39 - 1:44
    다시 말하면 6 빼기
    시작점의 y값입니다
  • 1:44 - 1:50
    마이너스 6을 빼거나
    6 더하기 6을하면 12가 나옵니다
  • 1:50 - 1:51
    직접 세도 됩니다
  • 1:51 - 1:58
    하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯
    일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘
  • 1:58 - 2:05
    y 값을 12만큼 바꿨을때
    x값을 얼마만큼 바꿔야 할까요?
  • 2:05 - 2:08
    x값은 y의 변화값에 비례하여 얼마나 변했습니까?
  • 2:08 - 2:14
    x= -1 에서
    x=3으로 옮겨갔습니다
  • 2:14 - 2:17
    그렇죠? x가 -1에서
    3으로 옯겨갔습니다
  • 2:17 - 2:25
    끝점인 3에서 시작점인
    -1을 빼주면 4를 구할 수 있습니다
  • 2:25 - 2:30
    그래서 이 직선의 기울기가 4분의 12,
  • 2:30 - 2:33
    또는 더 짧게 약분을 해주면
  • 2:33 - 2:35
    3이 됩니다
  • 2:35 - 2:39
    이것을 해석해보면 1을 움직일 때마다,
  • 2:39 - 2:41
    한번 이렇게 써봅시다
  • 2:41 - 2:43
    x의 변화량 분의 y의 변화량은
  • 2:43 - 2:46
    3 또는 1분의 3이라고 할 수 있습니다
  • 2:46 - 2:50
    이것은 1칸을 오른쪽으로 움직일 때마다
  • 2:50 - 2:53
    동시에 3칸 위로 올라갈것을 말해주는데, 이것은
  • 2:53 - 2:54
    y축으로 3칸 위로 올라가기
  • 2:54 - 2:55
    때문입니다. 이해되나요?
  • 2:55 - 2:59
    x를 1칸 오른쪽으로 움직일때, y는 3칸 올라갑니다
  • 2:59 - 3:03
    x를 1칸 오른쪽으로 움직일때, y는 3칸 올라갑니다
  • 3:03 - 3:06
    만약 x를 2칸 오른쪽으로 움직이면,
  • 3:06 - 3:08
    y는 6칸 위로 움직여집니다.
  • 3:08 - 3:11
    기울기는 2분의6, 그러니까 3과 같습니다
  • 3:11 - 3:17
    그래서 3이 x가 늘어날때마다
    얼마나 y값이 올라가는지 말해줍니다
  • 3:17 - 3:22
    두번째 직선그래프로도 똑같이 기울기를 구해봅시다
  • 3:22 - 3:23
    그래프 b
  • 3:23 - 3:24
    같은 방법입니다
  • 3:24 - 3:26
    그래프에 나와있는 점들을 사용하겠습니다
  • 3:26 - 3:29
    근데 사실은 직선위에있는 아무 점이나 사용해도 됩니다
  • 3:29 - 3:31
    여기 주어진 첫번째 점이
  • 3:31 - 3:35
    점 0,1 입니다
  • 3:35 - 3:37
    0,1이 있습니다
  • 3:37 - 3:39
    그리고 시작점 (끝점이라고 불러도 상관없습니다),
  • 3:39 - 3:40
    시작점이 여기에 있는데
  • 3:40 - 3:48
    우리는 이것을 x 는 마이너스 6이고
    y는 마이너스 2로 볼 수 있습니다
  • 3:48 - 3:49
    아까와 똑같은 방법으로 해보면,
  • 3:49 - 3:53
    이 직선의 x 변화량에 따른 y변화량은 무엇입니까?
  • 3:53 - 3:55
    우선 x의 변화량부터 구해봅시다
  • 3:55 - 3:58
    x변화량이 무엇입니까?
  • 3:58 - 4:03
    이런 경우에서는 델타 x의 값이 무엇입니까?
  • 4:03 - 4:04
    그냥 셀 수 있습니다
  • 4:04 - 4:07
    하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯.
  • 4:07 - 4:08
    x는 6만큼 변화하였습니다
  • 4:08 - 4:11
    만약에 그래프가 없다면,
  • 4:11 - 4:16
    x절편인 0에서
  • 4:16 - 4:19
    x가 시작하는 값을 빼주면 됩니다
  • 4:19 - 4:22
    0 빼기 마이너스 6을 구하면
  • 4:22 - 4:26
    x값의 변화량은 6이 됩니다
  • 4:26 - 4:29
    그러면 y의 변화량은 얼마입니까?
  • 4:29 - 4:35
    이 점이 끝나는 점입니다
  • 4:36 - 4:38
    이 점이 시작점 입니다
  • 4:39 - 4:41
    그래서 x변화량을 구할땐 0에서 마이너스 6을 뺐고,
  • 4:41 - 4:44
    y에서는 1에서 마이너스 2을 빼면됩니다
  • 4:44 - 4:47
    1 빼기 마이너스 2
  • 4:48 - 4:49
    1 빼기 마이너스 2는 얼마입니까?
  • 4:49 - 4:51
    1 더하기 2와 같은 것 이므로
  • 4:51 - 4:52
    3이 됩니다
  • 4:52 - 4:56
    그러면 기울기는 3/6 또는 1/2 입니다
  • 4:56 - 5:02
    x를 6만큼 옮겼을 때,
  • 5:02 - 5:05
    y는 3만큼 위로 움직였습니다
  • 5:05 - 5:09
    y변화량이 3일때 x변화량은 6입니다
  • 5:09 - 5:11
    사람들이 자주 헷갈려하는 것 중 하나가
  • 5:11 - 5:16
    순서를 어떻게 정하는 것입니다. 어떻게 0이
  • 5:16 - 5:19
    먼저고 마이너스6이 두번째고, 또 1 이 첫번째고
  • 5:19 - 5:20
    마이너스 2가 두번째냐는 겁니다
  • 5:20 - 5:22
    x와 y의 순서만 같게 하면 두 순서를 바꿔도
  • 5:22 - 5:24
    상관이 없다는게 답입니다
  • 5:24 - 5:27
    또 그냥 x변화량 분의
  • 5:27 - 5:29
    y변화량을 하면 됩니다
  • 5:29 - 5:34
    그러면 마이너스 2 빼기 1과 같습니다
  • 5:34 - 5:38
    이 좌표를 사용해서 풀면, 마이너스 6 빼기 0 분의
  • 5:38 - 5:43
    y 인 마이너스 2 빼기 1 입니다
  • 5:43 - 5:46
    결국 마이너스만 붙인 겁니다
  • 5:46 - 5:48
    마이너스만 붙인 겁니다
  • 5:48 - 5:50
    하지만 마이너스 분의 마이너스니까
  • 5:50 - 5:50
    지울 수 있습니다
  • 5:50 - 5:55
    마이너스 6 분의 마이너스 3 이니까,
  • 5:55 - 5:56
    마이너스가 지워져서
  • 5:56 - 5:58
    2분의 1이 됩니다
  • 5:58 - 6:05
    중요한 점은 만약 이 y좌표를 먼저
  • 6:05 - 6:09
    사용할 경우에는,
  • 6:09 - 6:11
    같은 x좌표를 먼저 사용해야합니다
  • 6:11 - 6:16
    만약 이 y값을 먼저 계산하면,
  • 6:16 - 6:17
    이 x값을 먼저 사용해서
  • 6:17 - 6:18
    계산을 해야합니다
  • 6:18 - 6:20
    다시 말하자면, x변화량과
  • 6:20 - 6:23
    y변화량을 구할 때, 같은 도착점과
  • 6:23 - 6:24
    시작점을 사용하는게 중요합니다
  • 6:24 - 6:30
    좀 더 나은 이해를 위해 설명을 하자면,
  • 6:30 - 6:32
    x가 항상 마이너스 6만큼 이동한다고 칩니다
  • 6:32 - 6:36
    x가 마이너스 6만큼 움직이는건 거꾸로 가는거니깐,
  • 6:36 - 6:40
    y도 마이너스 3만큼 움직일 것 입니다
  • 6:40 - 6:42
    하지만 말하고자 하는 것은 같습니다
  • 6:42 - 6:44
    이 직선의 기울기는 1/2 입니다
  • 6:44 - 6:50
    x가 2칸 움직일 때 마다,
    y 는 1칸 위로 갑니다
  • 6:50 - 6:54
    또는, x가 뒤로 2칸 움직이면,
    y는 밑으로 1칸 움직입니다
  • 6:54 - 6:56
    그게 1/2 기울기가 말해주는 겁니다
  • 6:56 - 7:01
    여기 보시면, 기울기가 1/2인 직선이
  • 7:01 - 7:04
    기울기가 3인 직선보다 덜 가파릅니다
  • 7:04 - 7:06
    조금 더 해봅시다
  • 7:06 - 7:11
    여기에 직선 c 가 있습니다
  • 7:11 - 7:13
    분홍색으로 쓸게요
  • 7:13 - 7:15
    이점이 시작점 이라고 칩시다
  • 7:15 - 7:16
    그냥 제가 마음대로 정하는겁니다
  • 7:16 - 7:19
    여기에 그려져 있는 점들을 사용할겁니다
  • 7:19 - 7:23
    시작점은 (-1, 6)이고,
  • 7:23 - 7:29
    끝나는 점은 (5,-6)입니다
  • 7:33 - 7:36
    기울기가 y의, 죄송합니다,
  • 7:36 - 7:40
    x변화량 분의,
  • 7:40 - 7:41
    절대 안까먹을겁니다
  • 7:41 - 7:44
    x변화량 분의 y변화량입니다
  • 7:44 - 7:46
    x값의 증가량 분의 y값의 증가량 이기도 한데요,
  • 7:46 - 7:49
    x값의 증가량은 양 옆으로 얼마나 움직였는지,
  • 7:49 - 7:51
    y값의 증가량은 위아래로 얼마나 움직였는지 입니다
  • 7:51 - 7:56
    y값의 변화량은 y의 끝점
  • 7:56 - 8:00
    빼기 y의 시작점 입니다
  • 8:00 - 8:02
    이것이 끝점의 y값이고,
  • 8:02 - 8:06
    이건 시작점의 y값입니다.
    y값의 변화량 나누기
  • 8:06 - 8:09
    끝점의 x값 빼기 시작점의 x값 입니다
  • 8:09 - 8:11
    만약 이게 헷갈린다면,
    제가 지금 말하는건
  • 8:11 - 8:17
    끝점의 x값인 5 빼기
  • 8:17 - 8:22
    시작점의 x값인 마이너스 1 분의
    끝점의 y 값인 마이너스 6 빼기
  • 8:22 - 8:27
    시작점의 y값인 6과 같습니다
  • 8:27 - 8:32
    마이너스 6 빼기 6은
    마이너스 12고
  • 8:32 - 8:36
    5 빼기 마이너스 1은
    6입니다
  • 8:36 - 8:38
    그래서 기울기는
    마이너스 6분의 12
  • 8:38 - 8:41
    마이너스 2와 같습니다
  • 8:41 - 8:45
    이번에는 기울기가
    마이너스입니다
  • 8:45 - 8:49
    x가 1칸 늘어날 때 마다
  • 8:49 - 8:51
    y는 밑으로 내려갑니다
  • 8:51 - 8:53
    그래서 직선이 밑으로
    내려가는 모양입니다
  • 8:53 - 8:55
    선이 왼쪽 위에서
    오른쪽 밑으로 내려옵니다
  • 8:55 - 8:59
    x가 증가할 수록
    y는 감소합니다
  • 8:59 - 9:00
    그래서 기울기가
    음수인겁니다
  • 9:00 - 9:03
    이 직선은 기울기가
    양수여야 합니다
  • 9:03 - 9:05
    증명을 해봅시다
  • 9:05 - 9:07
    여기에 있는 같은 점들을
  • 9:07 - 9:09
    사용해보겠습니다
  • 9:09 - 9:12
    이 선은 직선 d입니다
  • 9:12 - 9:18
    기울기는 x변화량 분의 y변화량입니다
  • 9:18 - 9:21
    이 점에서 이 점으로 갈 때
    y값이 얼마나 바뀝니까?
  • 9:21 - 9:22
    한번 봅시다
  • 9:22 - 9:22
    이렇게 해봅시다
  • 9:22 - 9:26
    올라가는거니까
    칸을 셀 수 있습니다
  • 9:26 - 9:30
    하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯
  • 9:30 - 9:32
    y가 6칸 올라갔습니다
  • 9:32 - 9:34
    x는 얼마나 변화했나요?
  • 9:34 - 9:36
    다른 색을 사용하겠습니다
  • 9:36 - 9:42
    하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯
  • 9:42 - 9:44
    x가 6칸 움직였습니다
  • 9:44 - 9:46
    그래서 기울기는 6분의 6
    또는 1 입니다
  • 9:46 - 9:50
    x를 1칸 움직일 때 마다
  • 9:50 - 9:52
    오른쪽으로 1만큼 움직일 때 마다
  • 9:52 - 9:55
    y또한 1만큼 위로 움직입니다
  • 9:55 - 9:59
    x가 마이너스 2만큼 움직인다면
  • 9:59 - 10:02
    y도 마이너스 2 만큼 움직입니다
  • 10:02 - 10:06
    결국 이 기울기 에서는
    x 변화량과 y 변화량이 같습니다
  • 10:06 - 10:07
    쉽죠?
  • 10:07 - 10:09
    만약 이것을 수학적으로
    계산을 한다면
  • 10:09 - 10:11
    이 좌표를 이용할 수 있습니다
  • 10:11 - 10:14
    이것이 시작점이라고
    할 수 있습니다
  • 10:14 - 10:20
    시작점은 (-2,-4)
  • 10:20 - 10:26
    끝점은 (4,2)입니다
  • 10:26 - 10:30
    (4,2)
  • 10:30 - 10:35
    기울기는 x변화량 분의
    y변화량이니까
  • 10:35 - 10:42
    4 빼기 마이너스 2 분의
  • 10:42 - 10:45
    2 빼기 마이너스 4입니다
  • 10:45 - 10:49
    2 빼기 마이너스 4는 6입니다
  • 10:49 - 10:52
    이건 이 부분의 거리라는겁니다
  • 10:52 - 10:55
    4 빼기 마이너스 2는 6이고
  • 10:55 - 10:57
    이것 또한 이부분의 거리입니다
  • 10:57 - 11:01
    기울기가 1이 나옵니다
  • 11:01 - 11:01
    하나 더 풀어봅시다
  • 11:01 - 11:02
    조금 더 풀어봅시다
  • 11:02 - 11:04
    재미있는 문제들입니다
  • 11:04 - 11:08
    직선 e의 기울기를 구해봅시다
  • 11:08 - 11:12
    x변화량 분의 y변화량
  • 11:12 - 11:14
    y의 변화량을 구해보면
    이 점에서 저 점으로 가봅시다
  • 11:14 - 11:16
    그냥 세어 보겠습니다
  • 11:16 - 11:19
    하나, 둘, 셋, 넷, 다섯
    여섯, 일곱, 여덟
  • 11:19 - 11:21
    8 입니다
  • 11:21 - 11:26
    또는 2 빼기 마이너스 6을 하면
  • 11:26 - 11:28
    거리가 8이 나옵니다
  • 11:28 - 11:30
    y의 변화량이 무엇입니까?
  • 11:30 - 11:33
    아니 x의 변화량이 무엇입니까?
  • 11:33 - 11:34
    이 점의 x값은 4이고
  • 11:34 - 11:35
    이 점의 x값도 4입니다
  • 11:35 - 11:37
    x는 변하지 않습니다
  • 11:37 - 11:39
    기울기는 0분의 8인데
  • 11:39 - 11:41
    잘 모르겠습니다.
  • 11:41 - 11:42
    0분의 8은 정의할 수 없습니다
  • 11:42 - 11:45
    이 경우에서는
    기울기 정의가 불가능합니다
  • 11:45 - 11:47
    항상 세로로된 직선이 있으면
  • 11:47 - 11:49
    기울기는 없습니다
  • 11:52 - 11:54
    0으로 나누기 때문입니다
  • 11:54 - 11:57
    하지만 기울기가 없다는 것은
  • 11:57 - 11:58
    직선의 세로로
    되어있다는 것을 말해줍니다
  • 11:58 - 12:00
    마지막으로 이걸 해봅시다
  • 12:00 - 12:03
    이 직선은 평범한 직선
  • 12:03 - 12:04
    문제 인 것 같습니다
  • 12:04 - 12:08
    이 점은
  • 12:08 - 12:10
    (3,1)입니다
  • 12:10 - 12:11
    이건 직선 f입니다
  • 12:11 - 12:14
    좌표가 (3,1)인 점 하나가 있습니다
  • 12:14 - 12:20
    여기에는 점 (-6,-2)이 있습니다
  • 12:20 - 12:24
    기울기는 y변화량 나누기
  • 12:24 - 12:30
    다른 방향으로 갈 수 있도록
    이 점을 끝점이라고 하겠습니다
  • 12:30 - 12:34
    y의 변화량이
    이번에는 밑으로 내려갈겁니다
  • 12:34 - 12:37
    마이너스 2 빼기 1입니다
  • 12:37 - 12:39
    이 부분의 거리입니다
  • 12:39 - 12:42
    마이너스 2 빼기 1는
    마이너스 3입니다
  • 12:42 - 12:44
    3칸 밑으로 내려갔습니다
  • 12:44 - 12:47
    x의 변화량은 무엇입니까?
  • 12:47 - 12:50
    뒤로 갈겁니다
  • 12:50 - 12:52
    얼마나 움직였습니까?
  • 12:52 - 13:00
    마이너스 6 빼기 3입니다
  • 13:00 - 13:05
    이부분의 거리는 마이너스 9 입니다
  • 13:05 - 13:09
    왼쪽으로 9칸 움직일 때 마다
    3칸 밑으로 움직입니다
  • 13:09 - 13:13
    뒤로 9칸 갈 때, 3칸 밑으로 갑니다
  • 13:13 - 13:17
    이것은 앞으로 9칸 움직일 때
    위로 3칸 움직이는 것과 같습니다
  • 13:17 - 13:18
    다 똑같습니다.
  • 13:18 - 13:22
    마이너스가 없어지고
    기울기는 3분의 1입니다
  • 13:22 - 13:23
    3분의 1입니다
  • 13:23 - 13:26
    위로 올라가는 직선입니다
  • 13:26 - 13:38
    3칸 옆으로 움직일 때,
    1칸 위로 움직입니다
  • 13:38 - 13:42
    이 영상이 기울기에 대한
    좋은 복습이였길 바랍니다
Title:
Slope and Rate of Change
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
13:42

Korean subtitles

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