< Return to Video

Incenter and incircles of a triangle

  • 0:00 - 0:03
    有一個三角形ABC
  • 0:03 - 0:04
    上次我們開始探索了
  • 0:04 - 0:08
    角平分線上點的一些性質
  • 0:08 - 0:09
    現在我要做的
  • 0:09 - 0:10
    是要看一下
  • 0:10 - 0:11
    當我們把這些思想用到
  • 0:12 - 0:14
    三角形或三角形中的角上時會怎樣
  • 0:14 - 0:19
    讓我們把這個角平分 角BAC
  • 0:19 - 0:20
    畫一條角平方分線
  • 0:20 - 0:23
    角平分線看起來像這樣
  • 0:23 - 0:28
    我要保證平分這個角 很接近
  • 0:28 - 0:29
    看起來很接近
  • 0:29 - 0:31
    這就是角平分線
  • 0:31 - 0:33
    讓我們把這個點叫做
  • 0:33 - 0:34
    嗯
  • 0:34 - 0:36
    把這個點叫做D
  • 0:36 - 0:38
    讓我再畫一個角平分線
  • 0:38 - 0:42
    平分角ABC
  • 0:42 - 0:43
    讓我畫出這個
  • 0:43 - 0:47
    它看起來像這樣
  • 0:47 - 0:50
    把這個點叫做E
  • 0:50 - 0:54
    AD平分角BAC
  • 0:54 - 0:59
    BE平分角ABC
  • 0:59 - 1:01
    這條綠線AD
  • 1:01 - 1:02
    平分這個角
  • 1:02 - 1:05
    這告訴我們這個角
  • 1:05 - 1:07
    一定和這個角相等
  • 1:07 - 1:08
    它們的角度一定相同
  • 1:08 - 1:13
    這條平分角ABC
  • 1:13 - 1:17
    告訴我們ABE的角度
  • 1:17 - 1:21
    一定等於EBC的角度
  • 1:21 - 1:22
    EBC
  • 1:22 - 1:25
    我們清楚地看到它們相交在
  • 1:25 - 1:28
    三角形內部的一個點
  • 1:28 - 1:30
    把它叫做
  • 1:30 - 1:32
    就把它叫做I
  • 1:32 - 1:34
    我跳過了幾個字母
  • 1:34 - 1:37
    但它是一個很有用的字母
  • 1:37 - 1:39
    根據一會兒我們叫它的名字
  • 1:39 - 1:40
    我們知道I一些有趣的性質
  • 1:40 - 1:43
    I在這兩條角平分線上
  • 1:43 - 1:45
    我們在之前的錄像中看到過
  • 1:45 - 1:48
    角平分上的點
  • 1:48 - 1:52
    到角的兩邊距離相等
  • 1:52 - 1:57
    例如 I在AD上
  • 1:57 - 2:00
    所以它到角BAC的兩邊距離相等
  • 2:00 - 2:01
    這是一邊
  • 2:01 - 2:04
    這是一邊
  • 2:04 - 2:06
    這是另一邊
  • 2:06 - 2:09
    因爲I在AD上
  • 2:09 - 2:12
    我們知道這兩個距離相等
  • 2:12 - 2:16
    這是I和邊的最短距離
  • 2:16 - 2:18
    我們在之前的影片中已經講過
  • 2:18 - 2:21
    當我們談到點與線之間的距離時
  • 2:21 - 2:23
    我們指的是最短距離
  • 2:23 - 2:25
    是你畫直角符號時的距離
  • 2:25 - 2:28
    所以我在這兒畫一個直角符號
  • 2:28 - 2:30
    讓我們做個標記
  • 2:30 - 2:31
    這個是點F
  • 2:31 - 2:33
    這個是點G
  • 2:33 - 2:38
    因爲I在AD上 在這條角分線上
  • 2:38 - 2:42
    我們知道IF
  • 2:42 - 2:45
    和IG相等
  • 2:45 - 2:46
    足夠均勻
  • 2:46 - 2:50
    I也在這條角分線上
  • 2:50 - 2:52
    它也在BE上
  • 2:52 - 2:55
    它一定是等距的
  • 2:55 - 2:59
    I到AB和BC等距
  • 2:59 - 3:00
    I到AB的距離
  • 3:00 - 3:03
    我們已經說過是這兒 是IG
  • 3:03 - 3:06
    我們也知道
  • 3:06 - 3:10
    那個距離一定和I到BC的距離相等
  • 3:10 - 3:13
    如果我再在這兒畫一個直角
  • 3:13 - 3:15
    把這個點叫做
  • 3:15 - 3:17
    還沒用過H
  • 3:17 - 3:20
    這個距離一定等於這個距離
  • 3:20 - 3:23
    因爲I在這條角分線上
  • 3:23 - 3:26
    所以IG一定等於IH
  • 3:26 - 3:29
    IG一定等於IH
  • 3:29 - 3:33
    IF也等於IG 所以我們也可以說
  • 3:33 - 3:36
    如果IF等於IG等於IH
  • 3:36 - 3:40
    IF也等於IH
  • 3:40 - 3:42
    很簡單
  • 3:42 - 3:44
    如果這個等於那個 那個等於那個
  • 3:44 - 3:46
    那麽這兩個一定相等
  • 3:46 - 3:50
    如果I到一個角的兩邊距離相等
  • 3:50 - 3:52
    這是我們是上一節影片中證明的第二部分
  • 3:52 - 3:57
    如果一個點到角的兩邊距離相等
  • 3:57 - 4:02
    那麽這個點一定在角分線上
  • 4:02 - 4:04
    所以
  • 4:04 - 4:08
    I一定在角分線上
  • 4:08 - 4:21
    I在角ACB的角分線上
  • 4:21 - 4:25
    因爲它到角ACB的兩邊距離相等
  • 4:25 - 4:27
    我們剛剛證明的是
  • 4:27 - 4:31
    三角形中有唯一一點
  • 4:31 - 4:33
    同時在三條角分線上
  • 4:34 - 4:36
    三條線時不是很明顯
  • 4:36 - 4:37
    通常三條線
  • 4:37 - 4:39
    不會交於一點
  • 4:39 - 4:41
    兩條直線時很合理
  • 4:41 - 4:43
    但是三條直線不總相交於一點
  • 4:43 - 4:46
    讓我們看一下外心
  • 4:46 - 4:48
    我們取邊的垂直平分線
  • 4:48 - 4:51
    很整潔 它們相交一點
  • 4:51 - 4:53
    現在我們證明
  • 4:53 - 4:56
    角分線也相交於一點
  • 4:56 - 4:59
    I在角ACB的角分線上
  • 4:59 - 5:03
    角ACB的角分線看起來像這樣
  • 5:03 - 5:05
    像這樣
  • 5:05 - 5:07
    這個角
  • 5:07 - 5:11
    等於這個角
  • 5:11 - 5:13
    我們剛剛證明了
  • 5:13 - 5:16
    三角形的三條角分線
  • 5:16 - 5:19
    相交於唯一一點
  • 5:19 - 5:22
    同時在三條上
  • 5:22 - 5:24
    我們應該取個特別的名字
  • 5:24 - 5:25
    實際上我們有
  • 5:25 - 5:26
    這是我爲什麽把它叫做I
  • 5:26 - 5:30
    我們把I叫做內心
  • 5:30 - 5:36
    三角形ABC的內心
  • 5:36 - 5:39
    你們將看到第二個原因它爲什麽叫做內心
  • 5:39 - 5:41
    當我們談到外心
  • 5:41 - 5:43
    它是一個圓的圓心
  • 5:43 - 5:45
    三角形外接圓的圓心
  • 5:45 - 5:49
    I 我們將在五秒鍾之內看到
  • 5:49 - 5:51
    是一個圓的圓心
  • 5:51 - 5:52
    是一個圓
  • 5:52 - 5:55
    可以放在三角形內部
  • 5:55 - 5:56
    與三條邊相切
  • 5:56 - 5:58
    我們怎麽構造它呢
  • 5:58 - 6:00
    我們剛剛證明了
  • 6:00 - 6:03
    I和三邊距離相等
  • 6:03 - 6:06
    這個距離和那個和那個相等
  • 6:06 - 6:09
    如果我們以I爲圓心
  • 6:09 - 6:11
    以I到任意一邊的距離
  • 6:11 - 6:14
    爲半徑
  • 6:14 - 6:18
    以IF或IG或IH爲半徑
  • 6:18 - 6:20
    你將得到
  • 6:20 - 6:21
    這樣一個圓
  • 6:21 - 6:25
    將得到這樣一個圓
  • 6:25 - 6:27
    你將
  • 6:27 - 6:28
    讓我畫得好看些
  • 6:28 - 6:30
    我沒有
  • 6:30 - 6:32
    你可以想象
  • 6:32 - 6:34
    這是我畫得最好的了
  • 6:34 - 6:36
    這個圓的半徑
  • 6:36 - 6:39
    等於I到各邊的距離
  • 6:39 - 6:42
    我們已經證明它們相等了
  • 6:42 - 6:44
    它們都在圓內
  • 6:44 - 6:47
    我們把它叫做內切圓
  • 6:47 - 6:48
    所以圓I
  • 6:48 - 6:52
    記住用圓心表示圓
  • 6:52 - 7:01
    圓I是三角形ABC的內切圓
  • 7:01 - 7:05
    圓I的半徑
  • 7:05 - 7:07
    我們可以叫這個距離R
  • 7:07 - 7:12
    R等於IF等於IH
  • 7:12 - 7:15
    等於IG
  • 7:15 - 7:18
    我們把這個長度叫做內徑
  • 7:18 - 7:21
    很有道理 因爲它在裏面
  • 7:21 - 7:22
    我們有
  • 7:22 - 7:24
    當我們談到
  • 7:24 - 7:28
    垂直平分線的交點時 我們有外心
  • 7:28 - 7:29
    因爲它是三角形的
  • 7:29 - 7:31
    外接圓的圓心
  • 7:31 - 7:35
    現在我們談的是角分線的交點
  • 7:35 - 7:39
    用它我們可以定義一個圓
  • 7:39 - 7:41
    它在一個三角形中
  • 7:41 - 7:45
    與各邊相切
  • 7:45 - 7:48
    因爲它在三角形中 我們叫它內切圓
  • 7:48 - 7:52
    我們把角分線交點叫做內心
  • 7:52 - 7:56
    我們把這個距離叫做內徑
Title:
Incenter and incircles of a triangle
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:58

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.