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Incenter and incircles of a triangle

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    有一个三角形ABC
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    上次我们开始探索了
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    角平分线上点的一些性质
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    现在我要做的
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    是要看一下
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    当我们把这些思想用到
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    三角形或三角形中的角上时会怎样
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    让我们把这个角平分 角BAC
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    画一条角平方分线
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    角平分线看起来像这样
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    我要保证平分这个角 很接近
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    看起来很接近
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    这就是角平分线
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    让我们把这个点叫做
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    嗯
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    把这个点叫做D
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    让我再画一个角平分线
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    平分角ABC
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    让我画出这个
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    它看起来像这样
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    把这个点叫做E
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    AD平分角BAC
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    BE平分角ABC
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    这条绿线AD
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    平分这个角
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    这告诉我们这个角
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    一定和这个角相等
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    它们的角度一定相同
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    这条平分角ABC
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    告诉我们ABE的角度
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    一定等于EBC的角度
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    EBC
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    我们清楚地看到它们相交在
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    三角形内部的一个点
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    把它叫做
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    就把它叫做I
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    我跳过了几个字母
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    但它是一个很有用的字母
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    根据一会儿我们叫它的名字
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    我们知道I一些有趣的性质
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    I在这两条角平分线上
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    我们在之前的录像中看到过
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    角平分上的点
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    到角的两边距离相等
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    例如 I在AD上
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    所以它到角BAC的两边距离相等
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    这是一边
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    这是一边
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    这是另一边
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    因为I在AD上
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    我们知道这两个距离相等
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    这是I和边的最短距离
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    我们在之前的视频中已经讲过
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    当我们谈到点与线之间的距离时
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    我们指的是最短距离
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    是你画直角符号时的距离
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    所以我在这儿画一个直角符号
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    让我们做个标记
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    这个是点F
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    这个是点G
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    因为I在AD上 在这条角分线上
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    我们知道IF
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    和IG相等
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    足够均匀
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    I也在这条角分线上
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    它也在BE上
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    它一定是等距的
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    I到AB和BC等距
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    I到AB的距离
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    我们已经说过是这儿 是IG
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    我们也知道
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    那个距离一定和I到BC的距离相等
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    如果我再在这儿画一个直角
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    把这个点叫做
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    还没用过H
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    这个距离一定等于这个距离
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    因为I在这条角分线上
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    所以IG一定等于IH
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    IG一定等于IH
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    IF也等于IG 所以我们也可以说
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    如果IF等于IG等于IH
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    IF也等于IH
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    很简单
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    如果这个等于那个 那个等于那个
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    那么这两个一定相等
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    如果I到一个角的两边距离相等
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    这是我们是上一节视频中证明的第二部分
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    如果一个点到角的两边距离相等
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    那么这个点一定在角分线上
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    所以
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    I一定在角分线上
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    I在角ACB的角分线上
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    因为它到角ACB的两边距离相等
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    我们刚刚证明的是
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    三角形中有唯一一点
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    同时在三条角分线上
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    三条线时不是很明显
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    通常三条线
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    不会交于一点
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    两条直线时很合理
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    但是三条直线不总相交于一点
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    让我们看一下外心
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    我们取边的垂直平分线
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    很整洁 它们相交一点
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    现在我们证明
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    角分线也相交于一点
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    I在角ACB的角分线上
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    角ACB的角分线看起来像这样
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    像这样
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    这个角
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    等于这个角
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    我们刚刚证明了
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    三角形的三条角分线
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    相交于唯一一点
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    同时在三条上
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    我们应该取个特别的名字
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    实际上我们有
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    这是我为什么把它叫做I
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    我们把I叫做内心
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    三角形ABC的内心
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    你们将看到第二个原因它为什么叫做内心
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    当我们谈到外心
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    它是一个圆的圆心
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    三角形外接圆的圆心
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    I 我们将在五秒钟之内看到
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    是一个圆的圆心
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    是一个圆
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    可以放在三角形内部
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    与三条边相切
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    我们怎么构造它呢
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    我们刚刚证明了
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    I和三边距离相等
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    这个距离和那个和那个相等
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    如果我们以I为圆心
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    以I到任意一边的距离
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    为半径
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    以IF或IG或IH为半径
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    你将得到
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    这样一个圆
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    将得到这样一个圆
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    你将
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    让我画得好看些
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    我没有
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    你可以想象
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    这是我画得最好的了
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    这个圆的半径
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    等于I到各边的距离
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    我们已经证明它们相等了
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    它们都在圆内
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    我们把它叫做内切圆
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    所以圆I
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    记住用圆心表示圆
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    圆I是三角形ABC的内切圆
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    圆I的半径
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    我们可以叫这个距离R
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    R等于IF等于IH
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    等于IG
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    我们把这个长度叫做内径
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    很有道理 因为它在里面
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    我们有
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    当我们谈到
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    垂直平分线的交点时 我们有外心
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    因为它是三角形的
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    外接圆的圆心
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    现在我们谈的是角分线的交点
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    用它我们可以定义一个圆
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    它在一个三角形中
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    与各边相切
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    因为它在三角形中 我们叫它内切圆
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    我们把角分线交点叫做内心
  • 7:52 - 7:56
    我们把这个距离叫做内径
Title:
Incenter and incircles of a triangle
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:58

Chinese (Simplified, China) subtitles

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