Tối ưu hóa: tổng bình phương | Các ứng dụng của đạo hàm | AP Giải tích AB | Khan Academy

Giá trị nhỏ nhất có thể có của x ^ 2 + y ^ 2 là bao nhiêu khi tích của chúng phải cố định tại xy = -16. Tạo bởi Sal Khan.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-application-deriutions/ab-optimization/v/optimizing-box-volume-graphically?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-application-deriicals/ab-osystem-rates/v/rate-of-change-of-balloon-height?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign= APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Đăng ký kênh Khan Academy AP Calculus AB: https://www.youtube.com/channel/UCyoj0ZF4uw8VTFbmlfOVPuw?sub_confirmation=1
Đăng ký Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Đề bài hỏi, cái gì là nhỏ nhất - đây

là một lỗi đánh máy nhỏ ở đây - tổng bình phương nhỏ nhất

có thể có của hai số là bao nhiêu

nếu tích của chúng là âm 16?

Đầu tiên giả sử rằng hai số này là x và y.

Vậy làm thế nào chúng ta có thể xác định tổng bình phương của

hai số?

Mình gọi S là tổng bình phương,

s là tổng bình phương, và nó sẽ

bằng x bình phương cộng với y bình phương.

Và đây là điều chúng ta muốn tìm là giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất của s.

Bây giờ, s được biểu diễn dưới dạng một hàm của x và y.

Chúng ta không biết làm thế nào để giảm thiểu đối với hai biến,

vì vậy chúng ta phải đạt được giá trị nhỏ nhất với chỉ một biến.

Và may mắn , đề cho chúng mình một số thông tin.

Tích của chúng là âm 16.

Vì vậy, x nhân với y bằng âm 16.

Giả sử chúng ta muốn biểu thức

này ngay tại đây chỉ với x.

Sau đó, chúng ta có thể tìm ra y là gì

theo x và sau đó thay thế.

Bắt đầu làm thôi nào.

Nếu chúng ta chia cả hai vế cho x, chúng ta nhận được y bằng âm 16

trên x.

Tiếp theo ta thay thế y trong biểu thức này

với âm 16 trên x.

Sau đó chúng ta sẽ nhận được tổng bình phương

khi một hàm số của x sẽ bằng

x bình phương cộng với y bình phương.

y là âm 16 trên x.

Và sau đó đó là những gì có chúng ta sẽ là bình phương.

Vì vậy, đây là bằng x bình phương cộng, đây là gì?

256 trên x bình phương.

Hoặc chúng ta có thể viết là 256x mũ âm 2.

Đó là tổng các bình phương mà bây giờ chúng ta muốn giảm thiểu.

Để giảm thiểu điều này, chúng ta có thể xem xét

các điểm cực trị của điều này,

đó là nơi đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định,

và xem liệu những cực trị đó

có thể là điểm cực tiểu hay cực đại.

Chúng không nhất thiết phải như vậy, nhưng đó là những điểm

nếu chúng ta có điểm cực đại hoặc cực tiểu,

chúng sẽ là một trong những điểm cực trị.

Vì vậy, chúng ta hãy lấy đạo hàm.

Vì vậy, đạo hàm của s phẩy-- hãy để mình l

àm điều này với một màu khác - số phẩy của x.

Mình sẽ làm điều đó ngay tại đây.

Đạo hàm s phẩy của x đối với

x sẽ bằng 2x lần

âm 2 lần 2x cộng với 256 lần âm 2.

Vì vậy, đó là trừ 512x mũ âm 3.

Bây giờ, hàm số sẽ là không xác định khi x bằng 0.

Nhưng nếu x bằng 0, thì y là không xác định.

Vì vậy, toàn bộ những gì chúng ta làm sẽ bị sai.

Vì vậy, đó không phải là một điểm cực trị, x bằng 0.

Chúng ta hãy nghĩ về bất kỳ điểm nào khác.

Nó còn xác định được ở đâu không nhỉ?

Chúng ta hãy suy nghĩ về trường hợp đạo hàm bằng 0.

Vậy khi nào điều này bằng 0?

Vậy khi nào 2x trừ 512x mũ âm 3 bằng 0?

Chà, chúng ta có thể thêm 512x mũ ân 3 ở cả hai vế.

Bạn nhận được 2x bằng 512x mũ âm 3.

Chúng ta có thể nhân cả hai vế với x mũ 3

để tất cả các x sẽ biến mất ở vế phải.

Vì vậy, bạn nhận được 2x mũ 4 bằng 512.

Chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2, và bạn

nhận được x mũ bốn bằng 256.

Và vậy căn bậc bốn của 256 là gì?

Chúng ta có thể lấy căn bậc hai của cả hai vế

để giúp chúng ta ở đây.

Chúng ta hãy xem.

Nó sẽ là x bình phương sẽ bằng 256

là 16 bình phương.

Vì vậy, đây là 16.

Đây sẽ là x bình phương bằng 16 hoặc x bằng 4.

Bây giờ đó là điểm cực trị duy nhất mà chúng ta có,

vì vậy đó có thể là giá trị x nhỏ nhất

của tổng bình phương ngay tại đây.

Nhưng hãy đảm bảo rằng đó là giá trị nhỏ nhất.

Và để làm được điều đó, chúng ta chỉ có thể thực hiện phép thử đạo hàm cấp hai.

Hãy cùng tìm nó nào.

Hãy lấy đạo hàm cấp hai của s

phẩy phẩy của x và tính xem hàm số có lồi lên

hay lồi xuống khi x bằng 4.

Vì vậy, số phẩy phẩy của x sẽ bằng 2.

Và khi đó chúng ta sẽ có
âm 3 lần âm 512.

Vì vậy, mình sẽ chỉ viết rằng cộng với 3 lần 512.

Con số đó sẽ là 1,536.

Có đúng không?

Vâng, 3 lần 500 là 1.500, 3 nhân với 12 là 36,

x mũ âm 4.

Và điều này ở đây

thực sự sẽ dương cho bất kỳ x nào.

x mũ âm 4, ngay cả khi giá trị x âm,

điều đó sẽ là dương.

Mọi thứ đều dương.

Vậy, điều này luôn luôn dương.

Vì vậy, hàm số luôn ở trong tình trạng lồi lên.

Lồi lên có nghĩa là đồ thị của chúng ta

có thể trông giống như vậy.

Hình như nó hơi nhỏ thì phải.

Nó có thể trông giống như vậy.

Và bạn thấy có một lý do tại sao đạo hàm cấp hai

có nghĩa là lồi lên, vì đạo hàm cấp hai dương

nghĩa là đạo hàm của chúng ta không ngừng tăng lên.

Vì vậy đạo hàm không ngừng tăng lên.

Nó âm, ít âm hơn, thậm chí ít âm hơn nữa.

Hãy để mình viết lại với một màu khác.

Bạn thấy nó âm, ít âm hơn, thậm chí ít âm hơn,

0, dương hơn, dương hơn.

Vì vậy, nó đang tăng lên trên toàn bộ vị trí.

Nếu bạn có một điểm cực trị mà

đạo hàm bằng 0, do đó hệ số góc bằng 0

và nó lồi lên, bạn thấy khá rõ ràng

rằng chúng ta đã làm hàm số nhỏ nhất.

Vậy y sẽ bằng bao nhiêu?

Chúng ta thực sự không cần phải tìm ra

y phải bằng gì để

tổng bình phương đạt giá trị nhỏ nhất.

Chúng mình chỉ có thể đặt nó trở lại vào hàm số này.

Chúng ta thấy rằng y sẽ âm 16 trên x.

Vì vậy, y sẽ bằng âm 4.

Và bây giờ chúng ta có thể tìm ra tổng bình phương của chúng ta là bao nhiêu.

Tổng bình phương tối thiểu của chúng ta

sẽ bằng 4 bình phương, là 16 cộng với âm 4

bình phương cộng là 16, bằng 32.

Bây giờ mình biết một số bạn có thể đang nghĩ,

này, mình có thể đã làm điều này mà không cần tính toán .

Mình có thể vừa thử những con số có tích

là âm 16 và mình có thể đã thử số 4 và âm 4

trong thời gian ngắn và sau đó mình có thể tìm ra

nó thấp hơn nếu mình

làm 2 và âm 8 hoặc âm 2 và 8 hoặc 1 và 16.

Và đó là sự thật,

bạn có thể đã làm được điều đó.

Nhưng bạn vẫn sẽ không thể cảm thấy đúng

đó là giá trị nhỏ nhất, bởi vì bạn sẽ không

thử 4.01 hoặc 4.0011.

Trên thực tế, bạn không thể thử tất cả các giá trị có thể.

Hãy nhớ rằng, đề bài không nói rằng đây chỉ là số nguyên.

Tình cờ là các giá trị của chúng

là số nguyên trong tình huống này.

Bạn có thể tưởng tượng điều gì sẽ xảy ra nếu đề bài không

cho tích là âm 16,

nhưng nếu tích là âm 17 thì sao?

Hoặc nếu tích là âm 16,5 thì sao?

Hoặc điều gì sẽ xảy ra nếu tích là pi bình phương?

Sau đó, bạn sẽ không thể thử

mọi thứ khác và bạn sẽ phải dùng đến những gì

chúng ta đã làm trong video này.