< Return to Video

Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:04
    เขาถามเราว่า ค่าที่น้อยที่สุด --
  • 0:04 - 0:08
    มีพิมพ์ผิดตรงนี้ -- ค่าผลบวกของกำลังสอง
  • 0:08 - 0:10
    ของจำนวนสองตัวที่น้อยที่สุดเป็นเท่าใด
  • 0:10 - 0:14
    ถ้าผลคูณของพวกมันเท่ากับลบ 16?
  • 0:14 - 0:20
    สมมุติว่าจำนวนสองตัวนี้คือ x กับ y
  • 0:20 - 0:23
    เราจะนิยามผลบวกของกำลังสองของ
    จำนวนสองตัวอย่างไร?
  • 0:23 - 0:24
  • 0:24 - 0:26
    ผมจะเรียกผลบวกของกำลังสอง
  • 0:26 - 0:29
    S แทนผลบวกของกำลังสอง และมันจะ
  • 0:29 - 0:33
    เท่ากับ x กำลังสองบวก y กำลังสอง
  • 0:33 - 0:35
    และนี่คือสิ่งที่เราอยากให้มีค่าต่ำสุด
  • 0:35 - 0:41
    เราอยากให้ S มีค่าต่ำสุด
  • 0:41 - 0:44
    ทีนี้ ตอนนี้ S เขียนอยู่ในรูปฟังก์ชันของ x กับ y
  • 0:44 - 0:46
    เราไม่รู้วิธีทำให้ค่าต่ำสุดเทียบกับตัวแปรสองตัว
  • 0:46 - 0:49
    เราจึงต้องทำให้พจน์นี้มีตัวแปรเดียว
  • 0:49 - 0:52
    โชคดี เขาให้ข้อมูลเรามาอีกอย่าง
  • 0:52 - 0:55
    ผลคูณของพวกมันเท่ากับลบ 16
  • 0:55 - 1:01
    x คูณ y เท่ากับลบ 16
  • 1:01 - 1:03
    สมมุติว่าเราอยากได้พจน์นี่
  • 1:03 - 1:05
    ตรงนี้อยู่ในรูปของ x เท่านั้น
  • 1:05 - 1:08
    แล้วเราหาได้ว่า
  • 1:08 - 1:10
    y เป็นเท่าใดในรูปของ x แล้วแทนมันลงไป
  • 1:10 - 1:11
    ลองทำตรงนี้กัน
  • 1:11 - 1:17
    ถ้าเราหารทั้งสองข้างด้วย x
    เราจะได้ y เท่ากับลบ 16
  • 1:17 - 1:18
    ส่วน x
  • 1:18 - 1:21
    แล้วลองแทน y ของเราในพจน์นี้
  • 1:21 - 1:23
    ด้วยลบ 16 ส่วน x
  • 1:23 - 1:27
    แล้วเราจะได้ผลบวกของกำลังสอง
  • 1:27 - 1:29
    เป็นฟังก์ชันของ x
  • 1:29 - 1:32
    เท่ากับ x กำลังสองบวก y กำลังสอง
  • 1:32 - 1:35
    y คือลบ 16 ส่วน x
  • 1:35 - 1:38
  • 1:38 - 1:41
    แล้วนั่นคือสิ่งที่เราจะยกกำลังสองตอนนี้
  • 1:41 - 1:47
    อันนี้จึงเท่ากับ x กำลังสอง บวก นี่คืออะไร?
  • 1:47 - 1:49
    256 ส่วน x กำลังสอง
  • 1:49 - 1:55
    หรือเราเขียนมันได้เป็น 256 x ยกกำลังลบ 2
  • 1:55 - 2:00
    นั่นคือผลบวกของกำลังสอง
    ที่เราอยากให้ค่าต่ำสุด
  • 2:00 - 2:02
    เพื่อให้ค่านี้ต่ำสุด เราอยาก
  • 2:02 - 2:04
    ดูจุดวิกฤตของฟังก์ชันนี้
  • 2:04 - 2:07
    ซึ่งก็คือตำแหน่งที่อนุพันธ์เป็น 0
    หรือไม่ก็ไม่นิยาม
  • 2:07 - 2:10
    แล้วดูว่าจุดวิกฤตเหล่านี้
  • 2:10 - 2:11
    เป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุด
  • 2:11 - 2:13
    พวกมันไม่จำเป็นต้องใช่ แต่พวกมัน
  • 2:13 - 2:15
    จะใช่ถ้าเรามีจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด
  • 2:15 - 2:17
    พวกมันจะเป็นหนึ่งในจุดวิกฤต
  • 2:17 - 2:19
    ลองหาอนุพันธ์กัน
  • 2:19 - 2:21
    อนุพันธ์ S ไพรม์ -- ขอผม
  • 2:21 - 2:25
    ทำอีกสีนะ -- S ไพรม์ของ x
  • 2:25 - 2:26
    ผมจะทำตรงนี้ดีกว่า
  • 2:26 - 2:29
    อนุพันธ์ S ไพรม์ของ x เทียบ
  • 2:29 - 2:33
    กับ x จะเท่ากับ 2x คูณ
  • 2:33 - 2:38
    ลบ 2 คูณ 2x บวก 256 คูณลบ 2
  • 2:38 - 2:43
    นั่นคือลบ 512 x กำลังลบ 3
  • 2:43 - 2:46
  • 2:46 - 2:53
    ทีนี้ อันนี้จะไม่นิยามเมื่อ x เท่ากับ 0
  • 2:53 - 2:56
    แต่ถ้า x เท่ากับ 0 แล้ว y จะไม่นิยาม
  • 2:56 - 2:57
    ทั้งหมดนี้ก็จะใช้ไม่ได้
  • 2:57 - 3:01
    จุดนั้นจึงไม่ใช่จุดวิกฤตที่มีประโยชน์
    x เท่ากับ 0
  • 3:01 - 3:03
    ลองคิดถึงจุดอื่นๆ บ้าง
  • 3:03 - 3:05
    มันนิยามที่อื่นหมด
  • 3:05 - 3:07
    ลองคิดตำแหน่งที่อนุพันธ์เท่ากับ 0
  • 3:07 - 3:10
    พจนนี้เท่ากับ 0 เมื่อใด?
  • 3:10 - 3:16
    2x ลบ 512 x กำลังลบ 3 เท่ากับ 0 เมื่อใด?
  • 3:16 - 3:20
    เราบวก 512 x ยกกำลังลบ 3 ทั้งสองข้างได้
  • 3:20 - 3:26
    คุณได้ 2x เท่ากับ 512 x กำลังลบ 3
  • 3:26 - 3:32
    เราคูณทั้งสองข้างด้วย x กำลัง 3 ได้
  • 3:32 - 3:35
    x ทั้งหมดหายไปทางขวามือ
  • 3:35 - 3:40
    คุณจึงได้ 2x กำลัง 4 เท่ากับ 512
  • 3:40 - 3:43
    เราหารทั้งสองข้างด้วย 2 ได้ แล้วคุณ
  • 3:43 - 3:50
    จะได้ x กำลัง 4 เท่ากับ 256
  • 3:50 - 3:53
    แล้วรากที่สี่ของ 256 เป็นเท่าใด?
  • 3:53 - 3:55
    เราหารากที่สองทั้งสองข้างเพื่อ
  • 3:55 - 3:56
    ช่วยเราได้
  • 3:56 - 3:58
    ลองดูกัน
  • 3:58 - 4:01
    มันจะเท่ากับ x กำลังสองเท่ากับ -- 256
  • 4:01 - 4:03
    คือ 16 กำลังสอง
  • 4:03 - 4:05
    นี่ก็คือ 16
  • 4:05 - 4:12
    อันนี้จะได้ x กำลังสองเท่ากับ 16
    หรือ x เท่ากับ 4
  • 4:12 - 4:15
    นั่นคือจุดวิกฤตของเราที่มี
  • 4:15 - 4:17
    มันน่าจะเป็นค่า x
  • 4:17 - 4:20
    ที่ทำให้ผลบวกของกำลังสองตรงนี้ต่ำที่สุด
  • 4:20 - 4:22
    แต่ลองดูให้แน่ใจว่ามันเป็นจุดต่ำสุดจริง
  • 4:22 - 4:25
    และเพื่อทดสอบ เราจะทำการทดสอบ
    อนุพันธ์อันดับสอง
  • 4:25 - 4:26
    ลองหากันดู
  • 4:26 - 4:28
    ลองหาอนุพันธ์อันดับสอง S
  • 4:28 - 4:31
    ไพรม์ ไพรม์ของ x แล้วหาว่าเราเว้าขึ้น
  • 4:31 - 4:34
    หรือเว้าลงเมื่อ x เท่ากับ 4
  • 4:34 - 4:38
    S ไพรม์ไพรม์ของ x จะเท่ากับ 2
  • 4:38 - 4:41
    แล้วเราจะได้ลบ 3 คูณลบ 512
  • 4:41 - 4:45
    ผมจะเขียนมันว่าบวก 3 คูณ 512
  • 4:45 - 4:48
    มันจะเท่ากับ 1,536
  • 4:48 - 4:49
    มันถูกใช่ไหม?
  • 4:49 - 4:51
    ใช่ 3 คูณ 500 เท่ากับ 1,500
    3 คูณ 12
  • 4:51 - 4:54
    ได้ 36, x กำลังลบ 4
  • 4:54 - 4:58
  • 4:58 - 4:59
    แล้วสิ่งนี่ตรงนี้จะ
  • 4:59 - 5:01
    เป็นบวกสำหรับ x ใดๆ
  • 5:01 - 5:05
  • 5:05 - 5:08
    x กำลังลบ 4 ถึงแม้ x จะเป็นลบ
  • 5:08 - 5:09
    พจน์นั้นจะเป็นบวก
  • 5:09 - 5:11
    อย่างอื่นเป็นบวกหมด
  • 5:11 - 5:13
    สิ่งนี้จะเป็นบวกเสมอ
  • 5:13 - 5:19
    เราจะได้กรณีเว้าขึ้นเสมอ
  • 5:19 - 5:22
    เว้าขึ้นแปลว่ากราฟของเราจะเป็น
  • 5:22 - 5:23
    แบบนั้น
  • 5:23 - 5:25
    จริงๆ แล้ว ผมไม่อยากวาดให้มันส่าย
  • 5:25 - 5:27
    มันอาจเป็นแบบนั้น
  • 5:27 - 5:29
    และคุณเห็นสาเหตุว่าทำไมอนุพันธ์อันดับสอง
  • 5:29 - 5:32
    ถึงบอกการเว้าขึ้น อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก
  • 5:32 - 5:35
    แปลว่าอนุพันธ์ของเรากำลังเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
  • 5:35 - 5:37
    อนุพันธ์กำลังเพิ่มขึ้นตลอด
  • 5:37 - 5:40
    มันเป็นลบ ลบน้อยลง ลบน้อยลงไปอีก
  • 5:40 - 5:41
    ขอผมใช้อีกสีนะ
  • 5:41 - 5:45
    คุณเห็นว่ามันเป็นลบ
    ลบน้อยลง ลบน้อยลงไปอีก
  • 5:45 - 5:48
    0 บวก บวกมากขึ้น
  • 5:48 - 5:50
    มันจะเพิ่มขึ้นตลอดช่วงทั้งหมด
  • 5:50 - 5:53
    ถ้าคุณมีจุดวิกฤตตรงนี้
  • 5:53 - 5:58
    อนุพันธ์จะเท่ากับ 0 ความชันจึงเท่ากับ 0
  • 5:58 - 6:00
    และมันเว้าขึ้น คุณจะเห็นได้ชัด
  • 6:00 - 6:04
    ว่าเราทำใหัฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดแล้ว
  • 6:04 - 6:07
    แล้ว y จะเท่ากับอะไร?
  • 6:07 - 6:08
    ที่จริงเราไม่ต้องหา
  • 6:08 - 6:10
    ว่า y ต้องเท่ากับอะไรเพื่อ
  • 6:10 - 6:12
    ให้ผลบวกของกำลังสองต่ำสุดด้วยซ้ำ
  • 6:12 - 6:13
    เราแค่ใส่มันลงไปในนี้
  • 6:13 - 6:17
    แต่เพื่อความสนุก เราเห็นว่า
    y จะเท่ากับลบ 16 ส่วน x
  • 6:17 - 6:21
    y จะเท่ากับลบ 4
  • 6:21 - 6:24
    และเราหาได้ว่า
    ผลบวกของกำลังสองเป็นเท่าใด
  • 6:24 - 6:26
    ผลบวกของกำลังสองที่น้อยที่สุดจะ
  • 6:26 - 6:32
    เท่ากับ 4 กำลังสอง ซึ่งก็คือ 16 บวกลบ 4
  • 6:32 - 6:36
    กำลังสองบวกอีก 16 ซึ่งเท่ากับ 32
  • 6:36 - 6:37
    ทีนี้ ผมรู้ว่าพวกคุณบางคนอาจคิดว่า เฮ้
  • 6:37 - 6:39
    ฉันทำโดยไม่ต้องใช้แคลคูลัสก็ได้
  • 6:39 - 6:42
    ฉันก็แค่ลองตัวเลขที่มีผลคูณ
  • 6:42 - 6:46
    เป็นลบ 16 แล้วฉันน่าจะเจอ 4 กับลบ 4
  • 6:46 - 6:47
    ในเวลาไม่นานนัก แล้วฉันก็
  • 6:47 - 6:50
    หาได้ว่ามันต่ำกว่า เทียบกับ
  • 6:50 - 6:54
    2 กับลบ 8 หรือลบ 2 กับ 8 หรือ 1 กับ 16
  • 6:54 - 6:55
    และมันก็จริง คุณน่าจะ
  • 6:55 - 6:56
    ทำได้
  • 6:56 - 6:58
    แต่คุณยังไม่รู้สึกพอใจ
  • 6:58 - 7:00
    ว่ามันคือค่าต่ำสุดจริง เพราะคุณยัง
  • 7:00 - 7:03
    ไม่ได้ลอง 4.01 หรือ 4.0011
  • 7:03 - 7:06
    ที่จริง คุณไม่สามารถลองทุกค่า
    ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  • 7:06 - 7:08
    นึกดู เราบอกไม่ได้ว่า จำนวนนี้
    เป็นจำนวนเต็มอย่างเดียว
  • 7:08 - 7:13
    มันแค่บังเอิญว่าค่าของเราออกมา
  • 7:13 - 7:15
    เป็นจำนวนเต็มในกรณีนี้
  • 7:15 - 7:17
    คุณคงนึกได้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าปัญหานี้ไม่ได้
  • 7:17 - 7:20
    บอกว่าผลคูณเป็นลบ 16 แต่
  • 7:20 - 7:23
    ถ้าเกิดผลคูณเป็นลบ 17 ล่ะ?
  • 7:23 - 7:26
    หรือถ้าผลคูณเป็นลบ 16.5 ล่ะ?
  • 7:26 - 7:28
    หรือถ้าผลคูณเท่ากับพายกำลังสอง?
  • 7:28 - 7:30
    คุณจะไม่สามารถลองแทนค่า
  • 7:30 - 7:32
    และคุณต้องหันมาทำ
  • 7:32 - 7:35
    แบบที่เราทำไปในวิดีโอนี้แทน
Title:
Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:35

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.