Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy

A pergunta é: qual é o menor--
tem um erro de digitação aqui--

Qual é a menor soma possível
dos quadrados de dois números

se seu produto for 16 negativo?

Digamos que estes
dois números são x e y.

Como podemos definir a soma
dos quadrados dos dois números?

Vou chama isso de a soma dos quadrados,
s para soma dos quadrados,

isso seria igual a x ao quadrado
mais y ao quadrado.

E isto é o que queremos minimizar.

Queremos minimizar s.

Agora s é expressado como uma
função de x e y.

Não sabemos minimizar
com respeito a duas variáveis,

temos que pegar isto
em termos de uma variável.

Por sorte, eles nos dão outra informação.

Seu produto é 16 negativo.

Então x vezes y é igual a 16 negativo.

Digamos que nós queremos essa
expressão aqui só em termos de x.

Então podemos descobrir qual é
y em termos de x e depois substituir.

Vamos fazer isto aqui.

Se dividirmos os dois lados por x,
temos y é igual a 16 negativo sobre x.

Vamos substituir nosso y nesta
expressão por 16 negativo sobre x.

Então teremos a soma dos quadrados
como uma função de x será igual a

x ao quadrado mais y ao quadrado.

y é 16 negativo sobre x.

É isso que nós vamos elevar ao quadrado.

Este é igual a x ao quadrado
mais-- O que é este?--

256 sobre x ao quadrado.

Ou podemos escrever isto como
256x elevado a dois negativo.

Que é a soma dos quadrados
que queremos minimizar agora.

Para minimizar isto, queremos
olhar para o ponto crítico deste,

que é onde a derivada é
zero ou indefinida,

e ver se aqueles pontos críticos são
possivelmente um ponto mínimo ou máximo.

Eles não têm que ser, mas
se temos um ponto mínimo ou máximo,

eles vão ser um dos pontos críticos.

Então vamos pegar a derivada.

A derivada de s linha--
vou fazer isto de outra cor--

s linha de x.

Vou fazer isso bem aqui.

A derivada s linha de x com respeito
a x vai ser igual a dois x

vezes dois negativo vezes dois x
mais 256 vezes dois negativo.

Que é menos 512x elevado a três negativo.

Este vai ser indefinido
quando x for igual a zero.

Mas se x for igual a zero,
então y é indefinido.

Então tudo isto é quebrado.

Este não é um ponto crítico
útil x é igual a zero.

Vamos pensar em outros.

Ele é definido em nos outros lugares.

Vamos pensar sobre onde
a derivada é igual a zero.

Então quando este é igual a zero?

Quando dois x menos 512x
elevado a três negativo é igual a zero?

Nós podemos adicionar 512x
elevado a três negativo nos dois lados.

Então temos dois x é igual a
512x elevado a três negativo.

Podemos multiplicar os dois lados
por x elevado à terceira.

então todos os x's vão
embora no lado direito.

Então temos dois x elevado
à quarta é igual a 512.

Podemos dividir os dois lados por dois,

e temos x elevado à quarta é igual a 256.

E qual é a quarta raiz de 256?

Podemos pegar a raiz quadrada
dos dois lados só para nos ajudar.

Vamos ver.

Então vai ser x ao quadrado
igual a 256 é 16 ao quadrado.

Então este é 16.

Este vai ser x ao quadrado
é igual a 16 ou x é igual a quatro.

Este é o único ponto crítico que temos,

então este provavelmente é o valor de x
que minimiza a soma dos quadrados aqui.

Vamos ter certeza que
esse é um valor mínimo.

Para fazer isto, podemos fazer
nosso segundo teste de derivada.

Vamos descobrir.

Vamos pegar a segunda derivada
s duas linhas de x e descobrir

se somos côncavos para cima ou
para baixo quando x é igual a quatro.

Então s duas linhas de x
vai ser igual a dois.

Teremos três negativo vezes 512 negativo.

Vou escrever isso como
mais três vezes 512.

Isso vai ser 1536.

Está certo?
Sim,

três vezes 500 é 1500,
três vezes 12 é 36,

x elevado a menos quatro.

E isso aqui na verdade
vai ser positivo para qualquer x.

x elevado a quatro negativo,
mesmo se o valor for x negativo,

este vai ser positivo.
Todo o restante é positivo.

Este é sempre positivo.

Então estamos sempre em uma
situação de côncavo para cima.

Côncavo para cima significa que
nosso gráfico vai ficar assim.

Não quero desenhar um rabisco.
Ele vai ficar mais ou menos assim.

Você vê o motivo porque a segunda
derivada indica côncavo para cima,

uma segunda derivada positiva significa que
nossa derivada aumenta constantemente.

É negativo, menos negativo,
e ainda menos negativo.

Vou fazer com outra cor.

Você vê que é negativo,
menos negativo, ainda menos negativo.

zero, positivo, mais positivo.

Então está aumentando no lugar inteiro.

Se você tem um ponto crítico
onde a derivada é igual a zero,

a curva é igual a zero,
e é côncavo para cima.

Você vê bem claramente que
minimizamos a função.

Então qual vai ser o valor de y?

Nem precisamos descobrir
o que y tem que ser

para minimizar a soma dos quadrados.

Podemos colocar isto de volta neste.

Mas só por diversão, vemos que
y seria 16 negativo sobre x.

Então y seria igual a quatro negativo.

E agora podemos descobrir
qual é nossa soma dos quadrados.

Nossa soma dos quadrados mínima
vai ser igual a quatro ao quadrado

que é 16 mais quatro negativo mais
outro 16, que é igual a 32.

Sei que alguns de vocês
podem estar pensando:

Eu poderia ter feito isso sem cálculo.
Poderia ter tentado números

cujo produto é 16 negativo e provavelmente
teria tentado quatro e quatro negativo

em pouco tempo e então poderia
descobrir que é menor se fizesse

dois e oito negativo ou
dois negativo e oito ou um e 16.

E isso é verdade, você provavelmente
conseguiria fazer isto.

Mas você sentiria que não estava bom
que tinha um valor mínimo,

porque você não teria
tentado 4.01 ou 4.0011.

Na verdade você não teria tentado
todos os valores possíveis.

Nós não dissemos que este é só inteiros

Só aconteceu que nossos valores
eram inteiros nessa situação.

Você pode imaginar o que
aconteceria se o problema

não fosse sobre o produto ser 16 negativo,
mas e se o produto fosse 17 negativo?

Ou e se o produto fosse 16.5 negativo?

Ou e se o produto fosse pi ao quadrado?

Você não conseguiria
tentar as outras coisas

e teria que recorrer ao
o que fizemos nesse vídeo

Legendado por [Rosana Cabral] Revisado por [Yuri Tobias]