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Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy

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    두 수의 곱이 -16일 때
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    두 수의 곱이 -16일 때
  • 0:04 - 0:08
    두 수의 제곱의 합이
    가장 작게 되는 경우는 무엇일까요?
  • 0:08 - 0:10
    두 수의 제곱의 합이
    가장 작게 되는 경우는 무엇일까요?
  • 0:10 - 0:14
    두 수의 제곱의 합이
    가장 작게 되는 경우는 무엇일까요?
  • 0:14 - 0:20
    두 수를 각각 x와 y라고 합시다
  • 0:20 - 0:23
    두 수의 제곱의 합을
    어떻게 정의해야 할까요?
  • 0:24 - 0:26
    두 수의 제곱의 합을
  • 0:26 - 0:29
    s라고 정의하겠습니다
  • 0:29 - 0:33
    그리고 이 s는 x²+y²와 같고
  • 0:33 - 0:35
    이것을 최소로 만들려고 합니다
  • 0:35 - 0:41
    우리는 s를 최소로 만들려고 합니다
  • 0:41 - 0:44
    이 s는 x와 y의 함수로
    나타낼 수 있습니다
  • 0:44 - 0:46
    두 개의 변수에 대해
    최소값을 구하는 법을 모르기 때문에
  • 0:46 - 0:49
    이를 하나의 변수로 나타내어 보겠습니다
  • 0:49 - 0:52
    다행히도 또 다른 정보 하나가 있습니다
  • 0:52 - 0:55
    둘의 곱이 -16이라는 것입니다.
  • 0:55 - 1:01
    즉 xy = -16 입니다.
  • 1:01 - 1:03
    이 식을 x에 대한 식으로만
    나타내려고 합니다
  • 1:03 - 1:05
    이 식을 x에 대한 식으로만
    나타내려고 합니다
  • 1:05 - 1:08
    그러기 위해서 y를 x에 대한
    식으로 나타내고
  • 1:08 - 1:10
    y에 그 식을 대입합시다
  • 1:10 - 1:11
    여기 이 식의
  • 1:11 - 1:17
    양변을 x로 나누면
    y = -16/x 라는 식을 얻을 수 있습니다
  • 1:18 - 1:21
    이제 이 식의 y에 -16/x를 대입합시다
  • 1:21 - 1:23
    이제 이 식의 y에 -16/x를 대입합시다
  • 1:23 - 1:27
    그렇다면 이 x의 함수인
  • 1:27 - 1:29
    제곱의 합은
  • 1:29 - 1:32
    x² + y²과 같고
  • 1:32 - 1:35
    y는 -16/x이고
  • 1:38 - 1:41
    여기 제곱을 해줍니다
  • 1:41 - 1:47
    이는 x² + 256/x²과 같습니다
  • 1:49 - 1:55
    혹은 256 곱하기 x의 -2제곱으로도
    쓸 수 있습니다
  • 1:55 - 2:00
    따라서 이것이 우리가
    최소값을 구하고 싶은 제곱의 합입니다
  • 2:00 - 2:02
    이 식의 최소값을 구하기 위해서는
  • 2:02 - 2:04
    도함수가 0이 되거나 정의되지 않는
  • 2:04 - 2:07
    극점을 찾아야 하고
  • 2:07 - 2:10
    그 다음에는 그 극점에서
  • 2:10 - 2:11
    최소값을 가지는지
    최대값을 가지는지 확인해야 합니다
  • 2:11 - 2:13
    극값은 최소값이나
    최대값이 아닐 수 있지만
  • 2:13 - 2:15
    최소값이나 최대값이 되는 점은
  • 2:15 - 2:17
    항상 극점 중에 하나가 됩니다
  • 2:17 - 2:19
    이제 이를 미분해봅시다
  • 2:19 - 2:21
    미분한 값을 s'이라고 합시다
  • 2:26 - 2:29
    x의 도함수 s'(x)는
  • 2:29 - 2:33
    2x - 512/x³이 됩니다
  • 2:33 - 2:38
    2x -512/x³이 됩니다
  • 2:38 - 2:43
    2x -512/x³이 됩니다
  • 2:46 - 2:53
    만약 x가 0이라면
    이 값은 정의되지 않습니다
  • 2:53 - 2:56
    그러나 만약 x가 0이라면
    y 또한 정의되지 않습니다
  • 2:56 - 2:57
    따라서 문제가 성립하지 않습니다
  • 2:57 - 3:01
    즉 x=0은 유용하지 않은 극점입니다
  • 3:01 - 3:03
    극값을 가지는 다른 점을 찾아봅시다
  • 3:03 - 3:05
    이 식은 x=0이외의
    모든 점에서는 정의가 되기 때문에
  • 3:05 - 3:07
    도함수가 0이 되는 점을 찾아봅시다
  • 3:07 - 3:10
    이 값은 언제 0이 될까요?
  • 3:10 - 3:16
    즉, 2x - 512/x³은 언제 0이 될까요?
  • 3:16 - 3:20
    양변에 512/x³을 더해봅시다
  • 3:20 - 3:26
    2x가 512/x³과 같아야
    한다는 것을 알 수 있습니다
  • 3:26 - 3:32
    양변에 x³을 곱하면
  • 3:32 - 3:35
    우변에 있는 x가 다 사라지게 됩니다
  • 3:35 - 3:40
    따라서 2x⁴ = 512를 얻게 됩니다
  • 3:40 - 3:43
    양변을 2로 나누게 되면
  • 3:43 - 3:50
    x⁴= 256이 되고
  • 3:50 - 3:53
    256의 네제곱근은 뭘까요?
  • 3:53 - 3:55
    우선 양변에 제곱근을 취해봅시다
  • 3:58 - 4:01
    256이 16의 제곱이므로
  • 4:01 - 4:03
    256이 16의 제곱이므로
  • 4:03 - 4:05
    x² = 16이 됩니다
  • 4:05 - 4:12
    따라서 x=4라는 것을 알 수 있습니다
  • 4:12 - 4:15
    x=4가 유일한 극점이므로
  • 4:15 - 4:17
    이것이 제곱의 합을 최소로 만드는
  • 4:17 - 4:20
    x의 값이 됩니다
  • 4:20 - 4:22
    이것이 정말 최소값인지 확인해봅시다
  • 4:22 - 4:25
    확인을 위해서
    이차도함수 판정법을 사용해봅시다
  • 4:26 - 4:28
    s를 두번 미분해서 얻은
  • 4:28 - 4:31
    s''(x)가 x=4일 때
    위로 볼록인지 아래로 볼록인지 확인해봅시다
  • 4:31 - 4:34
    s''(x)가 x=4일 때
    위로 볼록인지 아래로 볼록인지 확인해봅시다
  • 4:34 - 4:38
    s''(x) = 2
  • 4:38 - 4:41
    s''(x) = 2
  • 4:41 - 4:45
    s''(x) = 2 +
  • 4:45 - 4:48
    s''(x) = 2 + 1536
  • 4:48 - 4:49
    s''(x) = 2 + 1536
  • 4:49 - 4:51
    s''(x) = 2 + 1536
  • 4:51 - 4:54
    s''(x) = 2 + 1536/x⁴
  • 4:54 - 4:58
    s''(x) = 2 + 1536/x⁴ 가 됩니다
  • 4:58 - 4:59
    이 식은 모든 x에 대해
  • 4:59 - 5:01
    양수가 됩니다
  • 5:01 - 5:05
    이 식은 모든 x에 대해 양수가 됩니다
  • 5:05 - 5:08
    1/x⁴는 x가 음수인 경우에도
  • 5:08 - 5:09
    양수가 됩니다
  • 5:09 - 5:11
    다른 모든 것이 양수이므로
  • 5:11 - 5:13
    전체는 항상 양수가 됩니다
  • 5:13 - 5:19
    따라서 항상 아래로 볼록임을
    알 수 있습니다
  • 5:19 - 5:22
    아래로 볼록이라는 것은
    그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다
  • 5:22 - 5:23
    아래로 볼록이라는 것은
    그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다
  • 5:23 - 5:25
    아래로 볼록이라는 것은
    그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다
  • 5:25 - 5:27
    아래로 볼록이라는 것은
    그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다
  • 5:27 - 5:29
    그리고 이차도함수가 양수인 것이
  • 5:29 - 5:32
    아래로 볼록을 의미하는
    이유를 확인할 수 있는데요
  • 5:32 - 5:35
    이차도함수가 양수이면
    도함수가 계속 증가하기 때문에
  • 5:35 - 5:37
    이차도함수가 양수이면
    도함수가 계속 증가하기 때문에
  • 5:37 - 5:40
    음수 였다가 더 작은 음수가 되고
    점점 크기가 작아집니다
  • 5:40 - 5:41
    다른 색깔로 그려봅시다
  • 5:41 - 5:45
    음수 였다가 더 작은 음수가 되고
    점점 크기가 작아집니다
  • 5:45 - 5:48
    0이 되고 양수가 되고
    더 큰 양수가 됩니다
  • 5:48 - 5:50
    즉, 항상 증가하는 것을 볼 수 있습니다
  • 5:50 - 5:53
    따라서 도함수가 0이 되는 극점에서는
  • 5:53 - 5:58
    기울기가 0이고
  • 5:58 - 6:00
    아래로 볼록이기 때문에
  • 6:00 - 6:04
    함수의 최소값을 가지는 것을
    볼 수 있습니다
  • 6:04 - 6:07
    그렇다면 y의 값은 어떻게 될까요?
  • 6:07 - 6:08
    사실 제곱의 합의 최소값을 구하기 위해서
  • 6:08 - 6:10
    y의 값이 무엇인지
  • 6:10 - 6:12
    알아내야 할 필요는 없습니다
  • 6:12 - 6:13
    여기에 x를 대입해서 알아내면
    되기 때문이죠
  • 6:13 - 6:14
    하지만 우리는
  • 6:14 - 6:17
    y=-16/x라는 걸 알고 있기 때문에
  • 6:17 - 6:21
    y가 -4라는 것을 쉽게 알 수 있습니다
  • 6:21 - 6:24
    따라서 이제 우리는
    제곱의 합의 최소값을 알 수 있습니다
  • 6:24 - 6:26
    제곱의 합의 최소값은
  • 6:26 - 6:32
    4의 제곱 16 더하기
  • 6:32 - 6:36
    -4의 제곱 16, 32가 됩니다
  • 6:36 - 6:37
    여러분들 중 누군가는
  • 6:37 - 6:39
    이를 미적분 없이 할 수 있다고
    생각할 수 있습니다
  • 6:39 - 6:42
    두 수를 곱해서 -16이 되는
    수들을 대입하다보면
  • 6:42 - 6:46
    4와 -4를 금방 시도해 볼 것이고
  • 6:47 - 6:50
    이 값이 다른 값들
  • 6:50 - 6:54
    2와 -8, -2와 8, 1과 16을
    대입한 값보다 작음을 볼 수 있습니다
  • 6:54 - 6:55
    그것은 사실이고
  • 6:55 - 6:56
    여러분은 그렇게도 할 수 있지만
  • 6:56 - 6:58
    그렇게 최소값을 구한다면
  • 6:58 - 7:00
    4.01, 4.0011과 같은 값을
    시도해보지 않았기 때문에
  • 7:00 - 7:03
    그 값이 최소임을 확신할 수 없습니다
  • 7:03 - 7:06
    또한 여러분은 모든 가능한 값을
    시도해 볼 수 없습니다
  • 7:06 - 7:08
    기억해야할 것은 x와 y가 정수라는
    조건이 없다는 것입니다
  • 7:08 - 7:13
    이 경우에는 우연히 최소값을
  • 7:13 - 7:15
    x와 y가 정수일 때 가졌을 뿐입니다
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    만약 문제에서 두 수의 곱이 -16이 아니라
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    -17이어야 했다고 한다면
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    어떤 일이 벌어질까요?
  • 7:23 - 7:26
    혹은 -16.5라면?
  • 7:26 - 7:28
    혹은 pi^2이라면?
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    이 경우에는 모든 경우의 수를
    시도해 볼 수 없고
  • 7:30 - 7:32
    결국 이 동영상에서 사용했던 방법을
    사용해야 할 것입니다
  • 7:32 - 7:35
Title:
Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Description:

What is the minimum possible value of x^2+y^2 given that their product has to be fixed at xy = -16. Created by Sal Khan.

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-applications-derivatives/ab-optimization/v/optimizing-box-volume-graphically?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Missed the previous lesson? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-applications-derivatives/ab-related-rates/v/rate-of-change-of-balloon-height?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:35

Korean subtitles

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