Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy

Máme zjistit,
jaký je nejmenší...

Tady je překlep.

...jaký je nejmenší možný součet druhých
mocnin dvou čísel, jejichž součin je −16?

Označme si tato dvě
čísla jako x a y.

Jak bude vypadat součet
druhých mocnin těchto dvou čísel?

Protože jde o součet,
označím si ho jako S.

Tento součet se rovná
x na druhou plus y na druhou.

Tohle chceme
mít co nejmenší.

Chceme nalézt co nejmenší
možnou hodnotu S.

S nyní máme vyjádřeno jako
funkci dvou proměnných x a y,

nevíme ale, jak minimalizovat
výraz se dvěma proměnnými,

takže toto musíme vyjádřit
pomocí jedné proměnné.

V zadání jsme naštěstí
dostali ještě jednu informaci.

Součin hledaných
čísel je −16.

x krát y se
tedy rovná −16.

Řekněme, že tento výraz budeme
chtít napsat jen pomocí proměnné x.

Potom už zjistíme, jak y vyjádřit pomocí x
a pak to sem dosadíme.

Napíšu to sem.

Když obě strany vydělíme x, dostaneme,
že y se rovná −16 lomeno x.

Za y v tomto výrazu tedy
dosaďme −16 lomeno x.

Součet druhých mocnin vyjádřený jako
funkce proměnné x se bude rovnat:

x na druhou plus y na druhou, přičemž y se
rovná −16 lomeno x, takže toto na druhou.

Tohle se rovná x na druhou
plus 256 lomeno x na druhou,

což můžeme napsat jako
256 krát x na minus druhou.

Tak vypadá součet druhých mocnin,
který chceme mít co nejmenší.

Při minimalizování tohohle nás
budou zajímat stacionární body,

což jsou body, v nichž je derivace
nulová nebo není definovaná.

Podíváme se, zda jsou některé z nich
bodem maxima nebo minima,

což sice nemusí, ale pokud v nějakém
bodě nastává minimum nebo maximum,

tak půjde o nějaký
stacionární bod.

Tak si to
zderivujme.

Derivace S...

Udělám to
jinou barvou.

Derivace S
v bodě x...

Napíšu to
raději sem.

Derivace S(x) podle x se rovná
2 krát x plus −2 krát 56...

2 krát x plus 256 krát −2,
což je −512, krát x na minus třetí.

Tento výraz není
definovaný pro x rovno 0,

ale když je x rovno 0, tak ani y není
definované a úloha nemá smysl,

takže x rovno 0 není
užitečný stacionární bod.

Zkusme tedy
najít jiné body.

Výraz je všude jinde definovaný, takže
zkusme zjistit, kdy je derivace nulová.

Kdy se tento
výraz rovná 0?

Kdy se 2 krát x minus
512 krát x na minus třetí rovná 0?

K oběma stranám můžeme přičíst
512 krát x na minus třetí,

dostaneme, že 2 krát x se rovná
512 krát x na minus třetí.

Obě strany nyní vynásobíme x na třetí,
abychom se zbavili x na pravé straně.

Vyjde nám, že 2 krát x
na čtvrtou se rovná 512.

Obě strany rovnice vydělíme 2 a dostaneme,
že x na čtvrtou se rovná 256.

Čemu se rovná
čtvrtá odmocnina z 256?

Můžeme si pomoct tím, že uděláme
druhou odmocninu obou stran.

Vyjde nám, že x na
druhou se rovná...

256 je 16 na druhou, takže x na druhou
se rovná 16, a tedy x se rovná 4.

Jde o jediný stacionární
bod, který máme,

takže jde pravděpodobně o tu hodnotu x,
pro kterou je náš součet nejmenší možný.

Ověřme si ale, že jde skutečně o bod
minima, a to pomocí druhé derivace.

Spočítejme si druhou derivaci,
tedy S s dvěma čárkami v bodě x,

a zjistěme, zda je funkce v bodě
x rovno 4 konvexní nebo konkávní.

Druhá derivace S(x) se rovná
2 a pak tam bude −3 krát −512,

což napíšu jako
plus 1536...

Je to správně?

3 krát 500 je 1500
a 3 krát 12 je 36, takže ano.

...krát x na
minus čtvrtou.

Tento výraz je kladný
pro libovolné x.

x na minus čtvrtou je kladné,
i když je x záporné,

a všude jinde
je také kladné.

Tento výraz je
vždy kladný.

V každém bodě je tedy
naše funkce konvexní,

což znamená, že její graf
vypadá nějak takto.

Vidíme, že druhá derivace nám
odhalila konvexitu naší funkce proto,

protože kladná druhá derivace znamená,
že první derivace neustále roste.

Tady je záporná, potom je méně
záporná, ještě méně záporná...

Udělám to
jinou barvou.

...je záporná, potom méně
záporná, ještě méně záporná,

nulová, kladná,
víc kladná,

takže vidíme, že
celou dobu roste.

Když tedy máme stacionární bod,
v němž je derivace rovna 0,

neboli sklon
se rovná 0,

tak protože funkce je konvexní,
tak vidíme, že jsme našli její minimum.

Čemu se tedy
rovná y?

Abychom našli co nejmenší součet druhých
mocnin, tak y vlastně ani nemusíme znát,

stačí sem
dosadit za x,

ale vidíme, že y se rovná
−16 lomeno x, takže y se rovná −4.

Nyní už můžeme spočítat,
čemu se rovná náš součet.

Nejmenší možná hodnota našeho
součtu druhých mocnin se rovná:

4 na druhou, což je 16, plus (−4) na
druhou, což je opět 16, a to se rovná 32.

Někteří si teď asi myslí:
„Tohle jde udělat i bez derivací!“

„Mohli jsme prostě dosazovat
čísla, jejichž součin je −16,

brzo bychom zkusili i 4 a −4
a pak bychom přišli na to,

že součet je menší, než kdybychom zkusili
2 a −8 nebo −2 a 8 nebo 1 a 16.“

Je pravda, že tohle
byste nejspíš zvládli,

ale pořád byste nemohli říct,
že jste našli minimální hodnotu,

protože byste nezkusili
4,01 nebo třeba 4,0011.

Ve skutečnosti není možné
zkusit všechny možné hodnoty.

V zadání není, že jde pouze o celá čísla,
jen nám to jako celá čísla zrovna vyšlo.

Představte si, co by se stalo,
kdyby součin čísel v příkladu nebyl −16.

Co kdyby jejich
součin byl −17?

Nebo co kdyby jejich
součin byl −16,5?

Co kdyby jejich součin
byl π na druhou?

Potom už byste nemohli zkusit všechno
dosadit a museli byste se uchýlit k tomu,

co jsme dělali
v tomto videu.