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Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    f(x)는
  • 0:02 - 0:03
    무한 급수
  • 0:03 - 0:06
    n은 1 부터 무한대까지
  • 0:06 - 0:10
    n+1/4^n+1 곱하기
    x^n의 값을 합합니다
  • 0:11 - 0:13
    여기서 알고 싶은 것은
  • 0:13 - 0:17
    해당 f(x)의 0부터 1 까지의
    정적분 값은 얼마인가요?
  • 0:17 - 0:20
    그리고 언제나 그랬듯이
    문제 풀이가 생각이 난다면
  • 0:20 - 0:22
    생각이 난다면 좋겠죠
  • 0:22 - 0:23
    영상을 멈추고
  • 0:23 - 0:25
    혼자 풀 수 있는지
    혹은 언제나 영상을 멈추고
  • 0:25 - 0:28
    혼자 풀어보세요
  • 0:28 - 0:31
    식을 다시 써봅시다
  • 0:31 - 0:32
    이는 0부터 1 까지의
  • 0:32 - 0:34
    적분과 동일합니다
  • 0:34 - 0:39
    f(x)는 급수죠
    따라서 이는
  • 0:39 - 0:42
    n+1/4^n+1 곱하기
  • 0:43 - 0:47
    x^n의
    1부터 무한대까지의 합으로
  • 0:47 - 0:49
    나타낼 수 있습니다
  • 0:49 - 0:51
    여기서 할 것은
  • 0:51 - 0:54
    조금 새로운 것이지만
  • 0:54 - 0:55
    중요합니다
  • 0:55 - 0:58
    항들의 합의 정적분을 합니다
  • 0:58 - 1:01
    이는 정적분의 값들의
  • 1:01 - 1:03
    합을 구하는 것과 같습니다
  • 1:03 - 1:04
    좀 더 명확히 말하겠습니다
  • 1:04 - 1:06
    예를 들어 이게 0부터 1까지의
  • 1:06 - 1:11
    정적분이라면
    그리고 여러 개의 항이 있다면
  • 1:11 - 1:12
    함수라고 할 수도 있죠
  • 1:12 - 1:16
    이게 g(x) + h(x)라면
  • 1:16 - 1:20
    그리고 계속해서 쓰고 dx
  • 1:20 - 1:22
    이는 적분의 합이며
  • 1:22 - 1:26
    이는 0부터 1까지g(x)
  • 1:26 - 1:31
    dx 더하기 0부터 1까지
    h(x) dx 더하기
  • 1:33 - 1:36
    이렇게 계속 이어집니다
  • 1:36 - 1:37
    항의 개수가 몇 개이든 말이죠
  • 1:37 - 1:40
    이는 적분의 공식에서
    비롯된 것입니다
  • 1:40 - 1:42
    이를 똑같이 풀죠
  • 1:42 - 1:44
    시그마 표기를 써봅시다
  • 1:44 - 1:47
    이는 n은 1부터 무한대 까지
  • 1:49 - 1:52
    모든 정적분의
  • 1:53 - 1:56
    정적분의 합입니다
  • 1:56 - 1:58
    이렇게 씁시다
  • 1:58 - 2:02
    0부터 1까지의 적분
  • 2:02 - 2:06
    n+1/4^n+1
  • 2:08 - 2:11
    곱하기 x^n 그리고 dx
  • 2:13 - 2:17
    다시 한번 말하지만
    이 항들의 합을 구하는 것입니다
  • 2:17 - 2:21
    이 식의 값을 구해봅시다
  • 2:23 - 2:25
    이 값은
    한 번 써볼게요
  • 2:25 - 2:29
    이 값은
  • 2:29 - 2:32
    1부터 무한대까지의 합이고
  • 2:32 - 2:34
    주황색으로 밑줄친 부분은
  • 2:34 - 2:35
    이 부분은
  • 2:35 - 2:38
    부정적분을 합니다
  • 2:38 - 2:41
    이는 x^n+1이고
  • 2:43 - 2:44
    이를 n+1으로 나눕니다
  • 2:44 - 2:48
    원래의 식 n+1/4^n+1이
  • 2:48 - 2:52
    있고
    이는 그저 상수항이죠
  • 2:52 - 2:54
    x에 대해 생각하면 말이죠
  • 2:54 - 2:57
    그리고 지수의 값을
  • 2:57 - 3:00
    증가시키고 그 만큼
    나누어줍니다
  • 3:00 - 3:02
    이는 멱의 법칙의 반대
  • 3:02 - 3:07
    멱의 법칙의 반대입니다
  • 3:07 - 3:11
    x^n+1/n+1
  • 3:12 - 3:14
    부정적분을 했습니다
  • 3:14 - 3:17
    그리고 각 항의 0부터
    1까지의 합을 구합니다
  • 3:17 - 3:18
    이를 하기 전에
    간단히 해봅시다
  • 3:18 - 3:22
    n+1이 있고
  • 3:22 - 3:24
    이를 다시쓸 수 있습니다
  • 3:24 - 3:26
    이는 같은 식이죠
  • 3:26 - 3:29
    1부터 무한대까지의
    합을 구해보고
  • 3:29 - 3:32
    이 값은
  • 3:32 - 3:35
    x가 1일 경우
  • 3:38 - 3:40
    1^n+1
  • 3:40 - 3:42
    4^n+1이라 쓸 수 있습니다
  • 3:42 - 3:44
    그냥 이렇게 쓸게요
  • 3:44 - 3:48
    1^n+1/4^n+1
  • 3:48 - 3:52
    빼기 0^n+1/4^n+1
  • 3:52 - 3:54
    이는 적을 필요가 없네요
  • 3:54 - 3:56
    0^n+1
  • 3:56 - 4:01
    나누기 4^n+1은 0입니다
  • 4:01 - 4:03
    그리고 이는
  • 4:03 - 4:05
    더 간단해 졌네요
  • 4:05 - 4:07
    이는 1부터 무한대까지
  • 4:07 - 4:10
    합과 같습니다
  • 4:12 - 4:13
    마지막으로 간단히 적으면
  • 4:13 - 4:17
    (1/4)^n+1입니다
  • 4:17 - 4:18
    그리고 이는 무한등비급수
  • 4:18 - 4:21
    무한등비급수
    라는 것을 알 수 있습니다
  • 4:21 - 4:23
    첫 번째 항이 무엇인가요?
  • 4:23 - 4:25
    첫 번째 항은
  • 4:29 - 4:33
    n이 1일 경우 첫 번째 항은
  • 4:35 - 4:39
    (1/4)^2입니다
  • 4:40 - 4:41
    맞나요?
  • 4:41 - 4:42
    네
  • 4:42 - 4:45
    n이 1일 경우
  • 4:45 - 4:50
    (1/4)^2입니다
  • 4:50 - 4:54
    이는 1/16이죠
    이게 첫 번째 항입니다
  • 4:54 - 4:59
    여기서 공비는
  • 5:02 - 5:05
    1/4입니다
  • 5:05 - 5:07
    공비는 1/4입니다
  • 5:07 - 5:09
    무한등비급수는
  • 5:09 - 5:12
    이게 등비이기 때문에
  • 5:14 - 5:16
    절댓값이 1보다 작습니다
  • 5:16 - 5:18
    이는 수렴하며
  • 5:18 - 5:20
    이 값은 1/16 나누기
  • 5:20 - 5:23
    1-등비의 값에 수렴하며
  • 5:25 - 5:29
    1-1/4입니다
  • 5:29 - 5:33
    3/4이죠
    이는 따라서 1/16x3/4입니다
  • 5:38 - 5:41
    이는 1/12죠
  • 5:41 - 5:42
    다 풀었네요
  • 5:42 - 5:44
    처음엔 어려워 보였지만
  • 5:44 - 5:45
    깨달았습니다
  • 5:45 - 5:48
    합의 적분값은
    무한대의 합일지라도
  • 5:48 - 5:51
    무한대 갯수의
    적분값의 합과 같습니다
  • 5:51 - 5:53
    이 무한대의 적분값의
    부정적분을 구했고
  • 5:53 - 5:55
    이를 통해서
  • 5:55 - 5:58
    답을 구할 수 있었죠
    수학의 힘입니다
  • 5:58 - 6:00
    그리고 무한등비급수가
  • 6:00 - 6:01
    나왔기 때문에
  • 6:01 - 6:02
    합을 구할 수 있었습니다
  • 6:02 - 6:04
    끝났네요
Title:
Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:05

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