非洲的分形结构---Ron Eglash

“我是一名数学家，并且我希望站在你们的屋顶上。”当Ron Eglash遇到许多非洲家庭时，他总是这样介绍。当时，他正在研究非洲的村落中随处可见的分形图案。

我的故事发生在1877年，

当时有位德国数学家叫乔治·康托（Georg Cantor）。

有一天，他做了这样一件事：把一条线段分成三份，擦掉中间一份，

然后对剩下的两条线段进行同样的操作，周而复始。

于是他从一条线段得到两条，

然后是四条，然后十六条，不断增加。

如果他这样重复操作无限次 （在数学中你可以做到），

最终他就会得到无数条线，

而每条线又由无数个点组成。

于是他意识到，他拥有一个集合——这个集合的元素个数比无穷还要多。

这简直让他发疯了。我没有夸张，他为此进了疗养院。

当他从疗养院出来以后，

他坚信自己是被上帝派来寻找超限集合论的，

因为最大的无限集便是上帝本身。

他是一个虔诚的教徒，

并把成为一名数学家当做自己的使命。

其他数学家也做过类似的事。

例如，一位名为von Koch的瑞典数学家

有一天决定把线段相加，而不是想减。

最终，他得到了这样一段美丽的曲线。

其实我们选择这个图形作为起始形状没有什么特殊原因；

我们可以选择任何图形作为起始。

让我把这把这个图形变一下，把这个放在--这下面，好--

现在经过反复的操作，这个形状就被延展成了一种看似不同的形状。

但这些图形都有自我相似的特点：

每一小部分都跟整体相似。

也可以说是同样的形状，只是大小不同。

数学家们觉得这个非常奇怪，

因为（勾勒图形的边缘）长度越来越长，而你的尺子看似越来越短。

这些图形经过无数次重复的变化，

它们的长度趋向于无穷大，而相比之下，原先用于衡量他们边缘长度的尺子则趋向于无穷小了。

这一点道理也没有，

于是数学家们把这些曲线塞到数学书的背后，

然后说这些是不正常的曲线，我们不用讨论它们。

（笑声）

就这样，一百年过去了，

直到1977年，一位名为Benoit Mandelbrot的法国数学家

意识到如果人们通过计算机来生成这些他叫做“分形”的图形，

便可以得到大自然的形状。

人们可以得到肺，洋槐树，蕨类植物……

各种美丽自然的形状。

如果你们看一看你们的拇指与与食指之间的部分--

现在就可以看一下--

把手放松，你们可以看到一段皱纹，

然后这皱纹扩展成更多的皱纹，然后更多，是吧？

你们全身都被“分形”包围着。

那些认为“分形”不正常的数学家们，

他们用分形的肺部呼吸，却说着那样的话，

多讽刺！现在我给大家演示一段自然的循环过程。

跟之前一样，我们用几条线，然后重复用整体代替它们。

这是第二次循环，第三次，第四次……不断重复。

可以看到，大自然也有这种自我相似性。

大自然是一个自组织系统。

到了20世纪80年代，我碰巧发现

在航拍的非洲部落照片中，存在着分形。

我惊叹道：“这简直太不可思议了！究竟是为什么呢？！”

于是我就去了非洲，去请教当地人这个问题。

我拿到了Fulbright奖学金，去非洲旅行一年，

询问那儿的人为什么按照分形来盖房子。

这工作真的很棒，如果你能得到的话。

（笑声）

后来我终于来到这座城市，那时我对城市分形建筑已构建了一些模型，

想看看它与实际情况的符合情况--

当我到了那儿，我去了酋长的宫殿，

我的法语说得不太好，当时大概对他说：

“我是一名数学家，我想到你的屋顶上看看。”

对此他一点问题都没有，带我上到了屋顶，

与我讨论起有关分形的问题。

他说：“对，对！我们知道一个方形可以嵌套一个方形，

我们知道有关的一切。”

后来我才知道，他们的皇家徽章图形就是由嵌套的方形构成的，

而宫殿的走道也是类似的螺旋形状。

当你沿着宫殿的走道往里走，你必须表现得越来越礼貌。

他们将社会的层级结构跟房屋的几何结构联系起来；

这些房屋的分形源自主动的构造，不像白蚁窝那样毫无意义。

这是赞比亚南部的一个村落，

Ba-Ila人建造了这个直径约400米村子。

首先我们有一个很大的环形。

代表家族大小的环形，越往后走越大。

最终属于首领（家族）的环形就在大环形的尾端，

而首领的直系亲属在那个环形里。

这就是这个村落的分形模型。

这是一幢拥有圣坛的房子，

这是房子集合而成的“房子”，家族意义上的，

原先圣坛所在的地方被人所占据，

而这就是由先前层层叠叠房屋最终形成的村庄---

一个由环形组成的环形组成的环形，首领的旁系亲属住这儿，直系亲属住这儿，

在这儿，有一个只有丁点儿大的村庄。

你也许会问，人怎么可能住进这么小的村子？

原因呢，在于住在这儿的居民是一些灵魂。他们是村民们的祖先。

当然，这些灵魂居住的村子里也有一个更小的村子，对吧？

所以就像康托说的，这样的递推将不断循环下去。

村庄Mokoulek坐落于曼达拉（Mandara）山脉中，接近尼日利亚与喀麦隆的交界处。

我看到这幅出自一位法国建筑师之手的图时，

不禁惊叹：“哇！多么漂亮的分形！”

于是我就试着画出这幅图的初始图形，一个经过不断重复变换能够转变成现在图案的初始图形。

结果我画出了这个结构。

让我们来看一下：（这是）第一次循环，第二次，第三次，第四次……

在我完成了这个模拟之后，

我意识到这整个村庄就像螺旋一般盘旋环绕，就像这样，

而这就是那条不断复制的曲线--一条不断自我复制并最终延展成分形的螺旋。

我也注意到在那条曲线所在的附近，有着全村唯一的方形建筑。

于是当我到达那个村子后，

我就问：“你可以把我带到那个方形建筑所在的地方去吗？”

“那儿一定有特别的故事。”

他们回答：“我们可以带你到建筑的外围，但你不能进去，”

“因为那里面是圣坛，每年我们都举行祭祀，

以祈祷每年土地的耕种、丰收遵守它固有的规律。”

我开始意识到，土地耕种、收获的循环过程

就像建立这个村落所运用的几何算法的循环过程一般。

在一些村落中，这样的循环会始终持续直到很小的尺度上。

这是一个位于马里的村庄，名叫Nankani。

你可以看到，这些家族的层次结构，

以及这些壁炉中按照一定次序叠放的瓦罐。

这些是Issa展示给我们的葫芦，

它们也被“循环”地叠放着。

在这最小的葫芦中，保存着一个女人的灵魂。

当她死去时，人们会给她举行一个仪式，

仪式中人们打破这个叫做zalanga的葫芦堆，使她的灵魂走向永恒。

这再次说明，无限（永恒）是非常重要的。

现在，有三个问题需待解决。

第一，这些图案在原生态的建筑中是普遍存在的吗？

在我的最初假设中答案是肯定的。

当我第一次看到那些非洲的分形建筑时，

我想：“哇，那些没有形成正规国家社会与等级制度的土著族群，

一定都有那种‘自下而上’的建筑形式咯！”

然而事实并非如此。

在我收集的美洲土著、南太平洋建筑的航拍照片中，

只有非洲建筑具有分形结构。

如果你仔细回想，会发现所有这些社会都具有不同的几何设计作为它们的主题。

就如美洲土著用的是一种圆形对称和四方对称的组合图案，

你可以在陶器和篮子上看到它们。

这是部分Anasazi废墟（Anasazi ruins）的航拍照片，

你可以发现，粗略看时它呈圆形，而细看时它是方形的，对吧？

对于这种图形，在不同的尺度上，它有着不同的结构形态。

第二点，你也许会奇怪，

“Eglash博士（演讲者），你是不是忽略了非洲文化的多样性呢？”

我坚决地告诉你：不。

首先，我同意Mudimbe《非洲的发明》一书的说法，

即非洲是第一次殖民主义及殖民抗争的

非自然的产物。

但分形建筑在非洲的普遍性却与此无太大关联。建筑形态的普遍性不代表文化的一致性---

DNA绝没有决定人们的文化须是一致的。

最后一点，分形是具有自我相似性的---

可是它们只需自我相似，互相之间却未必是相似的---

对于分形的不同应用有很多种，

在非洲这是一种众人皆知的技术。

再回想一下，恩，难道这不是某种直觉产生的技术吗？

它恐怕没有运用到什么真正意义上的数学知识。

非洲人不可能真的在运用“分形几何学”，对吧？

因为分形几何学直到20世纪70年代才被发明出来。

的确，就我理解，一些非洲的分形不过来源于单纯的直觉罢了。

对于这些东西，如果我在达喀尔（Dakar)的街上闲逛

并且问当地人“有什么算法吗？构造这些的规则是什么？”，

他们会回答说：

“嘿，我们这样做因为它们好看，傻瓜。”（笑声）

但有些时候，情况则不尽相同。

对于一些图形的绘制，算法是必要的，而且是非常复杂的算法。

在Manghetu雕塑中，你可以看到这样有重复结构的几何图形。

在Ethiopian十字中，有这样美妙的延展而成的图形。

在安哥拉，Chokwe人在沙中绘制图线，

而这就是德国数学家欧拉（Euler）称作“图”（graph）的东西。

现在，我们称之为欧拉路径（Eulerian path）---

你的笔尖始终不能离开纸平面，

并且不能穿过同一条线两次。

Chokwe人反复学习绘图，并根据年龄区分他们所学的内容：

因而幼龄的孩子学习这个，稍年长的学习这个，

再下一个年龄层的，学习这个。

随着算法的迭代，

你将瞥见奇妙事物的发生发展，

并习得更深层次的知识。

再说一点，在整个非洲，你都可以看到这种棋牌游戏。

在我研究它的地方，加纳（Ghana）， 它被称作Owari.

在东海岸它被称为Mancala，在肯尼亚叫Bao,在其他地方则是Sogo.

在这个游戏中，你会发现自组织图案很自然的产生 。

加纳人知道并了解它们，

并有策略地应用它们。

对他们来说，这是一种有意义（而非不明不白获取）的知识。

这儿有一个美丽的分形。

在萨赫勒（Sahel）地区，你到哪儿都可看到这样的篱笆。

人们通常认为篱笆在全世界都是"笛卡尔"式的，严格的直线型排列。

但在非洲，你会发现这些不笔直排列的篱笆。

我找到了一个做这种篱笆的人，

他住在Bamako外的Mali（马里）.我问他：

“为什么你做分形的篱笆，而别人都没有？”

他的回答相当有趣。

他说：“如果我住在丛林里，我会只用那些长麦秆来做篱笆，

因为它们易完成，并且很廉价。

不需要花费太多时间，也不需要太多麦秆”

他继续道：“但是风沙和尘土很容易穿过那些篱笆。

而如果篱笆顶部（的麦秆）排列比较紧密，防风尘的效 果会非常好。

但制作它们花费很多时间，也需要很多麦秆，因为它们排列真的很紧密。

从经验中我们也知道，

从地面往上越靠近篱笆顶部，风力越强劲。”

他说的很正确，是吧？这就像是成本效益分析。

于是我测量了篱笆麦秆的长度，

把数据放到重对数坐标中，得到了一个标度指数，

这个标度指数几乎跟风力工程手册中

风速与高度的标度指数完全匹配。

所以，这些当地人把分形很好地应用在了实际中。

在众多形成分形的算法中，我所发现的最为复杂的

并不是几何图形的算法，而是这个符号代码的，

用于Bamana沙地占卜。

类似的占卜系统在整个非洲都可见到，

东、西海岸都有。

这些符号通常都被良好的保存下来，

每个符号分为四部分，可看做四个二进制位组成的单元---

你在沙地里随意画下这样的线段，然后数一下，

（一行中）如果有奇数条线段，划下一条线，

而如果有偶数条，划两条线。

他们非常快速的完成这工作，

可我不明白他们究竟做了些什么---

他们仅仅随意画四行线段---

我不知道剩下的十二个（占卜）符号他们是怎样得来的，

而他们也不愿意告诉我。

他们说：“不，不，我们不能告诉你这些。”

我回答说：“这样吧，你们可以做我的老师，我付你们工钱，

我每天都上你们这儿来，并每日付薪水。”

他们说：“这不是钱的问题。这涉及到宗教与信仰。”

最终，我绝望地说道：

“好吧，那最后请让我向你们介绍一下康托。（Georg Cantor）”

于是我开始向他们解释我来非洲的原因。

当他们听说康托集时，显得异常兴奋。

他们中的一个说道：“来吧，我想我能解决你的问题。”

于是他带我完成了Bamana教的入会仪式。

当然，我只对其中的数学问题感兴趣。

整个过程中，他始终摇头晃脑，说着

“你知道吗，我原来可不知道这其中的奥秘。”

而我得和埋在床边沙子中的可乐树果子（kola nut）睡一块儿，

将七枚硬币给予七个麻风病人，等等。

最终，他向我揭示了那些符号的奥秘。

事实是，那些符号产生自确定性混沌---一个伪随机过程。

你将一个已有的4位（four-bit）的符号与另一个放在一起。

于是偶数加奇数得奇数；

奇数加偶数得奇；

偶数加偶数得偶；奇数加奇数得偶。

这是一位加和的二进制数，就像计算机奇偶校验中的一位加和编码一样。

然后你用新得到的符号替换原有的，

于是你就“自我繁衍”出一系列的符号。

他们真真确确在运用确定性混沌的理论。

由于这些是二值码，

事实上你可以将他们运用到硬件中---

多么有趣的案例，真该运用到非洲的工程学校的教学中。

对于这些符号，我发现的最有趣的事还是关于它们的历史。

在十二世纪，桑塔拉的休（Hugo of Santalla）将来源于伊斯兰神话的它们带到西班牙。

在那儿，它进入炼金术士的团体，用于看风水：

通过泥土来占卜(抓沙散地,按其所成像以断吉凶)。

这是一幅在1390年为理查二世（King Richard II）绘制的占卜图。

德国数学家莱布尼兹（Leibniz）

在他名为"De Combinatoria"的论文中谈论到了泥土占卜。

在文章中他说：“我们不使用一条或两条的划线

而是使用数字0和1，于是我们可以把它们作二进制数来对待。”

这不就是吗？由很多0和1组成了二进制码。

布尔（George Boole）运用莱布尼兹的二进制码创造了布尔代数（Boolean algebra），

约翰.冯.诺依曼（John von Neumann)则利用布尔代数创造了电脑.

因而所有这些小器件---PDA,便携式电脑---

所有世间的数字电路---都起源于非洲。

据我所知布莱恩·伊诺（Brian Eno）说非洲在数字化进程中没有多大贡献；

而我认为事实是Brian Eno脑中没有足够的非洲历史。

（掌声）

请让我简单地用这些分形的实际应用结束这场演讲。

你也可以浏览我们的网站，

程序都是免费的，可以直接运行，

世界上的任何人都可以使用它们。

The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program（某基金会）

近日授予我们一笔资金，来将这些图形设计工具制作成可编辑版本，

顺利的话，在三年内，所有人都能在网上

创造出属于自己的分形与艺术品。

在美国，我们特别关注了非洲裔美国学生、美国土著居民和拉丁美洲人，

并通过统计发现在数学课中使用这款软件的孩子与一批作为对照组、

不使用该软件的孩子相比，学术表现有了极大提高。

因而教授学生，告知他们自己所具有的数学传统，是非常有意义的，

而不仅仅教他们唱歌、跳舞。

我们在加纳启动了一个试验项目。

我们先提供一小笔种子资金，看人们是否愿意与我们合作；

对于未来（更大规模）的合作，我们都充满期待。

我们也在设计方面不断努力。

我没把我这位同事的名字放上来---肯尼亚的Kerry,是他想出了这个绝妙的点子：

在具有分形结构的村落中应用具有分形结构的邮政网络，

因为一个方格状的邮递系统很难适应

分形的村落结构。

哥伦比亚大学的Bernard Tschumi运用分形（及其衍生品）完成了对非洲艺术博物馆的设计。

俄亥俄州立大学的David Hughes完成了一本有关非洲中心架构（Afrocentric architecture）的入门读物，

在其中他运用到了一些分形结构。

最后，我想指出这种自组织（self-organization）的思想---

我之前也提到过---是牢固存在大脑里的。

它也存在于谷歌（Google）的搜索引擎中。

事实上，谷歌能够获得如此巨大的成功，

就在于它第一个利用了网络的这种自组织性质。

它体现于生态的可持续性，

体现于企业的发展力，

也体现于民主思想的道德约束力。

它也体现在一些坏的事情当中。

自我组织是艾滋病毒传播如此迅速的原因。

此外，如果你不认为具有自组织性质的资本主义能产生毁灭性的影响，

那么你还没有真正看清这个世界。

因而我们需要思考，如我之前所说的，

非洲传统的自组织的方式。

这些才是强健的算法（方法）。

这些才是进行自组织的方式---发展企业的方式---

它们温和、平缓。

因此如果我们想寻找一个更好的涉及此类工作的方式，

只需从非洲就能找寻到这些强健的自组织算法。

谢谢大家。