Ron Eglash despre fractali Africani

„Eu sunt un matematician, şi aş vrea să stau pe acoperişul dumneavoastră.” Acesta este modul în care Ron Eglash întîmpina multe familii Africane pe care le întîlnea în timp ce studia modelele fractalice pe care le-a observat în satele de pe continent.

Vreau să încep povestea mea în Germania, în 1877,

cu un matematician pe nume Georg Cantor.

Şi Cantor a decis că va lua o linie şi va şterge treimea din mijloc a liniei,

şi apoi va lua aceste două linii rezultante şi le va supune aceluiaşi proces, un proces recursiv.

Deci, porneşte cu o linie, apoi două,

apoi patru, apoi 16, şi aşa mai departe.

Iar dacă face asta de un număr infinit de ori, ceea ce poţi face în matematică,

ajunge la un număr infinit de linii,

fiecare având un număr infinit de puncte în ea.

Aşa că a realizat că are un set al cărui număr de elemente era mai mare decît infinitul.

Şi asta i-a spart mintea. La propriu. S-a cazat într-un sanatoriu. (Rîsete)

Şi cînd a ieşit din sanatoriu,

era convins că a fost pus pe pămînt pentru a fonda teoria seturilor transfinite,

deoarece cel mai mare set de infinituri ar fi fost Dumnezeu Însuşi.

A fost un om foarte religios.

A fost un matematician cu o misiune.

Şi alţi matematicieni au făcut exact acelaşi lucru.

Un matematician suedez, von Koch,

a decis că în loc să şteargă linii, le va adăuga.

Şi astfel a inventat curba asta frumoasă.

Şi nu există nici un motiv particular pentru care trebuie să pornim de la forma asta iniţială;

putem folosi orice formă iniţială care ne place.

Şi voi rearanja asta şi voi pune asta altundeva -- acolo jos, OK --

iar acum în urma iteraţiilor, forma aceea iniţială se desfăşoară într-o structură foarte diferită vizual.

Deci toate acestea au proprietatea de auto-simetrie:

partea arată ca întregul.

Este acelaşi model la diferite mărimi.

Acuma, matematicienii s-au gândit că asta era foarte ciudat,

deoarece pe măsură ce micşorezi o riglă, măsori o lungime din ce în ce mai mare.

Şi pentru că au mers prin iteraţii un număr infinit de ori,

pe măsură ce rigla se micşorează la infinit, lungimea se duce la infinit.

Asta nu avea nici un sens,

aşa că au expediat aceste curbe la finalul cărţilor de matematică.

Au spus că acestea sunt curbe patologice, şi că nu trebuie să le discutăm.

(Rîsete)

Şi asta a funcţionat timp de sute de ani.

Şi apoi, în 1977, Benoit Mandelbrot, un matematician francez,

şi-a dat seama că dacă faci grafică pe calculator şi foloseşti aceste forme pe care el le-a denumit fractali

obţii formele naturii.

Obţii plămînii umani, obţii arborii acacia, obţii ferigi,

obţii aceste minunate forme naturale.

Dacă luaţi degetul mare şi arătătorul şi vă uitaţi chiar acolo unde se întîlnesc --

încercaţi asta acum --

-- şi vă relaxaţi mîna, veţi vedea o încreţitură,

şi apoi o cută înăuntrul încreţiturii, şi o încreţitură înăuntrul cutei. Corect?

Corpul vostru este acoperit de fractali.

Matematicienii care spuneau că acestea sunt forme patologic nefolositoare?

Respirau cuvintele acelea cu plămîni fractalici.

Este foarte ironic. Şi vă voi arăta o mică recursie naturală aici.

Încă o dată, pur şi simplu luăm liniile astea şi le înlocuim recursiv cu întreaga formă.

Deci iată a doua iteraţie, şi a treia, a patra şi aşa mai departe.

Deci natura are această structură auto-simetrică.

Natura foloseşte sisteme care se auto-organizează.

Acum în anii 1980, am observat din întîmplare

că dacă te uiţi la o fotografie aeriană a unui sat African, vezi fractali.

Şi m-am gîndit, „Asta este fantastic! Mă întreb de ce?”

Şi bineînţeles, a trebuit să mă duc în Africa şi să-i întreb pe oameni de ce.

Aşa că am luat o bursă Fullbright doar pentru a călători prin Africa pentru un an

şi să întreb oamenii de ce construiesc fractali,

ceea ce e o slujba excelentă dacă o poţi obţine.

(Rîsete)

Şi aşa am ajuns la oraşul ăsta, şi am făcut un mic model de fractal pentru oraş

doar ca să văd cum se va desfăşura într-un fel --

dar cînd am ajuns acolo, am ajuns la palatul şefului,

şi franceza mea nu e prea bună, am spus ceva de genul,

„Eu sunt un matematician şi aş vrea să stau pe acoperişul dumneavoastră.”

Dar a fost foarte calm şi m-a dus acolo sus

şi am vorbit despre fractali.

Şi a spus, „Ah da, da! Ştiam despre dreptunghiul din dreptunghi,

ştim tot despre aia.”

Şi se pare că emblema regală are un dreptunghi într-un dreptunghi într-un dreptunghi,

şi calea prin acel palat e de fapt spirala asta de aici.

Şi pe măsură ce mergi pe potecă, trebuie să devii din ce în ce mai politicos.

Deci ei mapează scara socială într-o scară geometrică;

este un model conştient. Nu este inconştient ca fractalul movilei de termite.

Acesta este un sat din sudul Zambiei.

Ba-lla au construit acest sat de 400 de metri în diametru.

Ai un inel gigantic.

Inelele care reprezintă împrejmuirea familiei devin din ce în ce mai mari pe măsură ce mergi spre spate,

şi apoi ai inelul şefului aici spre spate

şi familia imediată a şefului în acel inel.

Iată un mic model fractalic pentru el.

Iată o casă cu altarul sacru,

iată casa caselor, împrejmuirea familiară,

cu oamenii aici unde ar trebui să fie altarul sacru,

şi apoi aici este satul ca un întreg --

un inel de inele de inele cu familia extinsă a şefului aici, familia imediată a şefului aici,

şi aici este un mic sat numai atît de mare.

Acuma probabil vă întrebaţi, cum de pot oamenii să încapă într-un sat numai atât de mare?

Asta este deoarece sunt oameni spirite. Sunt strămoşii lor.

Şi bineînţeles că oamenii spirit au un mic sat miniatural în satul lor, corect?

Deci este exact cum spunea Georg Cantor, recursia continuă pentru totdeauna.

Asta este în munţii Mandara, lângă graniţa Nigeriană din Camerun, Mokoulek.

Am văzut diagrama asta desenată de un arhitect francez,

şi m-am gândit, „Uau! Ce fractal frumos!”

Aşa că am încercat să ajung la o formă iniţială, care, în urma iteraţiei, să se deschidă în chestia asta.

Am inventat structura asta.

Să vedem, prima iteraţie, a doua, a treia, a patra.

Acum, după ce am făcut simularea,

mi-am dat seama că întreg satul seamănă cu o spirală, exact aşa,

şi iată aici acea linie generatoare -- o linie auto-multiplicantă care se dezvoltă în fractal.

Ei bine, am observat că acea linie se află cam pe unde este plasată singura clădire pătrată din sat.

Deci, când am ajuns în sat,

am spus, „Puteţi să mă duceţi la clădirea pătrată?

Cred că se întâmplă ceva acolo.”

Şi ei au spus, „Ei bine, putem să te ducem acolo, dar nu poţi intra

deoarece acolo se află altarul sacru, unde facem sacrificii în fiecare an

pentru a menţine acele cicluri anuale de fertilitate pentru câmpuri.”

Şi am început să realizez că ciclurile de fertilitate

erau exact ca ciclurile recursive din algoritmul geometric care construieşte asta.

Şi recursia din unele din aceste sate continuă pînă la scări foarte mici.

Deci iată un sat Nankani din Mali.

Şi puteţi vedea, intraţi în curtea familială --

intraţi şi iată oale în cuptor, aşezate recursiv.

Iată tigvele pe care Issa tocmai ni le-a arătat,

şi sunt aşezate recursiv.

Acuma, cea mai mică tigvă de aici ţine sufletul femeii.

Şi când moare, organizează o ceremonie

unde sparg această grămadă numită zalanga, iar sufletul ei porneşte spre eternitate.

Încă o dată, infinitul este important.

Acuma, în acest punct s-ar putea să vă puneţi trei întrebări.

Aceste modele scalabile nu sunt universale tuturor arhitecturilor indigene?

Şi asta a fost şi ipoteza mea iniţială de fapt.

Când am văzut pentru prima dată acei fractali africani,

Şi m-am gîndit, „Uau, deci orice grup de indigeni care nu au o societate statală,

acel tip de ierarhie, trebuie să aibă un fel de arhitectură de tip de jos în sus.”

Dar asta se dovedeşte a fi neadevărat.

Am început să colecţionez fotografii aeriene ale arhitecturii Nativ-Americane şi Sud Pacifice

numai cele africane erau fractali.

Şi dacă stai să te gândeşti, toate aceste societăţi diferite au diferite teme de design geometric pe care le folosesc.

Deci Nativ-Americanii folosesc o combinaţie de simetrie circulară şi simetrie cvadruplă.

Puteţi vedea pe ceramică şi coşuri.

Iată o fotografie aeriană a unei ruini Anasazi;

puteţi vedea că este circulară la scara cea mai mare, dar este dreptunghiulară la scara mai mică, corect?

Nu este acelaşi model la două scări diferite.

A doua, s-ar putea să întrebaţi,

„Ei bine, Dr. Eglash, nu ignoraţi diversitatea culturilor Africane?”

De trei ori, răspunsul e nu.

În primul rînd, sunt de acord cu cartea minunată a lui Mudimbe, „Inventarea Africii”,

că Africa este o invenţie artificială a primului colonialism,

şi apoi mişcările de opoziţie.

Nu, pentru că o practică de design larg răspândită nu rezultă neapărat într-o unitate culturală --

şi în mod sigur nu este în ADN.

Şi, în final, fractalii au auto-simetrie --

astfel încît sunt similari între ei, dar nu neapărat similari cu alţi fractali --

vezi utilizări foarte diferite ale fractalilor.

E o tehnologie comună în Africa.

Şi în final, ei bine, nu este asta doar intuiţie?

Nu e chiar cunoaştere matematică.

Africanii nu prea pot folosi geometrie fractalică, corect?

Nu a fost inventată decât prin anii 1970.

Ei bine, e adevărat că unii fractali africani sunt doar intuitivi din punctul meu de vedere.

Deci unele din aceste lucruri, cutreieram pe străzile din Dakar

întrebând oamenii, „Care-i algoritmul? Care-i regula pentru a face asta?”

şi ei ar fi zis,

„Ei bine, le facem aşa deoarece arată frumos, prostule.” (Râsete)

Dar câteodată, nu e cazul.

În unele cazuri, sunt nişte algoritmi, şi algoritmi foarte sofisticaţi.

Deci în sculptura Manghetu, veţi vedea această geometrie recursivă.

În crucile etiopiene, vedeţi această desfăşurare minunată de forme.

În Angola, poporul Chokwe desenează linii în nisip,

şi este ceea ce matematicianul german Euler a numit un graf;

noi o numim acum calea Euleriană --

nu poţi ridica stiloul de pe suprafaţă

şi niciodată nu poţi trece peste aceeaşi linie de două ori.

Dar ei o fac recursiv, şi o fac cu un sistem gradat pe vîrste,

astfel încât copiii învaţă asta, şi apoi copiii mai mari învaţă asta,

apoi, următoarea iniţiere în vârstă, înveţi astalaltă.

Şi cu fiecare iteraţie a acelui algoritm,

înveţi iteraţiile mitului.

Înveţi următorul nivel de cunoaştere.

Şi, în final, peste tot în Africa, vezi jocul ăsta de masă.

Se numeşte Owari în Ghana, acolo unde l-am studiat;

Se numeşte Mancala aici pe coasta de est, Bao în Kenya, Sogo altundeva.

Ei bine, vedeţi modele auto-organizaţionale care apar spontan în acest joc.

Şi oamenii din Ghana ştiau de aceste modele auto-organizaţionale

şi le foloseau strategic.

Deci asta este cunoaştere foarte conştientă.

Iată aici un fractal minunat.

Oriunde mergi în Sahel, vei vedea acest paravânt.

Şi bineînţeles, gardurile din jurul lumii sunt toate Carteziene, strict liniare.

Dar aici în Africa, ai aceste garduri nonliniare.

Aşa că am căutat unul din oamenii care fac aceste lucruri,

un tip din Mali, chiar la ieşirea din Bamako, şi l-am întrebat,

„Cum de faci garduri fractalice? Pentru că nimeni altcineva nu mai face.”

Iar răspunsul său a fost foarte interesant.

A spus, „Ei bine, dacă aş fi locuit în junglă, aş fi folosit numai rândurile lungi de paie

deoarece sunt foarte rapide, şi sunt foarte ieftine.

Nu durează mult, nu se foloseşte prea multe paie.”

A spus, „Dar vântul şi praful trece destul de uşor.

Acuma, rândurile de sus, ţin foarte bine vântul şi praful.

Dar durează foarte mult timp, şi folosesc o mulţime de paie, deoarece sunt foarte dense.”

„Acuma,” a spus, „ştim din experienţă

că pe măsură ce te ridici de la pământ, vântul suflă mai tare.”

Corect? E exact ca la o analiză cost-beneficii.

Şi am măsurat lungimea beţelor,

le-am pus pe un grafic log-log, am obţinut exponentul de scalare,

şi se potriveşte aproape perfect cu exponentul de scalare al relaţiei dintre viteza vântului şi a înălţimii

din manualul de inginerie a vântului.

Deci tipii ăştia se folosesc de tehnologia scalării în mod practic.

Cel mai complex exemplu de abordare algoritmică a fractalilor pe care l-am găsit

n-a fost de fapt în geometrie, a fost într-un cod simbolic,

şi anume divinaţia Bamana a nisipului.

Şi acelaşi sistem de divinaţie este găsit peste tot în Africa.

Se găseşte pe Coasta de Est ca şi pe Coasta de Vest,

şi adesea simbolurile sunt păstrate foarte bine,

deci fiecare din aceste simboluri are patru biţi -- este un cuvînt binar alcătuit din patru biţi --

desenezi aleator aceste linii în nisip, şi apoi le numeri,

iar dacă este un număr impar, pui o linie,

iar dacă este un număr par, pui două linii.

Şi au făcut asta foarte repede,

şi eu nu puteam să înţeleg unde vor să ajungă --

au făcut întîmplarea de patru ori --

eu nu reuşeam să înţeleg de unde-şi luau celelalte 12 simboluri.

Şi n-au vrut să-mi spună.

Au spus, „Nu, nu, nu pot să-ţi spun despre asta.”

Şi eu am spus, „Uite, te plătesc, poţi să fii profesorul meu,

şi voi veni în fiecare zi şi te voi plăti.”

Ei au zis, „Nu este o problemă de bani. Asta este o problemă religioasă.”

Iar într-un final, din disperare, am spus,

„Ei bine, lasă-mă să-ţi explic Georg Cantor din 1877.”

Şi am început să-i explic de ce sunt acolo în Africa,

şi au fost foarte entuziasmaţi cînd au văzut setul lui Cantor.

Şi unul dintre ei a spus, „Vino aici. Cred că te pot ajuta.”

Aşa că m-a trecut prin ritualul de iniţiere pentru un preot Bamana.

Şi bineînţeles, eu eram interesat numai de matematică,

aşa că tot timpul, el îşi tot clătina capul zicând,

„Ştii, eu n-am învăţat aşa.”

Dar a trebuit să dorm cu o nucă kola lângă patul meu, îngropată în nisip,

şi să dau şapte monede celor şapte lepre şi aşa mai departe.

Iar într-un final, a dezvăluit adevărul chestiunii.

Şi se pare că este un generator de numere pseudo-aleatoare folosind haos deterministic.

Când ai un simbol de patru biţi, îl pui lîngă altul aşezat transversal.

Aşa că par cu impar îţi dă impar.

Impar plus par îţi dă impar.

Par plus par îţi dă par. Impar plus impar îţi dă par.

Este adunarea modulo 2, exact la fel ca verificarea cu bitul de paritate din computer.

Şi apoi iei simbolul ăsta, şi-l pui înapoi

aşa că este o diversitate auto-generativă de simboluri.

Se folosesc cu adevărat de un tip de haos deterministic pentru a face asta.

Acuma, pentru că este un cod binar,

se poate de fapt implementa asta în hardware --

ce unealtă fantastică de învăţat care ar trebui să fie în şcolile de inginerie Africane.

Iar cel mai interesant lucru pe care l-am aflat despre ea a fost istoric.

În secolul 12, Hugo Santalia l-a adus de la misticii islamici în Spania.

Şi acolo a intrat în comunitatea alchimiştilor sub numele de geomancy:

divinaţie prin pămînt.

Asta este o hartă geomantică desenată pentru regele King Richard II în 1390.

Leibniz, matematicianul german,

a vorbit despre geomancy în dizertaţia sa numită „De Combinatoria.”

Şi el spunea, „Ei bine, în loc să folosim o linie şi două linii,

hai să folosim un unu şi un zero, şi putem să numărăm după puterile lui doi.”

Corect? Unu şi zero, codul binar.

George Boole a luat codul binar al lui Leibniz şi a creat algebra Booleană,

iar John von Neumann a luat algebra Booleană şi a creat calculatorul digital.

Deci toate aceste PDA-uri şi laptop-uri --

fiecare circuit digital din lume -- a pornit din Africa.

Şi ştiu că Brian Eno spune că nu există destulă Africa în computere

ştiţi, nu cred că există destulă istorie africană în Brian Eno.

(Aplauze)

Deci lăsaţi-mă să termin cu doar câteva cuvinte despre aplicaţiile pe care le-am găsit pentru asta.

Şi puteţi să mergeţi la website-ul nostru,

toate applet-urile sunt gratuite; funcţionează pur şi simplu în navigator.

Oricine din lume le poate folosi.

Programul Fundaţiei Ştiinţifice Naţionale pentru Lărgirea Participării în Calcul Digital

ne-a acordat recent o bursă pentru a realiza versiuni programabile ale acestor unelte de design,

deci sperăm ca în trei ani, oricine va putea să se ducă pe Web

şi să creeze propriile simulări şi propriile artefacte.

Ne-am concentrat în SUA asupra studenţilor Afro-Americani precum şi asupra Nativ-Americanilor şi cei Latino.

Statistic am găsit o îmbunătăţire semnificativă cu copiii care folosesc acest program într-o clasă de matematică

în comparaţie cu o grupă de control care nu a avut programul.

Deci este în mod real foarte de succes în a învăţa copiii că au o moştenire care este despre matematică,

care nu este numai despre cântat şi dansat.

Am pornit un program pilot în Ghana,

am primit o bursă mică, doar pentru a vedea dacă oamenii sunt doritori să lucreze cu noi pentru asta;

suntem foarte entuziaşti despre posibilităţile de viitor pentru aia.

Noi am lucrat şi în design.

Nu eu i-am pus numele acolo sus -- colegul meu, Kerry, din Kenya, a venit cu idea asta foarte bună

pentru a folosi o structură fractalică pentru adresele poştale în satele care au structuri fractalice,

deoarece dacă încerci să impui un sistem poştal cu o structură de reţea asupra unui sat fractalic,

nu prea se potriveşte.

Bernard Tschumi de la Universitatea Columbia a ajuns să folosească asta într-un design pentru un muzeu de artă Africană.

David Hughes din Universitatea de Stat din Ohio a scris o introducere în arhitectura Afrocentrică

în care a folosit cîteva din aceste structuri fractalice.

Şi în final, vreau doar să mai punctez că această idee de auto-organizare,

pe care am auzit-o mai devreme, există în creier.

Se află în - se află în motorul de căutare Google.

De fapt, motivul pentru care Google a fost un succes aşa mare

a fost că ei au fost primii care s-au folosit de proprietăţile auto-organizaţionale ale web-ului.

Se află în sustenabilitatea ecologică.

Se află în puterea de dezvoltare a antreprenoriatului,

puterea etică a democraţiei.

Se află de asemenea şi în cîteva lucruri rele.

Auto-organizarea este motivul pentru care virusul HIV se răspândeşte atât de repede.

Şi dacă nu credeţi că, capitalismul, care este auto-organizaţional, poate avea efecte distructive,

nu aţi deschis ochii destul.

Aşa că trebui să ne gândim, aşa cum am vorbit mai devreme,

la metodele tradiţionale Africane de a face auto-organizarea.

Aceştia sunt algoritmi robuşti.

Aceştia sunt moduri de a face auto-organizarea -- de a face antreprenoriat --

care sunt blânde, care sunt egalitariene.

Deci dacă vrem să găsim un mod mai bun de a face tipul ăla de muncă,

nu trebuie să privim mai departe de Africa pentru a găsi aceşti algoritmi robuşti auto-organizaţionali.

Mulţumesc.