Ron Eglash o afrykańskich fraktalach

"Jestem matematykiem i chciałbym wejść na pański dach". W taki sposób Ron Eglash witał wiele afrykańskich rodzin w trakcie swoich badań nad wzorami fraktalnymi, które zauważył w wioskach na całym kontynencie.

Opowieść chciałbym zacząć od Niemiec w roku 1877,

od matematyka nazwiskiem Georg Cantor.

Cantor postanowił dzielić odcinek na trzy części i wymazywać środkową,

a potem powtarzać ten sam, rekurencyjny proces dla pozostałych dwóch odcinków.

Ma więc najpierw jeden odcinek, potem dwa,

potem cztery, szesnaście itd.

Jeśli powtórzy to nieskończoną ilość razy, na co matematyka pozwala,

dostaje nieskończoną ilość odcinków,

z których każdy zawiera nieskończoną liczbę punktów.

Zrozumiał, że liczba elementów otrzymanego zbioru jest większa od nieskończoności.

Szaleńcza myśl. Dosłownie. *Zgłosił się do zakładu psychiatrycznego. (Śmiech)

A kiedy stamtąd wrócił,

był przekonany, że urodził się, by odkryć teorię zbiorów pozaskończonych,

ponieważ największym zbiorem nieskończonym miałby być sam Bóg.

Był bardzo religijny.

Miał misję jako matematyk.

Inni matematycy zrobili rzecz podobną.

Szwedzki matematyk, von Koch,

zamiast odejmować odcinki postanowił je dodawać.

Otrzymał tę piękną krzywą.

Nie ma powodu, żeby zaczynać akurat od tego kształtu.

Można użyć kształtu, jakiego chcemy.

Przestawię to i przesunę, gdzieś -- o tu, OK --

i po kolejnych iteracjach ten początkowy kształt rozrasta się w zupełnie odmienną strukturę.

Te krzywe mają własność samopodobieństwa:

fragmenty wyglądają, jak całość.

Ten sam wzór pojawia się w różnych skalach.

Matematycy myśleli, że to bardzo dziwne,

bo, gdy pojedynczy odcinek maleje, cała krzywa ma coraz większą długość.

A skoro nastąpiło nieskończenie wiele powtórzeń,

odcinek nieskończenie maleje, a długość krzywej nieskończenie rośnie.

To zupełnie nie miało sensu,

więc zesłano te krzywe na koniec podręczników matematycznych.

Mówiono, że są to patologiczne krzywe i że nie trzeba ich rozważać.

(Śmiech)

Było tak przez sto lat.

Aż w 1977 roku Benoit Mandelbrot, francuski matematyk,

uświadomił sobie, że jeśli użyć tych kształtów, nazwanych fraktalnymi, w grafice komputerowej,

dostaje się kształty natury.

Dostaje się ludzkie płuca, drzewa akacjowe, paprocie,

otrzymuje się te piękne, naturalne formy.

Gdy popatrzycie na miejsce, gdzie schodzą się kciuk i palec wskazujący --

możecie zrobić to teraz --

-- i rozluźnicie dłoń, zobaczycie bruzdkę,

a w niej zmarszczkę, a w tej znów bruzdkę. Widzicie?

Nasze ciała są pokryte fraktalami.

Matematycy, którzy mówili, że były to bezużyteczne, patologiczne kształty --

wymawiali te słowa dzięki fraktalnym płucom.

Ironia losu. Pokażę teraz trochę naturalnej rekurencji.

Znów bierzemy te odcinki i rekurencyjnie zastępujemy je całym kształtem.

To druga iteracja, trzecia, czwarta itd.

Tę samopodobną strukturę ma przyroda.

Używa ona układów samoorganizujących się.

W latach 80. spostrzegłem,

że jeśli spojrzeć na zdjęcie lotnicze afrykańskiej wioski, widzi się fraktale.

Pomyślałem: "To rewelacyjne! Ciekawe, czemu tak jest?"

Oczywiście musiałem pojechać do Afryki, zapytać, czemu.

Dostałem Stypendium Fulbrighta, by przez rok móc jeździć po Afryce

i pytać ludzi, czemu budują fraktale.

To świetna praca, polecam.

(Śmiech)

W końcu trafiłem do tego miasta i zrobiłem dla władz model fraktalny,

żeby po prostu zobaczyć, jak sytuacja się rozwinie.

Ale kiedy przyszedłem do pałacu wodza,

powiedziałem mniej więcej, a nie znam zbyt dobrze francuskiego:

"Jestem matematykiem i chciałbym wejść na pański dach".

Ale jemu się to spodobało i wziął mnie na górę,

i rozmawialiśmy o fraktalach.

Wtedy powiedział "O, tak, tak! Wiedzieliśmy o prostokącie w prostokącie,

wiemy wszystko na ten temat".

Okazało się, że królewskie insygnia mają prostokąt w prostokącie w prostokącie,

a przejścia pałacowe tworzą spiralę.

Kiedy idzie się ku jej centrum, należy być coraz bardziej uprzejmym.

Odwzorowują więc skalę społeczną na skali geometrycznej;

to świadomy wzór -- nie, jak fraktal termitiery.

To wioska w południowej Zambii.

Plemię Ba-Ila zbudowało tę wioskę o 400-metrowej średnicy.

To wielki krąg.

Kręgi tworzące rodzinne zagrody stają się większe i większe, gdy idzie się na tył wioski,

i tam, na samym tyle, jest krąg wodza,

a w nim jego najbliższa rodzina.

To skromny model fraktalny tej wioski.

Tu jest domostwo ze świętym ołtarzem,

tutaj dom domów, rodzinna zagroda,

z ludźmi tam, gdzie byłby ołtarz,

a to wioska w całości --

krąg z kręgów, z dalszą rodziną wodza tutaj, bliższą rodziną wodza tu,

a to taka malutka wioska.

Możecie się dziwić, jak ludzie się mieszczą w takiej małej wiosce.

To dlatego, że mieszkańcami są duchy. Ich przodkowie.

Oczywiście duchy też mają miniaturową wioskę w swojej własnej, prawda?

To tak samo, jak u Georga Cantora - rekurencja trwa w nieskończoność.

To Góry Mandara, przy granicy Kamerunu z Nigerią, w Mokoulek.

Widziałem ten plan narysowany przez francuskiego architekta,

i pomyślałem "Rany! Cóż za piękny fraktal!"

Próbowałem wymyślić kształt początkowy, który rozrastał by się w to coś.

Wymyśliłem tę tu strukturę.

Zobaczmy -- pierwsza iteracja, druga, trzecia, czwarta.

Po zrobieniu symulacji zrozumiałem,

że cała wioska zawija się, właśnie tak,

a to linia -- samopowielająca się linia, rozrastająca się w fraktal.

Zauważyłem, że w miejscu tej linii znajduje się jedyny w wiosce kwadratowy budynek.

Więc, gdy dostałem się do wioski, zapytałem:

"Czy weźmiecie mnie do kwadratowego budynku?"

Pomyślałem, że jest jakiś szczególny.

Oni na to: "Możemy cię tam zaprowadzić, ale nie wolno Ci wejść do środka,

bo tam jest święty ołtarz, na którym co roku składamy ofiary,

żeby podtrzymać coroczne cykle płodności upraw".

Zdałem sobie sprawę, że cykle płodności

odpowiadały rekurencyjnym cyklom geometrycznego algorytmu, który to stworzył.

Rekurencja w niektórych z tych wiosek dochodzi do niezwykle małych skal.

To wioska Nankani w Mali.

Przy wejściu do rodzinnego domostwa można zobaczyć,

jak w środku, przy ognisku ułożone są rekurencyjnie naczynia.

Tu widać tykwy, która pokazywał nam Issa Diabate,

które też ułożone są rekurencyjnie.

Najmniejsza tykwa zawiera duszę kobiety.

Kiedy ona umrze, odbywa się ceremonia,

podczas której rozbija się ten stos, zwany "zalanga", a jej dusza odchodzi do wieczności.

Ponownie ważna jest nieskończoność.

W tym miejscu można sobie zadać trzy pytania.

Czy takie skalujące się wzory nie są uniwersalne dla wszystkich lokalnych architektonik?

To była moja pierwotna hipoteza.

Gdy pierwszy raz zobaczyłem te fraktale z Afryki,

pomyślałem "Niezwykłe! Czyli każda grupa tubylcza bez społeczeństwa państwowego,

bez tej hierarchii, posiada taką wstępującą architekturę".

Ale to okazuje się nie być prawdą.

Zbierałem zdjęcia lotnicze budownictwa indiańskiego i ludów Południowego Pacyfiku --

i tylko afrykańskie jest fraktalne.

Gdy na to spojrzeć, wszystkie te społeczności używają różnych motywów geometrycznych

Tak więc, Indianie używają połączenia symetrii obrotowej i symetrii krzyżowej.

Widać to na wyrobach garncarskich i koszach.

To jest zdjęcie lotnicze ruin osiedla Anasazi.

Widać, że jest okrągła w dużej skali, ale prostokątna w małej, prawda?

To nie jednakowy wzór w różnych skalach.

Po drugie, można spytać:

"Dr. Eglash, czy nie zapomina Pan o różnorodności kultur afrykańskich?"

Po trzykroć -- nie.

Po pierwsze, zgadzam się ze wspaniałą książką Mudimbego "The invention of Africa",

mówiącej, że Afryka jest sztucznym wytworem pierwszej fali kolonializmu

i późniejszych przeciwstawiających się jej ruchów.

Nie, ponieważ wspólne wzory projektowe nie oznaczają jednolitej kultury --

i na pewno nie jest to zapisane w DNA.

I wreszcie, fraktale są samopodobne --

są więc podobne do siebie samych, ale nie do siebie nawzajem --

różnych zastosowań fraktali jest mnóstwo.

To wspólna dla Afryki technologia.

I w końcu, czy nie jest to zwykła intuicja?

To nie jest ścisła wiedza matematyczna.

Niemożliwe, żeby Afrykanie używali geometrii fraktalnej, prawda?

Nie została wynaleziona do lat 1970.

To prawda, niektóre fraktale w Afryce polegają na czystej intuicji.

Gdy na przykład błąkałem się po ulicach Dakaru,

pytając ludzi "Jaki jest algorytm? Jakimi zasadami się to rządzi?",

oni odpowiadali

"No, robimy to w ten sposób, bo to ładnie wygląda, ot tak". (Śmiech)

Ale czasami tak nie jest.

Czasem istnieją algorytmy, i to bardzo złożone.

W rzeźbiarstwie Mangetu widzi się tę rekurencyjną geometrię.

W krzyżach etiopskich widać ten niezwykły rozwijający się kształt.

W Angoli w plemieniu Czokwe rysuje się na piasku linie,

układające się w to, co niemiecki matematyk, Euler, nazwał grafem.

Teraz nazywa się to cyklem Eulera --

nie wolno odrywać ołówka od kartki

i nie wolno dwa razy rysować tej samej linii.

Oni robią to rekurencyjnie i łączy się to z hierarchią wieku.

Małe dzieci uczą się tego, a starsze tego drugiego.

Jeszcze starsi do inicjacji uczą się tego.

Z każdą iteracją algorytmu

uczy się iteracji mitu.

Wchodzi się na kolejny poziom wiedzy.

Wreszcie w całej Afryce znana jest ta gra planszowa.

W Ghanie, gdzie ją badałem, nazywa się "owari".

Na wschodnim wybrzeżu, Bao w Kenii, zwie się "mankala", gdzie indziej "sogo".

W tej grze samoistnie pojawiają się samoorganizujące się wzory.

Ludzie w Ghanie wiedzieli o tych wzorach

i używali ich w strategii.

Jest to uświadomiona wiedza.

Ten fraktal jest przepiękny.

Wszędzie na Sahelu można zobaczyć taki wiatrochron.

Oczywiście wszędzie na świecie ogrodzenia są kartezjańskie, całkowicie liniowe.

Ale w Afryce występują te nieliniowo skalujące się ogrodzenia.

Odnalazłem człowieka, który je buduje,

mężczyznę z Mali, mieszkającego tuż za Bamako, i zapytałem

"Dlaczego budujesz fraktalne ogrodzenia? Nikt inny tego nie robi".

Jego odpowiedź była bardzo ciekawa.

Powiedział "Gdybym żył w dżungli, używałbym tylko długich źdźbeł,

bo jest to szybkie i tanie.

Nie zabiera wiele czasu ani materiału".

Powiedział, "Ale wiatr i pył przechodzą bez trudu.

Właśnie ta ciasno upakowana górna część zatrzymuje wiatr i pył.

Ale potrzeba do tego wiele czasu i wiele bardzo cienkiej słomy".

"Wiemy z doświadczenia -- powiedział, --

że im wyżej ponad ziemię, tym silniejszy wiatr."

Rozumiecie? To jak bilans zysków i strat.

Zmierzyłem długości słomy,

narysowałem w skali podwójnie logarytmicznej i dostałem wykładnik skalowania,

który niemal dokładnie pokrywa się z wykładnikiem zależności szybkości wiatru od wysokości

z podręcznika inżynierii wiatrowej.

Ci ludzie trafili w dziesiątkę wykorzystując technikę skalowania.

Najbardziej złożony przykład algorytmicznego podejścia do fraktali, który odkryłem

nie dotyczył geometrii, ale kodowania,

a było to wróżenie z piasku w ludzie Bamana.

Taki sam system wróżenia widzi się w całej Afryce.

Znajdziecie go zarówno na wschodnim i zachodnim wybrzeżu Afryki,

a symbole są często świetnie zachowane.

Każdy z tych symboli ma cztery bity -- to czterobitowy wyraz binarny --

rysuje się te linie losowo na piasku, a następnie zlicza,

i jeśli wynik jest parzysty, stawia się kreskę,

a jeśli jest nieparzysty, stawia się dwie kreski.

Robili to bardzo szybko

i nie rozumiałem, skąd otrzymywali --

losowanie było jedynie czterokrotne --

i nie rozumiałem, skąd otrzymywali pozostałe 12 znaków.

Nie chcieli mi powiedzieć.

Mówili "Nie, nie, nie mogę ci o tym mówić".

Odpowiedziałem "Ale zapłacę ci, zostań moim nauczycielem,

codziennie będę przychodził i płacił".

Oni na to: "To nie kwestia pieniędzy. To się tyczy religii".

W końcu, zdesperowany, powiedziałem

"Opowiem wam o Georgu Cantorze z 1877 roku".

Wytłumaczyłem im, czemu byłem w Afryce,

a oni bardzo się podekscytowali widząc zbiór Cantora.

Jeden z nich powiedział "Podejdź. Sądzę, że mogę ci pomóc".

Przeprowadził mnie przez rytuał inicjacyjny na kapłana Bamana.

Mnie oczywiście ciekawiła jedynie matematyka,

przez co on ciągle kręcił głową i mówił

"Wiesz, nigdy tego tak nie uczyłem".

Musiałem zakopany w piasku spać z orzechem koli obok mojego łóżka,

dać siedem monet siedmiu trędowatym itd.

Ostatecznie odkrył przede mną prawdę.

Okazuje się, że jest to generator liczb pseudolosowych używający deterministycznego chaosu.

Mając czterobitowy wyraz, sumuje się go kolumnami z kolejnym.

Parzysty i nieparzysty daje nieparzysty.

Nieparzysty i parzysty daje nieparzysty.

Parzysty plus parzysty daje parzysty. Nieparzysty plus nieparzysty daje parzysty.

Jest to dodawanie modulo 2, dokładnie jak przy kontroli parzystości na waszych komputerach.

Taki wyraz wstawia się z powrotem do procedury.

To daje samopowstałą różnorodność wyrazów.

Naprawdę oni używają w tym chaosu deterministycznego.

Ponieważ jest to kod binarny,

można go zaimplementować sprzętowo --

to niesamowite narzędzie dydaktyczne, którego powinno się używać na afrykańskich politechnikach.

Najciekawsze dotyczące tego odkrycie ma charakter historyczny.

W XII w. Hugo Santalia przywiózł ten kod od mistyków muzułmańskich do Hiszpanii.

Przyjął się on w społeczności alchemików pod nazwą geomancji:

wróżenia za pomocą ziemi.

To tablica geomantyczna narysowana dla króla Ryszarda II w 1390.

Leibniz, matematyk niemiecki,

pisał o geomancji w swojej rozprawie "De Combinatoria".

Napisał "Zamiast używać jednej i dwóch kresek,

użyjmy zera i jedynki, co pozwoli liczyć potęgami dwójki".

Rozumiecie? Jedynki i zera, kod binarny.

George Boole stworzył z kodu binarnego Leibniza algebrę Boole'a,

a John von Neumann z algebry Boole'a stworzył komputer cyfrowy.

Wszystkie te komputery kieszonkowe i laptopy --

wszystkie cyfrowe obwody na świecie - zaczęły się w Afryce.

Wiem, Brian Eno mówi, że Afryka nie istnieje w komputeryzacji;

wydaje mi się, że historia Afryki nie istnieje w Brianie Eno.

(Brawa)

Zakończę w paru słowach o zastosowaniach tych odkryć.

Możecie wejść na naszą stronę internetową,

wszystkie aplety są darmowe, działają w przeglądarkach.

Każdy na świecie może ich używać.

The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program

przyznał nam ostatnio grant na wykonanie programowalnej wersji tych narzędzi,

więc ufamy, że w trzy lata każdy będzie mógł wejść do sieci

i zrobić własne symulacje i własne wytwory.

W USA skupiliśmy się na uczniach afroamerykańskich, indiańskich i latynoskich.

Odkryliśmy statystycznie istotną poprawę wyników z matematyki u dzieci używających tego oprogramowania

w porównaniu z grupą kontrolną, która nie miała do niego dostępu.

To bardzo skuteczna metoda -- uczenie dzieci, że ich dziedzictwo to też matematyka,

a nie tylko śpiew i taniec.

Rozpoczęliśmy program pilotażowy w Ghanie,

dostaliśmy mały kapitał początkowy, by zobaczyć, czy ludność zechce z nami współpracować.

Jesteśmy podekscytowani możliwościami, jakie to niesie.

Pracowaliśmy także nad projektowaniem.

Nie umieściłem tu jego nazwiska, mój kolega Kerry z Kenii wpadł na świetny pomysł,

jak przydzielać adresy pocztowe, wykorzystując fraktalną strukturę wiosek,

gdyż nakładanie sieci kwadratowej adresów pocztowych na fraktalną wioskę

zbytnio nie pasuje.

Bernard Tchumi na Uniwerystecie Columbia zastosował ten projekt w muzeum sztuki afrykańskiej.

David Hughes z Uniwersytetu Stanowego Ohio napisał podręcznik architektury afrocentrycznej,

w którym użył niektórych z tych struktur fraktalnych.

Na koniec chciałem podkreślić, że to samoorganizowanie się,

jak usłyszeliśmy wcześniej, zachodzi w mózgu.

Jest w wyszukiwarce Google.

Właściwie powodem sukcesu Google'a

było wykorzystanie po raz pierwszy własności samoorganizacji sieci internetowej.

Istnieje w rozwoju ekologicznym.

W tworzącej postęp sile przedsiębiorczości,

w etycznej mocy demokracji.

Istnieje także w rzeczach złych.

To samoorganizacja jest powodem szybkości rozprzestrzeniania się AIDS.

A jeśli uważacie, że kapitalizm, będący zjawiskiem samoorganizującym się, nie może mieć niszczycielskich skutków,

to żyjecie w nieświadomości.

Jak powiedziano wcześniej, należy myśleć o

tradycyjnych afrykańskich metodach tworzenia samoorganizacji.

Są to silne algorytmy.

Te sposoby tworzenia samoorganizacji -- przedsiębiorczości --

są delikatne, są egalitarne.

Jeśli chcemy ulepszać tego typu pracę,

nie trzeba szukać dalej niż w Afryce, by znaleźć te silne samoorganizacyjne algorytmy.

Dziękuję.