Ron Eglash, 아프리카의 프랙탈.

"저는 수학자입니다. 당신들의 지붕 위에 올라가도 괜찮겠습니까." Ron Eglash 가 아프리카 대륙을 가로지르며 아프리카 마을들의 프랙탈 패턴을 연구할 때, 마을의 부족들에게 건넨 인삿말입니다.

제 이야기는 1877년의 독일, 게오르그 칸토어라는

수학자의 이야기에서 시작됩니다.

칸토어는 한 선분을 삼등분하여 그 가운데를 지우고,

남은 양쪽의 선분을 같은 방식으로 계속해서 잘라내는 실험을 했습니다.

하나의 선분으로 시작하여, 둘을 만들고,

다음 단계에서는 넷, 그 다음 단계에서 16개가 되는 식으로, 반복합니다.

수학에서 자주 그러하듯이 이 단계를 무한하게 반복하면

무한한 점들로 이루어진

무한한 갯수의 선분들이 남게 됩니다.

칸토어는 이렇게 해서 얻어진 선분의 갯수가 무한보다 많다는 것을 깨닫고,

글자 그대로 정신이 나갈 듯이 놀랐습니다. 그는 요양원까지 갔었죠. (웃음)

그는 요양원에서 돌아와서는

그동안 고안한 초한집합(超限集合) 이론을 숨겨왔음을 고백했습니다.

왜냐하면 가장 큰 집합인 무한은 신 자체를 의미하며,

칸토어는 신앙심이 깊은 사람이었기 때문입니다.

그는 선교단의 수학자였습니다.

또 다른 수학자가 이와 비슷한 실험을 했습니다.

스웨덴의 수학자 폰 코흐는 선을 없애는 대신

가운데에 더하는 단계를 거쳤습니다.

그 과정을 통해 그는 이런 아름다운 곡선을 창안했습니다.

이 곡선을 만드는데 반드시 이 초기 모양에서 부터 시작해야 할 필요는 없습니다;

어떤 초기모양이라도 선택할 수 있습니다.

여기를 재배치해서 이 부근에 붙여보겠습니다. -- 그 아래에, 됐습니다. --

여러번의 반복을 통해서 초기모양은 매우 다채로운 접힌 구조를 갖게 됩니다.

이런 모양들은 부분이 전체의 모양과 같은

자기반복의 성질을 갖고 있습니다.

서로 다른 축척하에서 동일한 패턴이 반복됩니다.

수학자들은 이것이 매우 괴상하다고 생각했습니다.

왜냐하면 측정단위를 줄일수록 그 길이가 길어졌기 때문입니다.

이런 단계를 무한하게 반복하여 측정단위가 무한하게 작아지면,

패턴의 길이는 무한으로 늘어납니다.

그들은 이 현상을 도저히 이해할 수 없었고,

그들은 수학책의 뒷표지에 이 곡선을 그려 넣으며

병적인 곡선으로 치부하고 논의조차 하지 않으려 했습니다.

(웃음)

그런 경향이 기백년이 지나서야

1977년 프랑스의 수학자 베르누이 만델브로는

그 스스로 칭한 프랙탈이라는 이러한 모습을 컴퓨터 그래픽으로 구현할 때

자연의 모습을 얻어낼 수 있다는 것을 깨달았습니다.

인간의 폐조직, 아카시아 나무, 고사리등과 같은

아름다운 자연의 모양들을 말이죠.

여러분의 손에서 엄지와 검지의 사이를 잘 관찰하면 --

지금 한 번 해 보세요 --

손을 풀고 보면, 주름들이 있고,

주름들 안에 다시 주름이 있고, 그 주름 안에 다시 주름이 있는 것을 볼 수 있습니다. 맞죠?

여러분의 신체도 프랙탈로 이루어져 있습니다.

옛 수학자들이 이 모양을 쓸모없는 병적인 모양이라고 했었죠?

역설적이게도 그들은 자신의 프랙탈 폐를 통해 그 말을 한 것입니다.

재미있죠, 여기 자연의 재귀적인 모양들을 좀더 보여드리겠습니다.

다시, 몇 개의 선분을 갖고 반복적으로 전체 모양을 치환해 나가면,

두번째 반복, 세번째, 네번째, 이렇게 이어집니다.

이렇게 자연은 자기반복적인 구조를 갖고 있는 것입니다.

자연은 자기반복적인 시스템으로 구성되어 있으니까요.

그리고 1980년대에, 저는 아프리카 마을의 항공사진을 보면서

그 모양이 프랙탈이라는 것을 깨달았습니다.

"환상적인데! 왜 그럴까?" 라고 생각했습니다.

그건 아프리카를 방문해 사람들에게 물어야 했습니다.

해서, 저는 풀브라이트 장학금을 받아 한 해동안 아프리카를 여행하면서

사람들에게 어떻게 이 프랙탈들을 구성한 것인지,

이해할 수 있다면 대단할 것이라고 질문해 왔습니다.

(웃음)

그렇게해서 저는 이 도시에 도착하여, 이 도시의 모양이 어떻게 펼친 모양이 될지

작은 프랙탈 모델을 실험 해 보았습니다.

하지만 제가 거기 도착했을 때, 저는 추장의 궁에 들어가

모자란 프랑스어로, 이런 식으로 말했을겁니다.

"나는 수학자이고 당신의 지붕 위에 올라가고 싶습니다."

그는 매우 흔쾌히 승락하고 나를 위로 데려다 주었습니다.

그리고 우리는 프랙탈에 대해 얘기했습니다.

그는, "아, 맞아요. 네모 안에 네모가 반복되는 모양에 대해선 알고 있습니다."

라고 말 했습니다.

실제로 지배층의 문장은 사각형 안에 사각형이 반복되는 모양이었고,

궁으로 가는 길은 이처럼 나선이 반복되는 모양이었습니다.

이 길 안쪽으로 들어갈 수록 더 정중해져야 합니다.

그들은 사회적인 단위를 지리적인 단위에 대응시킨 것입니다.

이것은 흰개미 굴과 같은 무의식적인 패턴과는 달리 의식적으로 만들어진 프랙탈패턴입니다.

이 사진은 잠비아 남부의 마을입니다.

바-라족이 지름 400m 정도의 공간에 이 마을을 건설했습니다.

거대한 고리형 구조가 있고,

뒤쪽으로 갈수록 커지는 환형 구조는 혈연의 인접성을 나타냅니다.

맨 뒤로 가면 추장의 고리가 있고

이 고리 주변에 추장의 직계존속들이 있습니다.

이것이 그 프랙탈 모형입니다.

여기는 신성한 제단이 있는 집이고,

여기는 가족들이 살게 되는 가옥과 그 내부의 가옥들입니다.

여기는 제단과 관련된 사람들이 거주하고,

이쪽에 마을 전체의 사람들이 거주하면서 --

고리의 고리의 고리인 이 곳에 추장의 방계 가족이, 그리고 이 안쪽에 직계 가족이 거주하고

이 안쪽엔 이 정도의 작은 마을이 있게 됩니다.

이쯤에서 어떻게 사람들이 이 작은 마을에 살 수 있을지 의문이 들 것입니다.

이 마을은 그들의 조상신을 위한 것입니다.

그럼, 당연히 이 조상신들은 자신들의 조상신을 위한 작은 마을을 갖고 있겠죠?

게오르그 칸토어가 말한 것 같은, 무한히 재귀적으로 반복되는 패턴입니다.

이곳은 나이지리아의 카메룬과의 국경지대에 위치한 만다라 산맥의 모코우렉입니다.

저는 그곳에서 한 프랑스 건축가가 그린 도안을 발견했고,

"대단히 아름다운 프랙탈이다!" 라고 감탄했습니다.

그래서 이 도안을 펼치기 이전의 초기 모양을 반복 과정을 통해서 찾아내려 했습니다.

그렇게 해서 찾아낸 구조입니다.

보시죠, 첫 단계, 두 번째, 세 번째, 네 번째로 반복합니다.

이제 이런 시뮬레이션을 통해서

전체 마을의 모양이 이와 같은 나선들로 이루어져 있다는 것을 깨달았습니다.

이쪽이 그 닮은 모양이구요 -- 이렇게 자기반복적으로 펼친 프랙탈 모양이 됩니다.

그리고 이 선들이 이 마을의 유일한 사각 건물에서 이어지는 것을 알아냈습니다.

그래서 이 마을에 도착했을 때,

"네모난 건물로 갈 수 있을까요? 거기에 뭔가가 있을 것 같습니다."

라고 했습니다.

그들이 말하기를, "그쪽으로 당신을 데려갈 수는 있지만,

그 안은 우리가 매년 풍요를 기원하며 희생제를 지내는 신성한 제단이기 때문에

안으로 들여보낼 수는 없습니다." 라고 했습니다.

그제서야 저는 그 풍요의 원들이

이 건물들의 모양처럼 자기반복적인 원들로 이루어 진 것을 알아챘습니다.

이런 마을들이 자기반복적으로 매우 작은 크기까지 반복되는 것처럼요.

이곳은 말리의 난카니 마을입니다.

여기 가족 구성의 안으로 가면 --

불 피우는 곳 주변으로 냄비들이 재귀적으로 쌓여 있는 것을 볼 수 있습니다.

이것은 이사가 우리에게 보여준 호리병박들입니다.

이것들 또한 재귀적으로 쌓여 있습니다.

이 중의 가장 작은 호리병박 안에는 여성의 영혼이 담겨 있다고 하고,

그녀가 사망하면 이 무더기를 무너뜨리는 잘란가라는 의식을 통해

영혼을 영원으로 전송하는 의식을 치룹니다.

다시 한 번, 무한이 부각됩니다.

이쯤에서 여러분은 이런 질문을 던지게 될 것입니다.

이런 자기반복적인 패턴은 모든 토착 건축에서 보편적으로 발견되는 것일까?

사실 이것이 저의 본래 가설이었습니다.

제가 아프리카의 프랙탈 모양들을 처음 봤을 때,

"혹시, 국가 사회 같은 구조를 지니지 않는 모든 토착 집단들이

이런 식의 상향식 구조를 갖지 않을까?" 라고 생각했고,

그것은 옳지 않다고 드러났습니다.

저는 아메리카 인디안과 남태평양 부족들의 항공 사진들로부터 시작했고,

오직 아프리카에서만 프랙탈 모양을 갖는 것을 발견했습니다.

생각해 보자면, 그들의 다른 사회 구성은 그들이 사용하는 지리적 도형에 영향을 주는 것입니다.

아메리카 인디안들은 그들의 도자기나 바구니에서 볼 수 있는 것처럼

원대칭과 사방대칭형 조합의 문양을 사용합니다.

이것은 아나사치 유적의 항공 사진입니다.

보시는 것처럼 크게는 원형이고, 작은 단위에서 사각형을 이루고 있음을 알 수 있습니다.

다른 단위에서 같은 패턴을 이루고 있지 않죠.

두 번째로, "글쎄요,

Eglash 박사, 혹 아프리카 문화의 다양성을 무시하고 있는 것은 아닙니까?" 라고 물으실 수 있습니다.

세 가지 이유로, 답은 "아닙니다."

첫째로, 저는 무딤베의 훌륭한 책, [아프리카의 발명] 에 주장하는 바와 같이

아프리카가 사실 옛 식민시대와 그 반향 운동들로 인한

인공적으로 발명된 개념이라는 데 동의합니다.

널리 퍼져있는 실제적인 디자인 패턴이 문화의 필연적으로 문화의 동질성으로 이어지는 것은 아니며--

DNA 에 대해서도 동일합니다.

두 번째로, 프랙탈은 자기반복적인 성질을 갖고 있어서

그 자신의 모양과 닮아 있는 것은 사실이지만, 그들 간의 모양이 닮을 필요는 없습니다.

이를 통해 다양한 모양의 프랙탈 도형들을 볼 수 있습니다.

프랙탈 도형은 아프리카에 퍼져 있는 기술 현상인 것이죠.

마지막으로, 글쎄요, 그저 우연이 아니냐고 물을 수도 있습니다.

실제로 수학적인 지식이 전승되어 온 것은 아니라고 말이죠.

아프리카인들이 프랙탈 도형을 알고 이용할 수는 없었겠지요,

그것은 1970년대에 처음 알려졌으니까요.

뭐, 몇몇 아프리카의 프랙탈들이 순수하게 직관적으로 이루어 진 건 사실입니다.

그래서 이렇게, 다카르의 거리를 돌아다니면서 사람들에게 물었을 때,

"어떤 알고리즘입니까? 그러니까, 이걸 만드는 규칙이 뭐죠?" 라고 했을 때,

그들은 이렇게 답했습니다.

"그냥 그 모양이 예쁘니까요. 멍청한 양반아." (웃음)

하지만 간혹가다가 아닌 경우도 있습니다.

간혹, 그 안에는 실제로 복잡한 알고리즘이 적용되는 경우가 있습니다.

이 만게투 조각을 보면 에티오피아 십자가의

재귀적인 펼침 문양을 볼 수 있습니다.

앙골라에선, 초케족 사람들은 모래에 그림을 그리는데

이것은 독일의 수학자 오일러가 얘기한 그래프 이론의

오일러 경로를 통해서 그려집니다.

펜을 표면에서 떼지 않고, 같은 선을 두 번 이상 겹쳐 그리지 않으며

문양을 그리게 됩니다.

문양은 재귀적으로 반복되고, 이 문양은 연령대에 따라 달라지는데,

꼬마들은 이 문양을 그리고, 더 나이 든 아이들은 이 문양을 배웁니다.

더 자라서는 이 문양을 배우게 됩니다.

이 법칙의 각 반복 단계들을 통해서

그 반복에 얽힌 신화를 같이 배우게 됩니다.

그리고 다음 단계의 지식을 습득하게 되는 것이죠.

마지막으로, 아프리카 전역에서 이런 보드게임을 볼 수 있습니다.

제가 이 게임을 배운 가나에서는 오와리라고 불립니다.

동부 해안지대에선 만칼라, 케냐에서는 바오, 다른 곳에서는 소고 로 불립니다.

이 게임 안에서 엄청난 자기반복적인 패턴이 발생하는 것을 볼 수 있습니다.

가나 사람들은 이런 자기반복적인 패턴을 이해하여

전략적으로 이용합니다.

이렇게 보면 매우 의식적으로 전승되는 지식이죠.

여기 있는 멋진 프랙탈처럼

사헬지대 안 어디서나 이 바람막이 도형을 볼 수 있습니다.

세계 어느 곳을 가던 펜스는 직교 좌표로, 곧은 직선으로 이루어집니다.

하지만 이곳, 아프리카에서 펜스는 비선형으로 이루어져 있습니다.

그래서 저는 이 펜스를 만든 사람을 추적해,

바마코 외곽에 사는 말리족 사람에게 물었습니다.

"어떻게 이런 프랙탈 펜스를 만들게 되었습니까? 다른 사람들은 그렇지 않습니다."

그의 답변은 아주 흥미로웠습니다.

"만약 내가 정글에 살아서, 긴 짚풀을 빨리, 싸게 구할 수 있다면

나도 선형 펜스를 만들었을 것입니다.

시간도 얼마 안 걸리고 짚풀도 적게 드니까요.

하지만 그렇게 하면 바람과 먼지가 쉽게 통과합니다.

이렇게 맨 꼭대기까지 단단하게 연결해야 바람과 먼지를 막아줍니다.

단단하게 연결하기 위해 제작시간도 오래 걸리고, 짚풀도 많이 사용되지만요.

우리는 경험적으로,

지면에서 높이 올라갈수록 바람이 강하게 분다는 것을 알고 있습니다."

어떻습니까? 정확히 비용-효익 분석의 내용입니다.

저는 짚풀의 강도를 측정하고,

그것을 로그-로그 그래프로 그렸을 때,

높이와 바람의 세기가 기하급수적인 비례에 맞아 떨어진다는 것을

풍동역학 책에서 찾아냈습니다.

이 사람들은 정확한 측정 기술을 실전에서 활용하고 있는 것이죠.

제가 발견한 것 중 가장 복잡한 규칙의 프랙탈은

지리적인 것이 아닌, 심볼문자에서 나타났습니다.

이것은 바마나족의 모래 신성문자입니다.

이와 같은 신성문 시스템을 아프리카 전역에서 찾아 볼 수 있습니다.

대륙 서안에서 동안까지 거의 유사합니다.

간혹 이 심볼이 아주 잘 보존 된 것을 볼 수 있는데,

각 심볼은 네개의 비트로 이루어져 있습니다. -- 4비트의 이진 단어죠 --

임의로 모래 위에 이 선들을 그리다가, 선의 숫자를 세어

그 숫자가 홀수이면 하나의 선을 내려 그리고,

짝수이면 두 선을 내려 그립니다.

이 작업은 굉장히 빠르게 진행되며,

저는 그들이 이것으로 뭘 하려는지 --

그들은 단순히 임의적인 네 번의 행동을 한 것으로 보이지만 --

어떻게 나머지 12개의 심볼을 쓰게 되는지 이해할 수 없었습니다.

그들도 이야기 해 주지 않았구요.

그들은, "아니, 안됩니다. 이것을 알려 드릴 수는 없습니다." 라고 했고,

제가 "제가 돈을 지불하겠습니다. 당신이 내 스승이 되어주면,

매일 와서 배우고 댓가를 지불하겠습니다" 라고 해도

"돈의 문제가 아닙니다. 종교적인 문제입니다." 라며 거절했습니다.

결국엔 절박한 심정으로,

"1877년의 게오르그 칸토어에 대해서 설명을 해 드려도 되겠습니까"

라는 말로 시작하여 제가 왜 아프리카에 갔는지 설명을 했고,

그들은 칸토어 집합에 흥미를 보였습니다.

결국 그 중 한 명이 "오시죠, 제가 도움을 드릴 수 있을 듯 합니다." 라고 하며

제가 바마나 사제의 입문예를 통과하도록 하였습니다.

물론 저는 오직 수학에만 관심이 있었고,

계속해서 그를 물어 보면 그는 계속 머리를 내저으며,

"글쎄, 저는 그렇게 배우지 않았습니다." 라고 하며

나를 모래 속에 묻은 콜라열매 곁의 침상에서 재우고

일곱개의 동전을 일곱명의 나환자들에게 나누어주고... 그런 일들을 했습니다.

결국 그는 문제의 진실을 알려주었습니다.

그 심볼은 유한 카오스를 이용한 유사난수 발생기로 작용합니다.

4비트 심볼 시스템으로 이것들을 옆으로 이어붙일 수 있게 됩니다.

짝수와 홀수를 더하면 홀수가 나오고

홀수와 짝수를 더하면 홀수가 나오게 됩니다.

짝수와 짝수를 더하면 짝수가, 홀수와 홀수를 더해도 짝수가 나옵니다.

2의 나머지를 더하는 것으로, 여러분의 컴퓨터 안에서 사용되는 패리티 비트 검증 과정과 같습니다.

그리고 이 심볼들을 다시 계산에 참여시켜서

자기반복적인 심볼의 다양성을 갖게 합니다.

그들은 실제로 이 작업에 결정론적 혼돈 이론을 사용합니다.

이제, 이것은 이진코드로 이루어지므로

이것을 전자회로로 구현할 수 있습니다.

아프리카의 공학교실에 이런 것을 가르치는 것이 얼마나 환상적이겠습니까?

제가 알아낸 아주 흥미로운 사실은 이 심볼의 역사가

12세기에 휴고 산탈리아가 이 심볼시스템을 이슬람으로 부터 스페인으로 전해

연금술사 집단에 대지를 통해 이루어지는 신성한

흙점으로 이어졌다는 사실입니다.

이 것은 1390년에 리처드 2세 왕을 위해 그려진 흙점 도안입니다.

독일의 수학자 라이프니츠는, 그의 논문에서

이 흙점을 "De Combinatoria" 라고 칭하며

"하나, 혹은 두 개의 선을 사용하는 대신,

1 또는 0을 사용함으로써 2의 승수로 숫자를 셀 수 있다" 고 했습니다.

그렇죠? 1과 0을 이용한 이진 코드입니다.

조지 부울이 라이프니츠의 이진 코드로 불리언 대수학을 만들고,

요한 폰 노이만이 불리언 대수를 통해 디지털 컴퓨터를 만들었습니다.

그러므로 이 작은 PDA 또는 랩탑같은 것들은 --

그리고 세상의 모든 디지털 회로들은 -- 아프리카에서 시작된 것입니다.

저는 브라이언 에노가 아프리카에 컴퓨터가 부족하다고 했다 들었는데,

브라이언 에노에게는 아프리카의 역사 공부가 모자랐던 모양입니다.

(박수)

이제 여기서 찾아낸 몇 가지 응용들을 인용한 얘기로 마치겠습니다.

여러분은 우리 웹사이트에서

웹브라우저에서 구동되는, 세상 누구라도 무료로 사용할 수 있는

프로그램을 사용해 보실 수 있습니다.

최근 국가 과학 재단이 우리 연구에 컴퓨터 프로그래밍을 지원하여

이러한 디자인 도구를 사용할 수 있도록 도와 주었습니다.

바라건대 약 3년 안에, 웹을 사용하는 누구라도

자신의 시뮬레이션을 통해 자신만의 도형을 만들 수 있을 것입니다.

우리는 미국의 흑인 학생들, 미국 인디안 학생들과 라틴계열 학생들에 집중하여

그들이 수학 수업에 이 프로그램을 이용하였을 때, 사용하지 않은 통제집단에 비해

통계적으로 명백하게 우수한 성적을 거둠을 발견했습니다.

이는 그들이 갖고 있는 수학적인 유산에 대한 성공적인 교육 사례입니다.

춤과 노래와 같은 유산과 더불어 말입니다.

우리는 가나에서 파일럿 프로그램을 시작했고,

우리에게 협조의사를 갖는 사람들을 대상으로 이 교육을 수행하며,

미래에 다가올 가능성에 매우 고무되어 있습니다.

우리는 이것을 또한 디자인에 접목시켜

여기 이름을 빠트렸네요 -- 제 동료, 케냐에 있는 케리는 프랙탈 구조의 마을에

우편 주소를 매기는 기가 막힌 프랙탈 구조의 방법론을 고안해냈습니다.

프랙탈 구조의 마을에 격자구조의 우편 시스템을 사용하면

잘 맞아떨어지지 않기 마련입니다.

콜롬비아 대학의 베르나드 츄미는 아프리카 예술 박물관을 이 프랙탈 도안을 통해 설계했고,

오하이오 주립대의 데이비드 휴즈는 프랙탈 구조에 기반한

아프리카 건축술의 입문서를 저술했습니다.

마지막으로, 저는 이러한, 전에 얘기 한 것 처럼 우리 뇌 속에도 있는

자기반복적인 아이디어가 --

구글의 검색 엔진에도 있음을 짚고 싶습니다.

사실, 구글이 그렇게 성공할 수 있던 이유는

그들이 웹의 자기반복적인 성질을 최초로 이용했기 때문입니다.

생태적인 유지성에 있죠.

모험적으로 새로운 것을 창조하는 기업가정신에도 있고,

민주주의의 윤리성에도 있습니다.

물론 나쁜 곳에서도 발견됩니다.

자기반복성은 AIDS 바이러스가 급격히 확산되는 원인이고,

자기반복체인 자본주의를 생각해보면, 그것이 어떻게 파괴적인 효과를 갖는지 볼 수 있습니다.

그 외에도 아주 많은 것들이 있습니다.

일전에 말해지던 것과 같이, 우리는 좀 더

아프리카의 자기반복적인 전통을 좀 더 생각하여야 합니다.

여기엔 명백한 규칙성이 있습니다.

자기조직적인 방법들 - 기업가적인 일을 하는 - 방법들이 존재하며

그것들은 부드럽고, 평등합니다.

이런 일에 대해서 더 좋은 방법을 찾고자 한다면,

다만 아프리카의 이런 명백한 자기반복적인 알고리즘들을 연구해야 할 것입니다.

감사합니다.