Ron Eglash az afrikai fraktálokról

"Matematikus vagyok, és szeretnék a háztetőjükre állni." Ezekkel a szavakkal köszöntött számos afrikai családot Ron Eglash, amikor olyan fraktálminták után kutatott, amilyeneket kontinensszerte talált a falvakban.

A történet 1877-ben kezdődik, Németországban,

egy Georg Cantor nevű matematikussal.

Cantor gondolt egyet, vett egy vonalat, kiradírozta a középső harmadát,

és vette az így kapott egy-egy vonalat, és most ezekre alkalmazta az előbbi eljárást, egy rekurzív eljárást.

Tehát kezdi egy szakasszal, folytatja kettővel,

azután néggyel, majd 16-tal, és így tovább.

Ha ezt végtelen sokszor megcsinálja, ami a matematikában megtehető,

akkor végül végtelen sok vonalat kap,

amelyek mindegyikének végtelen sok pontja van.

Így rájött, hogy van itt egy halmaz, amelynek az elemszáma nagyobb, mint végtelen.

Ettől becsavarodott. Szó szerint. Bevonult egy szanatóriumba. (Nevetés)

Amikor kijött a szanatóriumból,

meg volt győződve róla, hogy az az ő küldetése a Földön, hogy megalapozza a transzfinit halmazelméletet,

mert a legnagyobb végtelen halmaz talán maga Isten.

Nagyon vallásos ember volt.

Egy matematikus, akinek küldetése van.

Más matematikusok is csináltak hasonló dolgot.

A svéd von Koch

arra gondolt, hogy ahelyett, hogy elhagyna a vonalakból, inkább hozzájuk rak.

És így állt elő ezzel a gyönyörű görbével.

Nincs semmi különösebb okunk rá, hogy pont ilyen csíra-alakzatból induljunk ki;

bármilyen csíra-alakzatot használhatunk.

Kicserélem másra, és ezt ragasztom be helyette -- ide le, rendben? --

és most, az iteráció során a csíra-alakzatból egy egészen másképp kinéző struktúra bontakozik ki.

Ezek mindegyike rendelkezik az ön-hasonlóság tulajdonságával:

hogy a rész pont ugyanúgy néz ki, mint maga az egész.

Ugyanaz a minta, különféle méretekben.

Hát, a matematikusok úgy gondolták, hogy ez nagyon különös,

mert ahogy egyre rövidebb mércét használunk, egyre nagyobb és nagyobb hosszot mérünk.

És, mivel végtelen sok iterációt hajtunk végre,

ahogy a mérce hossza végtelen kicsire húzódik össze, a hossz nő a végtelen felé.

Ennek így semmi értelme nem volt,

így elásták az ilyen görbéket a matematikakönyvek mélyébe.

Azt mondták, hogy ezek amolyan elfajzott görbék, és nem kell foglalkoznunk velük.

(Nevetés)

És ez így működött vagy száz éven keresztül.

És akkor, 1977-ben Benoit Mandelbrot, francia matematikus

rájött, hogy ha számítógépes grafikát készítünk és ilyen alakzatokat használunk, amiket ő fraktálnak nevezett el,

akkor a természet alakzatait kapjuk.

Megkapjuk az emberi tüdőt, az akáciát, a páfrányt,

ezeket a gyönyörű természeti formákat.

Ha vesszük a hüvelyk- és a mutatóujjunkat és jól megnézzük, hogy hol találkoznak --

próbálják csak meg, csináljanak így --

-- lazítsák el a kezüket, látni fognak egy redőt,

azután egy ráncot a redőben, és egy redőt a ráncban. Igaz?

A testünk is tele van fraktálokkal.

Talán bizony azok a matematikusok, akik ezt mondták, amolyan elfajzott alakok lettek volna?

Fraktáltüdejükből rebegték el azokat a szavakat.

Nagyon ironikus. Mutatok mindjárt önöknek egy természetes rekurziót.

Tehát még egyszer: vesszük ezeket a vonalakat és rekurzív módon helyettesítjük őket a teljes alakzattal.

Így itt a második iteráció, a harmadik, a negyedik, stb.

Tehát a természetnek megvan ez az ön-hasonló szerkezete.

A természet önszerveződő rendszereket használ.

Az 1980-as években teljesen véletlenül észrevettem,

hogy ha egy afrikai falu légifotóját nézzük, akkor fraktálokat látunk.

És úgy gondoltam, hogy ez valami csodálatos, és vajon miért van így?

És persze el kellett, hogy menjek Afrikába, megkérdezni az ottaniakat, hogy miért.

Kaptam egy Fulbright-ösztöndíjat csak azért, hogy egy éven keresztül utazgassak Afrikában,

és kérdezgessem az embereket, hogy miért építenek fraktálokat,

Ez nagyszerű állás, már ha megkapja az ember.

(Nevetés)

Így végül eljutottam ebbe a városba, és elkészítettem egy kis fraktálmodellt a városról,

csak azért, hogy lássuk, hogyan bontakozik ki --

de amikor eljutottam oda, és ott voltam a főnök palotájánál,

valami ilyesmit találtam mondani -- mert hogy nem vagyok valami jó franciából -- :

"Matematikus vagyok, és a háztetőjén szeretnék tartózkodni."

De ő jól fogadta és felhozott ide,

és elbeszélgettünk a fraktálokról.

És azt mondta: "Ó, igen, igen! Tudtunk róla: téglalap a téglalapban,

tudunk róla mindent."

És kiderült, hogy a királyi címerben van egy téglalap egy másik téglalapban, ami egy harmadik téglalap belsejében van,

és a királyi palotán átvezető út meg ez a spirál.

És ahogyan megyünk az úton, egyre illedelmesebbnek és illedelmesebbnek kell lennünk.

Tehát a társadalmi viszonyokat leképezik geometriai viszonyokká;

ez nagyon is tudatos minta. Nem öntudatlan, mint egy termeszhalom fraktálja.

Ez egy falu Dél-Zambiában.

Ezt a falvat a Ba-lla törzs építette, az átmérője 400 méter.

Van egy nagy gyűrű.

A gyűrűk, amik a család körletét jelzik, egyre nagyobbak lesznek, ahogyan a vége fele haladunk,

és itt van a főnöki gyűrű, a vége felé,

és a főnök közvetlen családja ebben a gyűrűben.

Itt van egy kis fraktálmodell hozzá.

Ez egy ház áldozati oltárral,

itt van a házak háza, a családi körlet,

emberekkel azon a helyen, ahol az előbb az áldozati oltár volt,

és itt a falu, a falu a maga egészében --

a gyűrűk gyűrűjének gyűrűje a főnök kiterjesztett családjával, itt meg a főnök közvetlen családja,

és van itt egy falucska, épp csak ekkora.

Kérdezhetnék, hogyan férnek el emberek egy ekkora falucskában?

Úgy, hogy ezek szellemek. Az ősök.

És persze a szellemeknek van egy miniatűr falucskájuk a falujukban, igaz?

Olyan ez az egész, ahogy Cantor mondta: a rekurzió a végtelenségig folytatódik.

Ez itt a Mandara-hegység, közel a nigériai határhoz, Mokoulek, Kamerunban.

Megláttam ezt az ábrát, amit egy francia építész rajzolt,

és azt gondoltam, "Hinnye, de gyünyörű fraktál!"

Próbáltam rájönni, hogy milyen csíra-alakzat hozza ezt létre az iteráció során, hogyan bontakozik ez ki.

Erre a struktúrára jutottam itt.

Nézzük az első iterációt, a másodikat, a harmadikat, a negyediket.

Miután végrehajtottam a szimulációt,

rájöttem, hogy az egész falu olyan, mint egy spirál, akárcsak ez,

és ez itt az ismétlő vonal, egy önmagát ismétlő vonal, ami fraktállá bontakozik ki.

Észrevettem, hogy ez a vonal a körül van, ahol a falu egyetlen kocka alakú háza áll.

Így, amikor megérkeztem a faluba, azt kértem:

"El tudnának vinni a kockaházhoz?

Azt hiszem, lesz ott valami."

És azt válaszolták: " Elvihetjük, de be nem mehet,

mert az az áldozati oltár, ahol minden évben áldozatot mutatunk be,

hogy a föld éves termékenységi ciklusa megmaradjon."

És kezdtem megérteni, hogy a termékenységi ciklusok

pont olyanok, mint azok a rekurzív ciklusok a geometriai algoritmusban, amik ezt felépítik.

És a falvak közül néhányban a rekurzió egészen apró részletekig folytatódik.

Itt van ez a nankani falu, Maliban.

Láthatják, bemegyünk a családi körletbe --

bemegyünk, és vannak itt edények a tűzhelyen, rekurzív módon felhalmozva,.

Itt vannak ezek a rumbatök-edények, amiket Issa épp akkor mutatott,

és ezek rekurzív módon vannak elhelyezve.

A legkisebb rumbatök itt tartalmazza az asszony lelkét.

Amikor meghal, akkor egy szertartás keretében

megtörik a halmot, amit zalangának hívnak, és az asszony lelke kiszáll az örökkévalóságba.

Még egyszer, a végtelenség nagyon lényeges.

Ezen a ponton három kérdés vetődik fel.

Vajon ezek az egymásban ismétlődő minták minden bennszülött építményre általánosan jellemzőek?

Ez volt az én eredeti feltevésem.

Amikor először láttam azokat az afrikai fraktálokat,

azt gondoltam: "Óh, azoknak a bennszülött csoportoknak, amelyeknek nincsen államszervezetük,

ilyen a hierarchiaféleségük, bizonyára valamilyen alulról felfelé terjedő építkezésük kell, hogy legyen."

De kiderült, hogy ez nem igaz.

Elkezdtem légifelvételeket gyűjteni amerikai őslakosok és dél-csendes-óceáni népek építményeiről,

és csak az afrikaiak voltak fraktálok.

És ha utánagondolunk, ezek a különböző társadalmak mind másféle geometriai motívumokat használnak.

Például az amerikai őslakosok a körszimetria és negyedrendű szimmetria kombinációját használják.

Láthatjuk ezt az edényeiken és a kosaraikon.

Itt van egy légifelvétel az anasazi romokról;

láthatjuk rajta, hogy az egész egy körbe van foglalva, de a kisebb részletek már téglalapok, igaz?

Ez már nem ugyanaz a minta két különböző méretben.

A másik, amit kérdezhetnének:

"Oké, Dr Eglash, de nem feledkezett meg az afrikai kultúrák közti kölönbözőségről?"

És a válasz: nem, nem és nem.

Először is, egyetértek Mudimbe nagyszerű könyvével, a "The Invention of Africa" -val,

hogy Afrika az első gyarmatosítás, és azután

az ellenállási mozgalmak mesterséges terméke.

Nem, mert a széles körben elterjedt díszítési gyakorlatból nem okvetlen következik a kultúra egységessége,

és semmiképp nincs a zsigerekben.

És végül, a fraktálok "ön-hasonlóak",

tehát hasonlók saját részükhöz, de nem szükségképp hasonlók egymáshoz --

a fraktálokra nagyon különböző példákat látni.

Általánosan elterjedt technológia Afrikában.

És végül is, nem pusztán ösztönös dolog ez az egész?

Ez nem igazi matematikai tudás.

Nem valószínű, hogy az afrikaiak valóban fraktál-geometriát használnának, igaz?

Az az 1970-es évekig ismeretlen volt.

Igen, az igaz, hogy némely afrikai fraktál, úgy gondolom, puszta intuíció.

Néhányról közülük, ha megkérdezném az embereket Dakar

utcáin, hogy "mi az algoritmus, milyen szabály szerint képezik?"

akkor bizonyára ezt felelnék:

"Csak úgy csináljuk, mert hogy jól néz ki, te értetlen". (Nevetés)

De néha más a helyzet.

Néhány esetben valóban vannak algoritmusok, nagyon is kifinomultak.

Így például a manghetu szobrokon láthatják ezt a rekurzív geometriát.

Az etióp kereszteken láthatjuk a formának ezt a gyünyörű kibontását.

Angolában a csokve emberek vonalakat rajzolnak a homokba,

az ilyet nevezte a német matematikus, Euler gráfnak;

mi úgy hívjuk ezt most, hogy Euler-vonal --

úgy rajzoljuk, hogy sosem emeljük fel a tollunkat

és egyetlen vonalon sem megyünk át kétszer.

De ők ezt rekurzív módon teszik, és életkorok szerinti rendszerben,

így a kisgyerekek ezt tanulják meg, a nagyobbak ezt,

és a következő beavatáskor pedig megtanulják ezt.

És az algortimus minden iterációjával

megtanuljuk a mítosz megközelítését.

Megtanuljuk a tudás következő szintjét.

És végül: egész Afrikában láthatjuk ezt a táblajátékot.

Ghanaban, ahol megismertem owarinak nevezik,

a keleti parton mancalának, Kenyában baonak, másutt sogónak.

Önszerveződő mintákat látunk, amik itt a táblás játékban spontán módon fordulnak elő.

És Ghánában ismertek ezek az önszerveződő minták,

és stratégiailag használják őket.

Ez tehát egy nagyon is tudatos tudás.

Itt van egy gyönyörű fraktál.

Bármerre is megyünk Sahelben, mindenütt látni ezeket a szélvédő kerítéseket.

És persze a kerítések mindenütt a világon a felszínre merőlegesek, szigorúan vonalakból állnak.

De itt, Afrikában, vannak ezek a nem vonalakból álló, hanem réteges kerítések.

Felkutattam hát valakit, aki ezeket csinálja,

egy fickót Maliban, Bamako külterületén, és megkérdeztem:

"Hogyan jutott eszébe, hogy fraktál-ketítéseket csináljon? Mert mások nem ilyet csinálnak."

Nagyon érdekes volt a válasza.

Azt mondta: "Ha az őserdőben élnék, csak hosszú szalmakötegeket használnék,

mert az nagyon gyors és olcsó.

Nem kell hozzá sok idő, sok szalma.

De átfúj rajta a szél, átsöpri rajta a koszt.

Ezek a tömör sorok a legtetején, ezek valóban megfogják a szelet és a koszt.

De sok időre és sok szalmára van szükség hozzá, mert ez tényleg nagyon tömör. "

"Na mármost" -- mondta --, "tapasztalatból tudjuk,

hogy minél feljebb megyünk a talajtól, annál erősebb a szél."

Értik? Ez tisztára egy költség-érték elemzés.

És lemértem a szalma hosszát,

ábrázoltam egy log-log görbén, megkaptam az arányossági kitevőt,

és az szinte pontosan megfelelt a szél-méretezési kézikönyvek

szélsebesség-magasság arány kitevőjének.

Tehát ezek a fickók járatosak a méretezési technológiában.

A legösszetettebb példa, amit a fraktálok algoritmusának szemléltetéséhez találtam,

nem is a geometriában volt, hanem a szimbolikus kódolásban,

éspedig a bamana homok-jövendölés.

Ezt a jövendölés-rendszert megtalálni egész Afrikában.

Meg lehet találni a keleti és a nyugati parton egyaránt,

és a jelképekben alig van eltérés az egyes helyeken,

így minden egyes szimbólumnak négy bitje van -- ezek 4-bites bináris szavak --,

ezeket véletlenszerűen rajzolják a homokba, és a végén leszámlálják,

ha ez páratlan szám, akkor húzunk egy vonást,

ha páros, akkor kettőt.

Ők ezt villámgyorsan csinálják,

és fel nem foghattam, hogy honnan veszik --

ezt a véletlenszerű dolgot négyszer csinálják --

nem értettem, honnan veszik a másik 12 szimbólumot.

És nem akarták elárulni.

Azt mondták": Nem, nem, nem beszélhetek róla."

Erre azt mondtam: "Nézze, megfizetem érte, a tanítványa leszek,

jövök minden nap és fizetek."

Ők erre azt mondták: "Ez nem pénzkérdés. Ez vallási ügy."

És végül, kétségbeesésemben ezt mondtam:

"Hagy meséljek Georg Cantorról, 1877-ből."

És elkezdtem magyarázni, hogy mit is keresek Afrikában,

és nagyon izgatottak lettek, amikor meglátták a Cantor-halmazt.

Valaki közülük ezt mondta: "Gyere csak, tudok neked segíteni."

Végigvezetett a bamana papi beavatási szertartáson.

És persze engem csak a matematika érdekelt belőle,

így egész idő alatt csóválta a fejét.

"Tudod, én ezt nem így tanultam."

De azért úgy kellett, hogy aludjak, hogy az ágyam mellett, a homokban egy kola dió volt elásva,

és hét érmét kellett adjak hét bélpoklosnak, stb.

És végül felfedte a dolog titkát.

És kiderült, hogy ez egy pszeudovéletlen-számgenerátor, ami a determisztikus káoszt használja.

Ha van egy 4-bites szimbólumunk, akkor azt hozzáírjuk egy másikhoz az egyik oldalról.

Így páros plusz páratlan: páratlan lesz.

Páratlan plusz páros: páratlan lesz.

Páros plusz páros: az páros. Páratlan plusz páratlan: az páros.

Ez egy összeadás modulo 2, akárcsak a paritás-ellenőrzés a számítógépünkön.

És vesszük az így kapott szimbólumot, és ezt tesszük vissza,

és így önmagát generáló szimbólum-sorozatot kapunk.

Valóban egyfajta deteminisztikus káoszt használnak ehhez.

Nos, ez egy bináris kód,

ezt akár meg is valósíthatjuk egy hardverben --

ami egy fantasztikus oktatási segédeszköz lehetne egy afrikai mérnöki iskolában.

De a legérdekesebb dolog, amit találtam ezzel kapcsolatban, az történelmi vonatkozású volt.

A 13. században Santallai Hugó hozta Spanyolországba az iszlám misztikusoktól.

És úgy került be az alkimisták közösségébe, mint geomancia:

-- jövendőmondás földből.

Ez ll. Richárd király geomancia-táblázata 1390-ből.

Leibniz, a német matematikus

foglalkozott a geomanciával a "De Combinatorica" című dolgozatában.

És azt mondta: "Ahelyett, hogy egy vonást vagy két vonást használnánk,

használjunk egyet vagy nullát, és vegyük a kettő ennek megfelelő hatványát."

Rendben? Nullák és egyek -- a bináris kód.

George Boole fogta Leibniz bináris kódját és megalkotta a Boole-algebrát,

és Neumann János fogta a Boole-algebrát és megalkotta a számítógépet.

Így hát mindezek a kis PDA-k és laptopok --

a világ összes digitális áramköre -- Afrikából indult.

Tudom, hogy Brian Eno azt állítja, hogy nincs elég Afrika a számítógépekben;

én meg nem hiszem, hogy elegendő Afrika-történelem lenne Brian Eno fejében.

(Taps)

Befejezésül hagy mondjak néhány szót arról, hogy milyen alkalmazásokat találtunk erre.

És ha felmennek a honlapunkra,

az appletek ingyenesek, futnak a böngésző alatt.

Bárki a világon használhatja őket.

A National Science Foundation "Broadening Participation in Computing program"-jától

mostanában nyertünk el egy ösztöndíjat, hogy elkészítsük ezeknek a tervezőeszközöknek a programozható változatát,

így remélhetőleg három éven belül bárki felmehet a hálózatra

és létrehozhatja saját szimulációját és műalkotását.

Elsősorban az USA-ban tanuló afroamerikai diákokra, az indiánokra és a latin-amerikaiakra gondoltunk.

Statisztikailag is kimutatható fejlődést értünk el a szoftverrel a gyerekek körében a matematika oktatásban,

összehasonlítva egy kontrollcsoporttal, akik nem használták ezt a szoftvert.

Így hát valóban nagyon sikeresek voltunk abban, hogy megtanítsuk a gyerekeknek, hogy matematikai örökségük is van,

nem csupán zenei és táncos.

Elkezdtünk egy kísérleti programot Ghánában,

kaptunk egy kis kezdő támogatást annak a kiderítésére, hogy az ottaniak hajlandóak-e az együttműködésre,

nagyon izgulunk a további lehetőségeket illetően.

Dolgoztunk a designnal kapcsolatban is.

Nem írtam fel ide a nevét -- a kollégám, Kerry, Kenyából jött a nagy ötlettel,

hogy használjunk fraktál-struktúrát azoknak a falvaknak a postai címzésére, amelyek fraktál-struktúrájúak,

mert ha rácsos postai rendszert használunk egy fraktál-faluban,

az nem felel meg kellőképp a célnak.

Bernard Tschumi a Columbia Egyetemről épp most fejezett be egy tervet az afrikai művészetek múzeuma számára ennek felhasználásával.

David Hughes az Ohio Állami Egyetemről írt egy bevezető jellegű művet a fekete hagyományokra támaszkodó építészetről,

amelyben felhasznált ezek közül a fraktálok közül néhányat.

És végül, szeretnék emlékeztetni arra, hogy az önszerveződésnek a gondolata,

ahogyan azt már korábban is hallottuk, a tudatunkban van.

Benne van a Google keresőmotorjában.

Valóban, hogy a Google ilyen sikeres, annak az az oka,

hogy elsőként használta ki a háló önszerveződő tulajdonságát.

Benne van az ekológiai fenntarthatóságban.

Benne van a vállalkozás fejlődésre való képességében

a demokrácia etikai erejében.

Néhány rossz dologban is persze.

Az önszerveződés az oka annak is, hogy az AIDS vírusa olyan gyorsan terjed.

És ha nem vesszük észre, hogy a kapitalizmusnak, ami önszerveződő, lehetnek destruktív hatásai is,

akkor nem járunk eléggé nyitott szemmel.

El kell hát gondolkozzunk, ahogyan korábban is említettük,

a hagyományos afrikai módszerek alkalmazásán az önszerveződés terén.

Ezek nagyon hatékony algoritmusok.

Ezek olyan módszerek az önszerveződésre -- a vállalkozások építésére --,

amelyek békések, egyenlőségre törekvők.

Ha tehát valami jobb utat akarunk találni az ilyen munkák végrehajtására,

akkor nem kell messzebb menni, mint Afrika, hogy megtaláljuk ezeket a hatékony önszervező algoritmusokat.

Köszönöm.