רון אגלש על פרקטלים אפריקאים

"אני מתמטיקאי, ואני רוצה לעמוד על הגג שלכם." בדרך זו הציג את עצמו רון אלגש בפני משפחות אפריקאיות בהן פגש תוך כדי מחקרו על דפוסים פרקטליים בהם הבחין בכפרים על פני כל היבשת.

אתחיל את סיפורי בגרמניה בשנת 1877,

עם מתמטיקאי בשם גיאורג קנטור.

קנטור לקח קו ומחק את השליש האמצעי שלו.

הוא חזר על התהליך בשני הקווים שנוצרו בתהליך רקורסיבי.

הוא התחיל עם קו אחד, ואז שניים,

ואז 4, 16, וכן הלאה.

אם יחזור על כך אינסוף פעמים, כפי שניתן לעשות במתמטיקה,

הוא יקבל אינסוף קווים,

שבכל אחד מהם יש אינסוף נקודות.

כשהוא הבין שהוא יצר קבוצה עם מספר איברים גדול מהאינסוף,

הוא יצא מדעתו ואושפז בסנטריום.

כשהוא השתחרר,

הוא היה משוכנע שמטרתו עלי אדמות היא לייסד את תורת הקבוצות העל-סופית,

מכיוון שהקבוצה האינסופית הגדולה ביותר היא אלוהים עצמו.

הוא היה אדם דתי מאוד.

הוא היה מתמטיקאי בשליחות.

מתמטיקאים אחרים עשו דבר דומה.

מתמטיקאי שוודי בשם וון קוך

החליט לחבר קווים במקום לחסר אותם.

הוא קיבל את העקומה היפה הזאת.

אין סיבה להתחיל דווקא עם צורת הגרעין הזאת.

ניתן להתחיל בכל צורת גרעין שנרצה.

אסדר מחדש ואקבע את זה כאן למטה...

ע"י חזרות, צורת הגרעין נפרשת למבנה שונה לגמרי.

לכל אלה יש תכונה של דמיון עצמי -

החלק נראה כמו השלם.

זהו אותו הדפוס בקני מידה שונים.

מתמטיקאים חשבו שזה מאוד מוזר.

ככל שהסרגל מתכווץ - האורכים נעשים יותר ויותר גדולים.

מכיוון שהם ביצעו אינסוף חזרות,

כשהסרגל מתכווץ לאינסוף, האורך גדל לאינסוף.

זה לא היה הגיוני,

אז הם החביאו את העקומות אלה בסוף ספרי המתמטיקה

ואמרו שהן עקומות פתולוגיות ואין צורך לדון בהן.

[צחוק]

זה עבד במשך מאה שנים.

בשנת 1977, בנואה מנדלברוט, מתמטיקאי צרפתי,

הבין שבאמצעות גרפיקה ממוחשבת ושימוש בצורות האלה, שהוא כינה פרקטלים,

ניתן לקבל את צורות הטבע.

ניתן לקבל ריאות אנושיות, עצי שיטה ושרכים.

ניתן לקבל צורות יפהפיות של הטבע.

אם מתבוננים במקום המפגש בין האגודל לאצבע

- נסו זאת עכשיו -

אם תרפו את היד - תראו קמט,

וקימטוט בתוך הקמט, וקמט בתוך הקימטוט.

גופנו מכוסה בפרקטלים.

המתמטיקאים שאמרו שהם צורות פתולוגיות חסרות ערך,

נשמו את מילותיהם עם ריאות פרקטליות.

זה מאוד אירוני. אראה לכם רקורסיה בטבע.

ניקח את הקווים האלה ונחליף אותם בצורה השלמה באופן רקורסיבי.

זאת החזרה השניה, השלישית, הרביעית, וכן הלאה.

לטבע יש מבנה עם דמיון עצמי.

הטבע משתמש במערכות ארגון-עצמי.

בשנות ה-80, שמתי לב במקרה,

שאם מתבוננים בתמונה אווירית של כפר אפריקאי, רואים פרקטלים.

חשבתי, "זה נהדר! מה הסיבה לכך?"

וכמובן, הייתי חייב לנסוע לאפריקה ולברר את העניין.

השגתי מילגה של פולברייט כדי להסתובב באפריקה במשך שנה

ולשאול אנשים למה הם בונים פרקטלים,

עבודה נהדרת למי שמצליח להשיג אותה.

[צחוק]

לבסוף, הגעתי לעיר הזו, שבניתי מודל פרקטלי קטן שלה,

רק כדי לראות איך הוא נפרש -

אבל כשהגעתי לשם, הגעתי לארמון של הצ'יפ,

ובצרפתית גרועה, אמרתי משהו כמו:

"אני מתמטיקאי ואני רוצה לעמוד על הגג שלך".

הוא לא התרגש, לקח אותי למעלה,

ודיברנו על פרקטלים.

והוא אמר, "כן, כן! אנחנו יודעים על מלבן בתוך מלבן.

אנחנו יודעים הכל על כך."

התברר שבסמלים המלכותיים יש מלבן בתוך מלבן בתוך מלבן.

המסלול בתוך הארמון הוא, למעשה, הספירלה הזאת כאן.

ככל שמתקדמים במסלול, צריכים להיות יותר מנומסים.

הם ממפים את הסולם החברתי על הסולם הגיאומטרי.

זהו דפוס מודע. הוא אינו לא-מודע כמו פרקטל של תל טרמיטים.

זהו כפר בדרום זמביה.

הבא-אילה בנו את הכפר בקוטר של כ-400 מטר.

יש כאן טבעת גדולה.

הטבעות של מתחמי המשפחה גדלות ככל שמתקדמים לאחור.

הטבעת של הצ'יפים נמצאת לקראת אחורי הכפר,

והמשפחה הקרובה של הצ'יפ בטבעת הזאת.

זהו מודל פרקטלי של הכפר.

זהו בית אחד עם המקום המקודש.

זהו בית הבתים - המתחם המשפחתי.

האנשים נמצאים במיקום של המקום המקודש.

זהו כל הכפר -

טבעת של טבעת של טבעות. המשפחה המורחבת של הצ'יפ כאן, והמשפחה הקרובה שלו כאן.

וזהו כפר קטנטן בגודל הזה.

אם תתהו, איך אנשים יכולים לגור בכפר קטנטן שכזה?

זה מכיוון שהוא מיועד לאנשי הרוחות - האבות הקדמונים.

וגם לאנשי הרוחות יש כפר מיניאטורי בתוך הכפר שלהם.

בדיוק כמו שגיאורג קנטור אמר. הרקורסיה נמשכת לנצח.

בהרי המנדרה, בקמרון ליד הגבול עם ניגריה, נמצא הכפר מוקולק.

ראיתי את התרשים הזה שצוייר ע"י ארכיטקט צרפתי,

וחשבתי, "וואו! איזה פרקטל יפה!"

ניסיתי להכין צורת גרעין, שע"י חזרות תפרש לדבר הזה,

והגעתי למבנה הזה.

בואו נראה. חזרה ראשונה, שנייה, שלישית, רביעית.

לאחר שביצעתי את הסימולציה הזאת,

הבנתי שכל הכפר בנוי כספירלה, כמו כאן -

זוהי השורה המשוכפלת - שורה שמשכפלת את עצמה ונפרשת לפרקטל.

שמתי לב שהשורה נמצאת במקום של הבניין המרובע היחיד בכפר.

אז כשהגעתי לכפר

אמרתי, "תוכלו לקחת אותי לבניין המרובע?

אני חושב שמשהו מתרחש שם."

הם אמרו, "נוכל לקחת אותך אבל לא תוכל להכנס.

זהו המקום המקודש, בו מקריבים קורבנות כל שנה

כדי לשמור על מחזורי השנה של הפוריות עבור השדות."

התחלתי להבין שמחזורי הפוריות הם כמו

המחזורים הרקורסיביים באלגוריתם הגיאומטרי שבונה זאת.

הרקורסיה בחלק מהכפרים ממשיכה למימדים מאוד קטנים.

זהו כפר נאנקאני במאלי.

בתוך מתחם המשפחה אפשר לראות

סירים באח המסודרים בערימה רקורסיבית.

אלו קדירות שאיסה הראה לנו.

הן בערימה רקורסיבית.

בקדירה הקטנה ביותר שוכנת נשמת האישה.

כאשר היא מתה, הם עורכים טקס

בו שוברים את הערימה הנקראת זלנגה והנשמה שלה עוברת אל עולם הנצח.

ושוב, האינסוף חשוב.

בשלב הזה, תוכלו לשאול את עצמכם שלוש שאלות.

"האם הדפוסים המדורגים האלה הם לא פשוט אוניברסליים לכל הארכיטקטורות הילידיות?"

זאת היתה ההנחה המקורית שלי.

בפעם הראשונה בה ראיתי את הפרקטלים האפריקאים,

חשבתי, "וואו, אז לכל קבוצה ילידית בלי חברה מדינית או היררכיה דומה,

חיבת להיות ארכיטקטורה מסוג מטה-מעלה."

אבל זה התברר כלא נכון.

התחלתי לאסוף תמונות אוויריות של ארכיטקטורה ילידית מאמריקה ומדרום האוקינוס השקט.

רק בתמונות האפריקאיות היו פרקטלים.

ואם חושבים על זה, כל אחת מהחברות השונות האלה משתמשת במוטיבים גיאומטריים שונים.

ילידים אמריקאים משתמשים בשילוב של סימטריה מעגלית וסימטריה מרובעת.

ניתן לראותה על כלי החרס והסלים.

זוהי תמונה אווירית של אחת מחורבות האנאסאזי.

אתם יכולים לראות שהיא מעגלית בקנה המידה הגדול, אבל מלבנית בקנה המידה הקטן.

זאת לא אותה דוגמא בקני מידה שונים.

השאלה השניה שתוכלו לשאול היא,

"ובכן, ד"ר אגלש, האם אינך מתעלם מהגיוון של התרבויות האפריקאיות?"

והתשובה היא "לא" כפול 3.

ראשית, אני מסכים עם הספר של מודימבה, "ההמצאה של אפריקה",

שאפריקה היא המצאה מלאכותית של הקולוניאליזם הראשון

ושל תנועות ההתנגדות.

"לא", מכיוון שעיצוב משותף לא מצביע בהכרח על תרבות משותפת,

והוא בהחלט לא נמצא בדנ"א.

ולבסוף, לפרקטלים יש דמיון עצמי

ולכן הם דומים לעצמם, אבל לא בהכרח דומים זה לזה.

ניתן לראות שימוש שונה מאוד בפרקטלים.

זוהי טכנולוגיה משותפת באפריקה.

ושאלה אחרונה, "האם לא מדובר בסה"כ באינטואיציה?

זהו לא ידע מתמטי אמיתי.

לא יתכן שאפריקאים משתמשים בגיאומטריה פרקטלית.

הרי לא המציאו אותה עד שנות ה-70 של המאה ה-20."

ובכן, חלק מהפרקטלים האפריקאים הם מבחינתי אכן אינטואיציה טהורה.

גם חלק מהדברים האלה. שוטטתי ברחובות דאקאר

ושאלתי אנשים, "מהו האלגוריתם? מה הם כללי הבניה?"

והם אמרו,

"טיפש, אנחנו עושים אותם ככה פשוט כי זה יפה."

אבל לפעמים המקרה שונה.

לפעמים, קיימים אלגוריתמים מאוד מתוחכמים.

בפיסול של מנגטו ניתן לראות את גיאומטריה הרקורסיבית הזו.

בצלבים אתיופיים ניתן לראות את הפרישה הנפלאה הזו של הצורה.

באנגולה, אנשי הצ'וקווה מציירים קווים בחול.

זהו מה שהמתמטיקאי הגרמני אויילר כינה גרף.

עכשיו אנו מכנים אותו מסלול אוילר -

אסור להרים את הסטיילוס מהמשטח

ואסור לעבור על אותו קו פעמיים.

אבל הם עושים זאת ברקורסיה, והם עושים זאת עם מערכת דירוג-גיל.

הילדים הקטנים לומדים את זה, והמבוגרים יותר את זה.

בטקס החניכה הבא, לומדים את זה.

בכל חזרה של האלגוריתם

הם לומדים את החזרות של המיתוס.

לומדים את הרמה הבאה של הידע.

ולבסוף, בכל רחבי אפריקה, תוכלו למצוא את משחק הלוח הזה.

הוא נקרא אווארי בגאנה, שם חקרתי אותו.

הוא נקרא מנקלה בחוף המזרחי, באו - בקניה וסוגו בכל מקום אחר.

אתם יכולים לראות דפוסי ארגון-עצמי שנוצרים באופן ספונטני במשחק הזה.

והחבר'ה בגאנה הכירו את דפוסי הארגון-העצמי האלה

והשתמשו בהם בצורה אסטרטגית.

כלומר זהו ידע מודע בהחלט.

זהו פרקטל מדהים.

בכל מקום בסאהל ניתן לראות את מגיני הרוח האלה.

בכל רחבי העולם הגדרות הן קרטזיות ולגמרי לינאריות.

באפריקה ישנן גדרות לא-לינאריות בגדלים מדורגים.

איתרתי את אחד מהחבר'ה שבונים את הדברים האלה,

בחור ממאלי, מאזור באמאקו, ושאלתי אותו,

"איך זה שאתה בונה גדרות פרקטליות? אף אחד לא עושה זאת."

התשובה שלו היתה מאוד מעניינת.

הוא אמר, "אם הייתי חי בג'ונגל הייתי משתמש רק בקני קש ארוכים.

הם מאוד מהירים ומאוד זולים

וכך לא צריך הרבה זמן ולא צריך הרבה קש,

אבל רוח ואבק חודרים דרכם בקלות.

השורות הצפופות כאן למעלה מונעות כניסה של רוח ואבק.

אבל מכיוון שהן צפופות הן דורשות הרבה זמן והרבה קש."

והוא הסביר, "למדנו מהניסיון

שככל שמתרחקים מהקרקע, הרוחות נושבות יותר חזק."

ממש ניתוח עלות-תועלת.

מדדתי את אורכי הקשים,

הכנסתי אותם לתרשים לוג-לוג, קיבלתי את מעריך הסילום,

וגיליתי שהוא מתאים כמעט בדיוק מושלם למעריך הסילום של היחס בין מהירות הרוח והגובה

בספרי הנדסת הרוח.

כלומר, החבר'ה האלה קלעו למטרה והשתמשו בטכנולוגיות סילום.

הדוגמא המורכבת ביותר שמצאתי לגישה אלגוריתמית לפרקטלים

היתה, למעשה, לא בגיאומטריה אלא בקוד סימלי

בהגדת עתידות באמצעות חול של הבאמאנה.

שיטה זו של הגדת עתידות נפוצה בכל אפריקה.

ניתן למצוא אותה גם בחוף המזרחי וגם בחוף המערבי,

ולעיתים קרובות הסמלים נשמרים.

כל סמל מורכב מ-4 ביטים - זוהי מילה בינארית בת 4 ביטים.

מציירים את הקווים בחול באופן אקראי וסופרים אותם.

אם המספר אי-זוגי שמים קש אחד.

אם המספר זוגי שמים 2 קשים.

הם עשו זאת במהירות רבה.

לא הצלחתי להבין לאן הם חותרים.

הם חזרו על האקראיות רק במשך 4 פעמים.

לא הצלחתי להבין מאיפה הם קיבלו את 12 הסמלים האחרים.

הם לא הסכימו לגלות לי.

הם אמרו, "לא, לא, אסור לנו לספר לך."

אמרתי, "תוכלו להיות המורים שלי,

ובכל יום אני אבוא ואשלם לכם."

הם אמרו, "זה לא עניין של כסף. זהו עניין דתי."

לבסוף אמרתי מתוך יאוש,

"תנו לי להסביר לכם על גיאורג קנטור ב-1877."

התחלתי להסביר למה הגעתי לאפריקה,

והם מאוד התרגשו כשראו את קבוצת קנטור.

אחד מהם אמר, "בוא הנה. אני חושב שאני יכול לעזור לך."

והוא העביר אותי את טקס החניכה של אנשי הדת של באמאנה.

אני התעניינתי רק במתמטיקה, כמובן.

וכל הזמן, הוא נד בראשו

"אני לא למדתי בדרך הזאת."

אבל הייתי חייב לישון עם אגוז קולה קבור בחול ליד מיטתי,

ולתת 7 מטבעות ל-7 המצורעים וכו'.

לבסוף הוא גילה לי את שורש העניין.

מסתבר שמדובר במחולל מספרים פסיאודו-אקראיים תוך שימוש בכאוס דטרמיניסטי.

כשיש לכם סמל עם 4 ביטים, אתם מוסיפים לו עוד ביט בצד.

זוגי + אי-זוגי --> אי-זוגי.

אי-זוגי + זוגי --> אי-זוגי.

זוגי + זוגי --> זוגי. אי-זוגי + אי-זוגי --> זוגי.

זהו חיבור מודולו 2, בדיוק כמו בדיקת סיבית הזוגיות במחשב.

לאחר מכן לוקחים את הסמל שנוצר ומחזירים אותו.

זהו מחולל עצמי של מגוון סמלים.

הם ממש משתמשים בסוג של כאוס דטרמיניסטי.

מכיוון שמדובר בקוד בינארי

אפשר ליישם אותו בחומרה.

זהו אמצעי לימוד נפלא עבור בי"ס להנדסה באפריקה.

והדבר המעניין ביותר שמצאתי בקשר אליו הוא היסטורי.

במאה ה-12, הוגו סנטליה הביא אותו ממניעים של מיתוסים איסלמיים אל ספרד.

שם הוא נכנס לקהילת האלכימיה כגיאומנסיה -

ניחוש עתידות לפי הקרקע.

זהו שרטוט גיאומנטי משנת 1390 ששורטט עבור המלך ריצ'ארד השני.

לייבניץ, המתמטיקאי הגרמני,

דיבר על גיאומנסיה בחיבורו "דה קומבינטוריה".

הוא אמר, "במקום להשתמש בקש אחד או שניים

נשתמש ב-1 וב-0 ונספור בחזקות של 2."

אחדים ואפסים - זהו הקוד הבינארי.

ג'ורג' בול לקח את הקוד הבינארי של לייבניץ ויצר את האלגברה הבוליאנית.

ג'ון פון נוימן לקח את האלגברה הבוליאנית ויצר את המחשב הדיגיטלי.

כלומר, כל מחשבי כף היד, כל המחשבים הניידים

וכל מעגל דיגיטלי בעולם - התחילו באפריקה.

בריאן אינו אומר שאין מספיק אפריקה במחשבים.

לדעתי, אין מספיק היסטוריה אפריקאית בבריאן אינו.

[מחיאות כפיים]

אסיים בכמה מילים על יישומים שמצאנו.

תוכלו למצוא אותם באתר שלי.

הם חינמיים ורצים בדפדפן.

כל אחד בעולם יכול להשתמש בהם.

התוכנית להרחבת השימוש במחשבים של קרן המדע הלאומית

העניקה לנו לאחרונה מילגה כדי ליצור גירסה ניתנת לתיכנות של כלי התכנון האלה.

בעוד 3 שנים כל אחד יוכל לגשת לאינטרנט

וליצור סימולציות וחפצים כרצונו.

בארה"ב התמקדנו בתלמידים אפריקאים-אמריקאים, ילידים-אמריקאים ולטיניים.

ילדים שהשתמשו בתוכנה גילו שיפור משמעותי סטטיסטית בלימודי המתמטיקה שלהם,

בהשוואה לקבוצת בקרה שלא השתמשה בתוכנה זו.

התוכנה מלמדת בהצלחה רבה ילדים שיש להם מורשת מתמטית,

ולא רק מורשת של שירה וריקודים.

התחלנו תוכנית ניסיונית בגאנה.

קיבלנו מענק גרעין קטן רק כדי לבדוק אם אנשים יסכימו לעבוד איתנו.

אנו מלאי התלהבות מהאפשרויות העתידיות של הפרויקט.

עבדנו גם על תכנון.

שותפי בקניה, קרי, הציג את הרעיון הנפלא

להשתמש במבנים פרקטלים עבור כתובת הדואר בכפרים בעלי מבנה פרקטלי.

אם מנסים לכפות מערכת דואר עם מבנה רשת על כפר פרקטאלי -

היא פשוט לא מתאימה.

ברנרד צ'ומי מאוניברסיטת קולומביה השתמש בפרקטלים בתכנון מוזיאון לאומנות אפריקאית.

דיוויד יוז מאוניברסיטת אוהיו כתב ספר לימוד על ארכיטקטורה אפרוסנטרית,

בו הוא השתמש בכמה מהמבנים הפרקטלים האלה.

ולסיום, ברצוני לציין שארגון-עצמי

נמצא גם במוח.

הוא נמצא במנוע החיפוש של גוגל.

למעשה, גוגל זכה להצלחה רבה כל כך

כי הם הראשונים שניצלו את תכונות הארגון-העצמי של הרשת.

ארגון-עצמי נמצא בקיימות אקולוגית.

הוא נמצא בכוח ההתפתחותי של היזמות,

ובכח האתי של הדמוקרטיה.

הוא נמצא גם בדברים רעים.

ארגון-עצמי הוא הסיבה לכך שהאיידס מתפשט במהירות כה רבה.

ואם אתם חושבים שלקפיטליזם, שגם לו ארגון-עצמי, אין השפעות הרסניות

אז לא התבוננתם מסביב מספיק.

כמו שאמרו מקודם, אנו צריכים לחשוב

על השיטות האפריקאיות המסורתיות לביצוע ארגון-עצמי.

הן מהוות אלגוריתמים חסינים.

אלו דרכים לביצוע ארגון-עצמי ויזמות

שהן עדינות ודוגלות בשוויון זכויות.

אם רוצים למצוא דרך טובה יותר לביצוע דברים כאלה,

אנו צריכים לחפש אותה באפריקה באלגוריתמים החסינים עם הארגון-עצמי האלה.

תודה.