Ron Eglash et les fractales africaines

« Je suis un mathématicien et j'aimerais monter sur votre toit. » Voilà comment Ron Eglash salua plusieurs familles africaines qu'il rencontra pendant ses recherches sur les motifs fractals qu'il avait remarqués dans les villages à travers le continent.

Je veux commencer mon histoire en Allemagne, en 1877,

avec un mathématicien nommé Georg Cantor.

Cantor avait décidé de prendre une ligne, d'en effacer un tiers au milieu,

de prendre les deux lignes restantes et de leur appliquer le même processus, un processus récursif.

Il commence donc avec une ligne, et puis deux,

et puis quatre, et ensuite 16, et ainsi de suite.

Et s'il le fait un nombre infini de fois, ce que l'on peut faire en mathématiques,

il obtient un nombre infini de lignes,

chacune étant constituée d'un nombre infini de points.

Il réalisa donc qu'il était face à un ensemble dont le nombre d'éléments était supérieur à l'infini.

Et ça l'a sidéré à tel point qu'il fut admis en maison de repos. (Rires)

Et quand il en sortit,

il était convaincu qu'il avait été mis sur Terre pour fonder la théorie des ensembles transfinis,

parce que le plus grand ensemble de l'infini serait Dieu lui-même.

C'était un homme très religieux.

C'était un mathématicien avec une mission.

Et d'autres mathématiciens faisaient la même chose.

Un mathématicien suédois, von Koch,

décida qu'au lieu de soustraire des lignes, il les ajouterait.

Il trouva donc cette magnifique courbe.

Il n'y pas de raison particulière qui nous force à commencer par cette forme initiale ;

on peut utiliser la forme initiale que l'on souhaite.

Je vais changer celle-ci, bouger ça par là -- en bas, OK --

et par itération, la forme initiale se déplie en une structure très différente.

Tous ces exemples possèdent la propriété d'autosimilitude :

la sous-partie ressemble à l'ensemble.

C'est le même motif à différentes échelles.

Et donc, les mathématiciens ont trouvé ça très étrange,

parce que quand vous rétrécissez une règle, vous mesurez une longueur de plus en plus grande.

Et comme ils répétaient les itérations un nombre infini de fois,

comme la règle rétrécissait à l'infini, la longueur augmentait à l'infini.

Cela n'avait aucun sens.

ils ont donc relégué ces courbes à la fin des livres de maths.

Ils dirent : « Ce sont des courbes pathologiques, pas la peine d'en discuter. »

(Rires)

Et ça a duré pendant une centaine d'années.

Et puis en 1977, Benoît Mandelbrot, un mathématicien français,

réalisa que si l'on utilise des images de synthèses associées aux formes qu'il appela des fractales

on obtenait les formes de la nature.

On obtient les poumons humains, les acacias, les fougères,

on obtient ces magnifiques formes naturelles.

Si vous regardez là où se rejoignent votre pouce et votre index --

allez-y, faites-le --

-- et que vous détendez la main, vous verrez un pli,

et puis une ride au sein du pli, et un pli au sein d'une ride. C'est vrai, non ?

Votre corps est recouvert de fractales.

Les mathématiciens qui disaient que ces formes étaient pathologiquement inutiles ?

Ils respiraient ces mots avec des poumons fractals.

C'est très ironique. Et je vais vous montrer une petite récursion naturelle.

Encore une fois, on prend ces lignes et on les remplace récursivement par la forme en entier.

Voici la deuxième itération, et la troisième, la quatrième et ainsi de suite.

La nature possède cette structure autosimilaire.

La nature utilise des systèmes qui s'auto-organisent.

Dans les années 80, je me suis aperçu

que si l'on regardait une photo aérienne d'un village africain, on voyait des fractales.

Je me suis dit : « C'est fabuleux ! Je me demande bien pourquoi ? »

Bien sûr il me fallait aller en Afrique et poser la question aux gens.

J'ai donc reçu une bourse Fulbright pour voyager en Afrique pendant un an

demandant aux gens pourquoi ils construisaient des fractales,

ce qui est un super travail si vous l'obtenez.

(Rires)

Je me suis retrouvé dans cette ville, j'avais créé un petit modèle fractal de la ville

juste pour voir un peu comment il se développerait --

quand j'y suis arrivé, je me suis rendu au palais du chef,

et mon français n'est pas très bon ; j'ai dit quelque chose comme :

« Je suis un mathématicien et j'aimerais monter sur votre toit. »

Il a été très sympa, et il m'y a emmené,

et nous avons parlé des fractales.

Il a dit : « Oh oui, bien sûr ! Nous savons ça : un rectangle dans un rectangle,

nous savons tout de ça. »

Il s'avère que l'insigne royal est composé d'un rectangle dans un rectangle dans un rectangle,

et le chemin à travers le palais est en fait cette spirale ici.

Et quand vous empruntez ce chemin, vous devez être de plus en plus poli.

Ils reportent donc l'échelle sociale à l'échelle géométrique ;

c'est un motif conscient. Ce n'est pas inconscient comme les fractales d'une termitière.

Voici un village au sud de la Zambie.

Les Ba-Ilas ont construit ce village d'environ 400 mètres de diamètre.

C'est un immense cercle.

Les cercles, qui représentent les enceintes familiales, s'agrandissent à mesure que vous avancez vers le fond,

et puis vous avez le cercle du chef à l'arrière

et la famille proche du chef dans ce cercle.

En voici un petit modèle fractal.

Voici une maison avec l'autel sacré,

et là, la maison des maisons, l'enceinte familiale,

avec ici les humains où se trouverait l'autel sacré,

et puis voilà le village en entier --

un cercle de cercles de cercles avec ici la famille élargie du chef, et là sa famille proche,

et il y a ici un tout petit village, petit comme ça.

On pourrait se demander : « Comment des gens peuvent-ils rentrer dans un village si petit ? »

C'est parce que ce sont les esprits. Ce sont les ancêtres.

Et bien sûr les esprits ont un village miniature dans leur village, vous comprenez ?

C'est donc comme Georg Cantor l'avait dit, la récursion continue à jamais.

Ça c'est dans les monts Mandara, à Mokoulek au Cameroun près de la frontière avec le Nigeria.

J'ai vu ce schéma d'un architecte français,

et je me suis dit : « Waouh ! Quelle belle fractale ! »

J'ai donc essayé de trouver la forme initiale, dont la transformation, par itération, aboutirait à ça.

J'ai trouvé cette structure-ci.

Voyons voir, première itération, deuxième, troisième, quatrième.

Après avoir fait cette simulation,

j'ai réalisé que tout le village suit un tracé en spirale, comme ça,

et voici cette ligne qui se réplique -- une ligne qui s'autoréplique et se transforme en fractale.

J'avais remarqué que cette ligne était à l'endroit où se trouvait le seul bâtiment carré du village.

Donc, quand je suis arrivé au village,

j'ai demandé : « Pouvez-vous me montrer le bâtiment carré ?

Je pense qu'il y a quelque chose d'intéressant. »

Et ils répondirent : « On veut bien vous le montrer, mais vous ne pourrez pas y entrer

parce que c'est l'autel sacré, où nous faisons des sacrifices chaque année

pour entretenir les cycles annuels de fertilité de nos champs. »

Et je me suis rendu compte que les cycles de fertilité

étaient comme les cycles récursifs de l'algorithme géométrique qui construit tout ça.

La récursion dans certains de ces villages continue jusqu'à de très petites échelles.

Voici un village nankani au Mali.

Comme vous pouvez le voir, on entre dans l'enceinte familiale --

on y entre et il y a des récipients dans l'âtre, empilés récursivement.

Voici les calebasses qu'Issa nous montrait,

et elles sont empilées récursivement.

La plus petite calebasse est là pour conserver l'âme de la femme.

Et quand elle meurt, ils organisent une cérémonie

où ils cassent la pile appelée le zalanga et son âme s'envole vers l'éternité.

Encore une fois, l'infini est important.

On peut se poser trois questions maintenant.

Ces motifs fractals ne sont-ils pas communs à toutes les architectures indigènes ?

En fait c'était mon hypothèse à l'origine.

Quand j'ai vu ces fractales africaines pour la première fois,

j'ai pensé : « Waouh, donc n'importe quel groupe indigène sans société étatique,

ce type de hiérarchie, doit posséder une sorte d'architecture du bas vers le haut. »

Mais il s'avère que ce n'est pas vrai.

J'ai commencé à collectionner des photos aériennes de l'architecture amérindienne et de celle du Pacifique Sud ;

seules les architectures africaines sont fractales.

Et si vous y pensez, toutes ces différentes sociétés utilisent des thèmes de conception géométriques différents.

Les Amérindiens utilisent une combinaison de symétrie circulaire et de quadruple symétrie.

On peut voir ça sur les poteries et les paniers.

Voici une photo aérienne d'une des ruines anasazies ;

on peut voir qu'elles sont circulaires à grande échelle, mais rectangulaires à petite échelle, vous voyez ?

Ce n'est pas le même motif à deux échelles différentes.

Deuxièmement, vous pourriez demander :

« Eh bien, Dr Eglash, n'êtes pas vous en train d'ignorer la diversité des cultures africaines ? »

Et trois fois, la réponse est non.

Pour commencer, je suis d'accord avec le magnifique livre de Mudimbe, « L'invention de l'Afrique, »

qui dit que l'Afrique est une invention premièrement du colonialisme,

et deuxièmement des mouvements d'opposition.

Non, parce qu'un style largement répandu ne donne pas nécessairement une unité culturelle --

et ce n'est certainement pas dans l'ADN.

Et enfin, les fractales sont autosimilaires --

elle sont donc similaires à elles-mêmes, mais ne sont pas forcément similaires aux autres --

on remarque des utilisations très différentes des fractales.

C'est une technologie partagée en Afrique.

Et enfin, eh bien, n'est-ce pas simplement de l'intuition ?

Ce n'est pas vraiment un savoir mathématique.

Les Africains ne peuvent tout de même pas utiliser la géométrie fractale, non ?

Elle n'a pas été inventée avant les années 70.

Eh bien, c'est vrai que certaines fractales africaines sont à mon avis purement de l'intuition.

Par exemple, je me promènerais dans les rues de Dakar

en demandant : « Quel est l'algorithme ? Quelle est la règle pour faire ça ? »

et ils répondraient :

« Eh bien, nous faisons comme ça parce que c'est joli, bêta. » (Rires)

Mais parfois, ce n'est pas le cas.

Dans certains cas, il y avait de vrais algorithmes, et même de très sophistiqués.

Dans cette sculpture mangbetu, vous verriez cette géométrie récursive.

Dans les croix éthiopiennes, on voit ce merveilleux déploiement de la forme.

En Angola, le peuple Tchokwé dessine des lignes dans le sable,

et c'est ce que le mathématicien allemand Euler a appelé un graphe ;

nous appelons ça un chemin eulérien --

il ne faut jamais lever son crayon de la surface

et il ne faut pas repasser sur une même ligne.

Mais ils le font récursivement, et ils le font avec un système basé sur l'âge,

les petits enfants apprennent celui-ci, et les plus grands celui-là,

à l'initiation suivante, on apprend ce nouveau dessin.

A chaque itération de cet algorithme,

on apprend les itérations du mythe.

On apprend le niveau supérieur de savoir.

Et enfin, partout en Afrique, on voit ce jeu de plateau.

On l'appelle awélé au Ghana, où je l'ai étudié ;

on l'appelle mancala ici sur la côte est, bao au Kenya, sogo ailleurs.

On voit apparaître spontanément des motifs auto-organisés dans ce jeu.

Les gens au Ghana connaissent ces motifs auto-organisés

et les utilisent de façon stratégique.

C'est un savoir très conscient.

Voici une merveilleuse fractale.

Partout au Sahel, vous verrez ce brise-vent.

Et bien sûr les clôtures à travers le monde sont toutes cartésiennes, toutes strictement linéaires.

Mais ici en Afrique, il y a ces clôtures aux proportions non linéaires.

J'ai trouvé une des personnes qui les fabriquent,

un gars au Mali près de Bamako, et je lui ai demandé :

« Comment se fait-il que vous fabriquiez des clôtures fractales ? Personne d'autre ne le fait. »

Et sa réponse fut très intéressante.

« Eh bien, si je vivais dans la jungle, je n'utiliserais que de longues rangées de paille,

parce qu'elles sont rapides à faire et très peu coûteuses.

Ça ne prend pas beaucoup de temps, pas beaucoup de paille. »

Il enchaîna : « Mais le vent et la poussière y passent très facilement.

Les rangées serrées tout en haut retiennent vraiment le vent et la poussière.

Mais ça prend beaucoup de temps et de paille, puisqu'elles sont très serrées. »

Il poursuivit : « Nous savons par expérience

que plus on s'éloigne du sol, plus le vent souffle fort. »

Vous voyez ? C'est tout comme une analyse coût-bénéfice.

Et j'ai mesuré les longueurs de paille,

je les ai retranscrites sur un graphique logarithmique, j'ai trouvé l'exposant,

et il correspond presque exactement à l'exposant de la relation entre la vitesse du vent et la hauteur

dans le manuel d'ingénierie du vent.

Ces gens sont dans le mille pour l'utilisation concrète d'une technologie fractale.

L'exemple le plus complexe d'une approche algorithmique que j'ai trouvé

n'était en fait pas en géométrie, c'était dans un code symbolique,

c'était la divination bamana par le sable.

On retrouve le même système de divination partout en Afrique.

On le trouve aussi bien sur la côte est que la côte ouest,

et les symboles sont souvent très bien conservés,

chacun de ces symboles a quatre bits -- c'est un mot binaire à quatre bits --

on dessine aléatoirement ces lignes dans le sable, et ensuite on les compte,

si le nombre est impair, on fait une marque,

et s'il est pair, on en fait deux,

Et ils le faisaient très rapidement,

et je ne comprenais pas ce qu'ils voulaient en faire --

ils ne dessinaient les lignes aléatoires que quatre fois --

Je ne comprenais pas comment ils obtenaient les 12 autres symboles.

Et ils ne voulaient pas me le dire.

« Non, non. Je ne peux pas vous en parler », disaient-ils.

Et moi de répondre : « Bon, je vous paierai, vous serez mon professeur,

et je viendrai chaque jour et je vous paierai. »

« Ce n'est pas une histoire d'argent. C'est une histoire de religion », disaient-ils.

Et finalement, désespéré, j'ai dit :

« Laissez-moi vous expliquer Georg Cantor en 1877. »

Et j'ai commencé à leur expliquer pourquoi j'étais en Afrique,

et ils devinrent très excités quand ils virent l'ensemble de Cantor.

L'un d'eux a dit : « Venez. Je pense que je peux vous aider. »

Et donc il me fit passer le rituel initiatique des prêtres bamanas.

Mais évidemment, je n'étais intéressé que par les maths,

donc pendant tout le processus, il secouait la tête en disant :

« Vous savez, je ne l'ai pas appris comme ça. »

J'avais à dormir avec une noix de kola, enterrée dans le sable, près de mon lit,

et à donner sept pièces à sept lépreux et ainsi de suite.

Et finalement, il me dévoila le fond de la chose.

Il s'avère que c'est un générateur de nombres pseudo-aléatoires utilisant le chaos déterministe.

Quand on a un symbole à quatre bits, on l'associe à un autre à côté.

Donc pair plus impair donne impair.

Impair plus pair donne impair.

Pair plus pair donne pair. Impair plus impair donne pair.

C'est l'addition modulo 2, comme le contrôle de bit de parité dans votre ordinateur.

Ensuite on prend ce symbole, et on le remet en jeu

c'est donc une diversité autogénératrice de symboles.

Ils utilisent vraiment une sorte de chaos déterministe pour le faire.

Comme c'est un code binaire,

on peut en faire un circuit électronique --

ce serait un fantastique outil d'apprentissage dans les écoles africaines d'ingénieurs.

Et la chose la plus intéressante que j'ai trouvée à ce propos est historique.

Au XIIe siècle, Hugo Santalia l'a introduite en Espagne après avoir vu des mystiques musulmans.

Et elle a fait son entrée chez les alchimistes sous le nom de géomancie :

la divination par la terre.

Voici un tableau de géomancien dessiné pour le roi Richard II en 1390.

Leibniz, le mathématicien allemand,

parle de la géomancie dans sa dissertation appelée « De Combinatoria. »

Et il dit : « Au lieu d'utiliser une marque et deux marques,

utilisons plutôt un un et un zéro, et nous pouvons compter par puissances de deux. »

Vous voyez ? Des uns et des zéros, le code binaire.

George Boole a pris le code binaire de Leibniz et a créé l'algèbre booléen,

et John von Neumann a pris l'algèbre booléen et a créé l'ordinateur numérique.

Et ainsi tous ces PDA et ces ordinateurs portables --

chaque circuit électronique au monde -- a ses racines en Afrique.

Et je sais que Brian Eno dit qu'il n'y a pas assez d'Afrique dans les ordinateurs ;

moi je pense qu'il n'y a pas assez d'histoire de l'Afrique chez Brian Eno.

(Applaudissements)

Laissez-moi finir par quelques mots à propos des applications que nous avons trouvées.

Vous pouvez visiter notre site web,

les applets sont gratuites ; elles marchent dans votre navigateur internet.

Tout le monde peut les utiliser.

Le programme de développement de la participation en informatique de la National Science Foundation

nous a récemment offert un financement pour créer une version programmable de ces outils de conception,

avec un peu de chance dans trois ans, tout le monde pourra aller sur le web

et créer ses propres simulations et ses propres artéfacts.

Nous nous sommes concentrés aux USA sur les étudiants afro-américains, amérindiens et latinos.

Nous avons trouvé une amélioration statistiquement significative chez les enfants utilisant ce logiciel en classe de maths

comparés à un groupe de contrôle n'utilisant pas le logiciel.

Ça marche très bien pour montrer aux enfants qu'ils ont un héritage basé sur les mathématiques,

et pas seulement sur le chant ou la danse.

Nous avons débuté un programme pilote au Ghana,

nous avons obtenu un financement initial, juste pour voir si les gens accepteraient de travailler avec nous sur ce projet ;

nous sommes très excités par les possibilités à venir.

Nous travaillons aussi dans le design.

Je n'ai pas mis son nom ici -- mon collègue, Kerry, au Kenya, a eu cette merveilleuse idée

d'utiliser une structure fractale pour les adresses postales dans les villages ayant une structure fractale,

parce que si vous essayez d'imposer un système postal en grille à un village fractal,

ça ne marche pas très bien.

Bernard Tschumi de l'université de Columbia vient d'utiliser ça pour un dessin pour un musée d'art africain.

David Hughes de l'université de l'état de l'Ohio a écrit un manuel sur l'architecture afrocentrique

dans lequel il utilise certaines de ces structures fractales.

Pour conclure, je tiens à signaler que cette idée d'auto-organisation,

comme nous l'avons entendu avant, est dans le cerveau.

Elle est dans le moteur de recherche de Google.

En fait, la raison du succès de Google

vient du fait qu'ils ont été les premiers à utiliser les propriétés d'auto-organisation du web.

On retrouve cette notion dans la durabilité écologique.

Elle est dans la puissance de développement de l'entrepreneuriat,

dans la puissance éthique de la démocratie.

Elle est aussi dans certaines mauvaises choses.

L'auto-organisation est la raison pour laquelle le virus du SIDA se propage si rapidement.

Et si vous ne pensez pas que le capitalisme, qui s'auto-organise, peut avoir des effets destructeurs,

vous n'ouvrez pas assez grand les yeux.

Il nous faut réfléchir, comme ça a été dit avant,

sur les méthodes africaines traditionnelles d'auto-organisation.

Ce sont des algorithmes robustes.

C'est une façon d'utiliser l'auto-organisation -- de faire de l'entrepreneuriat --

de façon douce, de façon égalitaire.

Si nous voulons trouver un meilleur moyen de faire ce genre de choses,

il ne nous faut pas regarder plus loin que l'Afrique pour trouver ces algorithmes robustes d'auto-organisation.

Merci.