Visualizing Taylor Series Approximations

Çoxhədlilərin funksiyaların

təqribi qiymətinin tapılmasında istifadə
olunduğundan bəhs etmişdik,

bu videoda isə yuvarlaqlaşmanın həqiqətən
baş verdiyini

göstərəcəyik.

Bunun üçün WolframAlpha
istifadə edirəm.

Bu, yararlı vebsaytdır.

Hər hansı riyazi əməli
bu saytda edə bilərsiniz.

Bunu da WolframAlpha.com-dan
kopyalamışam.

Bu saytı gələn

videolarda da

istifadə edəcəyik.

Bu,

çox faydalıdır,

çünki bir çox şeyi

hətta

qrafikləri

özümüz hesablayırdıq.

Amma

bunları sadəcə WolframAlpha istifadə edərək
edə bilərik.

sin(x)-i

Makloren və ya

x bərabərdir 0 olduqda Teylor sırası
adlandırdığımız

ifadə ilə təqribi hesablaya
bilirik.

Nə qədər çox hədd əlavə etsək,

sinus əyrisinə yığılır.

Bu narıncı əyri
sin(x)-dir.

Bu, sizə kifayət qədər
tanışdır.

Əvvəlki videoda,

sin(x) üçün Makloren sırasının
nə olduğunu öyrəndik.

Həmçinin WolframAlpha da bunu

faktorialları hesablayaraq bizim
üçün edə bilir.

3 faktorial 6-dır, 5 faktorial 120-dir
və bu şəkildə davam edir.

Burada maraqlı olan isə odur ki,

neçə dənə həddi

qrafikləşdirmək istədiyimizi seçə bilirik.

Əgər sadəcə 1 hədd

ilə etmiş olsaydıq,

bütün bu ifadəni götürməsəydik,

çoxhədlimiz sadəcə x-ə
bərabər olsaydı,

necə görünərdi?

Bu, bu qrafik olacaq.

Qrafikin üstündəki nöqtələr

neçə həddən istifadə

etdiyimizi göstərir.

Bu, P(x) x-ə
bərabərdir.

Bu, təxmini hesablamadır

və sin(x) qrafiki ilə

burada yığılır.

Daha sonra yenidən
sinus əyrisindən uzaqlaşır.

Başqa bir hədd də əlavə edirik.

Əgər x çıx x-in kubu böl 6-mız varsa,

deməli ifadəmizdə 2 hədd var.

Biz üçüncü dərəcəli həddəyik,

çünki nöqtələrlə nömrələmə
belə göstərir.

Burada hədlərin nömrəsinə yox,

qüvvətinə diqqət yetiririk.

Burada 1 nöqtəmiz var, çünki

bu hədd 1-ci dərəcəlidir.

sin(x)-in açılışında

2-ci dərəcədə hədd

yoxdur.

İndi 3-cü dərəcədən çoxhədlimiz
var.

Gəlin buna baxaq.

3 nöqtəni axtamalıyıq.

Əyrimiz buradadır.

Sadəcə 1-ci həddimiz olanda,

düz xətt əldə edirik.

x-in üstü 3 böl 6-nı
əlavə etdikdən sonra,

belə bir əyri əldə etdik.

Bu, sin(x) əyrisinə
daha tez yığılır

ancaq bu, biraz daha sonra.

İkinci həddi əlavə etməklə

yaxşı davam edirik.

Daha kiçik ədədlərə diqqət
yetirəndə,

bu, sinus əyrisinə daha çox
yığılır.

Başqa bir hədd əlavə edirik.

İndi biz 5-ci dərəcədən
çoxhədlidəyik.

x çıx x-in üstü 3 böl 6
üstəgəl x-in üstü 5 böl 120.

5 nöqtəyə nəzər yetirək.

Bu,

1, 2, 3, 4, 5,

buradakı əyridir.

Bu, xəttə digərindən daha tez yığılır

və daha uzun müddət

onunla birlikdə uzanır.

Sonra bu şəkildə geri fırlanır.

Daha uzun davam etdi.

Davam edirik.

Əgər ilk 4 həddi götürsək,

7-ci dərəcədən çoxhədlimiz olur.

7 nöqtəni axtaraq.

O, buradadır.

Eyni şəkildə, bu da əyri ilə
ilk 3 həddən

daha tez yığılır.

Bu, buraya qədər xətlə
birgə uzanmağa davam edir.

Sonuncuya keçək.

9-cu dərəcədən çoxhədli,

daha artığını edir.

Buradan başlayır.

Əyri ilə daha uzun

yığılır və sonra ayrılır.

Bu haqda düşünsək
məntiqli olduğunu anlayacağıq,

çünki ifadəyə əlavə etdiyimiz hər həddin

dərəcəsi digərindən artıqdır və

belə davam edir.

x üçün,

koordinat başlanğıcına yaxınlaşdıqda,
x-in kiçik qiymətləri üçün

məxrəc surətdən çox böyük olar,

əsasən də x-in 1-dən
kiçik qiymmətində.

1-dən kiçik qiymətə malik olan

dəyəri qüvvətə yüksəltmək

onun qiymətini aşağı salır.

Koordinat başlanğıcına yaxınlaşdıqda

bu hədlər çox da əhəmiyyət kəsb etmir.

Yəni əvvəlki hədlərin

təxmini ölçümünü itirmiş olmuruq.

Bu hədlər

məxrəc surətdən çox artıq olduqda

seçilir.

Son hədd burada ortaya çıxır,

362880 x-in üstü 9-u üstələyir.

Eyni şey mənfi tərəf
üçün də keçərlidir.

Ümid edirəm aydındır.

Burada 5 həddimiz var.

Sonsuz sayda həddimiz olsaydı

nə olacağını düşünün.

Belə olsaydı, sin(x) əyrisinə

daha çox yığılardı.

Ümid edirəm ki,
biraz daha aydındır

Siz WolframAlpha.com-da

sin(x) 0 olduqda Teylor sırası və ya

sin(x), cos(x), e-nin üstü x üçün

Makloren sırası yazıb

fərqli misalları yoxlaya bilərsiniz.

Bu zaman baş verənləri

daha yaxşı müşahidə edə,

əyrinin vəziyyətini izləyə bilərsiniz.