İntegralle Hacim Bulma (5. Bölüm)

Kabuk yöntemi kullanarak y ekseni etrafında döndürmek

-

x ekseni etrafında döndürme üzerine çok örnek yaptık. Şimdi, y ekseni etrafında döndürmeye başlayalım.

-

-

Eksenleri çizeyim.

Burası y ekseni.

Bu da x ekseni.

-

Bir örnek üzerinden anlatayım. Ama, genel bir fonksiyon olarak da ifade edebiliriz.

-

y eşittir x kareyi çizeyim.

-

Sırf pozitif x'li kısmı çizeyim. Çünkü, y ekseni etrafında döndüreceğim ve zaten, grafik simetrik.

-

İşte, y eşittir x kare.

Bu y ekseni.

Bu x ekseni.

Fonksiyonu genel tutup, sonra örnek yapmaya karar verdim.

-

f x diyelim, örnekte ise, y eşittir x kare.

-

f x burada.

x ekseni etrafında döndürdüğümüz zaman oluşan hacmi nasıl bulacağımızı biiyoruz.

-

Şimdi, y eşittir 0 ile - ne kadar genel tutacağımıza karar vermeye çalışıyorum- 1 arasında

-

-

Sanıyorum, integralin limitleri size mantıklı gelecek.

Şimdi bu alanı y ekseni etrafında döndürüyorum.

-

Sonuçtaki cismimiz neye benzeyecek?

-

-

Tabanı silindir gibi bir şeye benzeyecek.

-

-

-

Kenardaki ayrıtları çizeyim.

Şöyle bir şeye benzeyecek.

-

Tepesi de buna benzeyecek.

Tam silindir olmayacak, öyle değil mi?

Tüm bu bloğu döndürseydik, silindir olurdu.

Ama, içi biraz oyulmuş gibi görünecek.

Bakalım bunu çizebilecek miyim?

Bunu farklı bir renkte çizeyim.

İçi oyulmuş gibi olacak.

-

Bunu anlayıp anlamadığınızdan emin değilim.

İçi bir kase gibi.

Dışı da bir silindir gibi.

Umarım anlamışsınızdır.

Bunu alıp çeviriyorsunuz.

İçteki eğri y eşittir x kare olacak.

-

Tamamen döndürebilirsiniz.

Sanırım, bu mantıklı.

İşin en zor kısmı çizmek.

Şimdi bunu nasıl buluyoruz?

Şekil de size bir fikir verebilir.

Disk yöntemini kullanamayız. Daha önce x ekseni etrafında döndürürken disk yöntemini kullanıyorduk, bu diskleri topluyorduk.

-

-

-

Şimdi kabuk yöntemi olarak adlandırılan bir yöntem kullanacağız.

Kabuk yöntemi nedir?

Disklerin hacim toplamı yerine kabuklar bulacağız.

-

Peki, kabuk nedir?

Şurada bir dikdörtgen düşünün.

Şöyle.

x 1 noktasında.

Boyu ne olacak?

Boyu f x 1 olacak.

-

Boyu bu.

Şimdi bu dikdörtgeni y ekseni etrafında döndürüyoruz.

-

Bu neye benzeyecek?

Bir kabuğa benzeyecek, silindirin dışına benzeyecek.

-

Bu çizdiğime benzeyecek, daha güzel çizmek istiyorum, çünkü anlamak doğru cevabı bulmaktan daha önemli.

-

-

Bakalım bunu doğru düzgün çizebilecek miyim?

Kabuğun altı şöyle görünecek.

-

Bu doğruları çizmeyi bitireyim.

Sanıyorum anladınız.

Tamam.

Yani kabuk şöyle görünecek.

-

Kabuğun dışı şöyle katı olacak.

-

Eni olacak, ama içi boş olacak.

-

-

-

Aslında bir halkaya benziyor.

Bu halkanın yüksekliği nedir?

f x 1'dir.

Daha parlak bir renkle göstereyim.

Halkaın yüksekliği, f x 1.

Seçtiğimiz noktadaki f x değeri.

Peki, halkanın yüzey alanı ne olacak?

Şu dış kısım.

Şimdi düşünelim.

Halkanın çevresi çarpı yüksekliği olacak.

Halkanın çevresi nedir?

-

Temel geometri bilgimizi kullanalım.

Çevre eşittir 2 Pi çarpı yarıçap.

Yarıçapı biliyorsak, çevreyi de buluruz.

Yarıçap nedir?

Yarıçap, döndürme ekseninden bu noktaya olan uzaklık.

-

Yani yarıçap bu.

-

Bu örnekte yarıçap x 1.

-

Değer bulduğumuz noktadaki x değeri.

Çevre ise, 2 Pi çarpı o noktanın x değeri.

-

Yüzey alanı ise, çevre çarpı bu yükseklik. Yükseklik için, f x 1 demiştik.

-

-

-

Yüzey alanı diyelim.

Yüzey alanı eşittir çevre çarpı yükseklik, yani 2 Pi x 1 çarpı f x 1.

-

Bunun yüzey alanını bulmuş olduk

Şimdi hacmi nasıl buluruz?

-

Bunun eni nedir?

Bu halkanın kalınlığı nedir?

Bu kalınlık nedir?

Çok küçük bir kalınlık.

Bu parçanın eni d x'tir. İntegrali aldığımızda ise, en gittikçe küçülecek ve sonsuz adet parça olacak.

-

-

-

-

Yani bunun eni d x.

-

Bu parçanın eni d x.

Yüksekliği ise f x 1.

x 1 tam ortada olacak.

Merkeze olan uzaklık ise, x 1.

Umarım anlamışsınızdır.

Bu kabuğun hacmi nedir?

Kabuğun hacmi eşittir, kabuğun yüzey alanı çarpı yüzeyin genişliği.

-

-

Bu genişlik d x, yani bu çarpı d x'e eşit.

Kabuğun hacmi eşittir 2 Pi x 1 çarpı f x 1 d x.

-

Sanırım nereye varmak istediğimi anlamışsınızdır.

Bu cismin hacmi nedir?

-

Bu kabukları toplayacağım.

Burada bir kabuk, şurada daha az yüksek bir kabuk var. Burada da daha büyük bir kabuk bulunuyor. Ve bunları topluyorum.

-

-

Burada bir kabuk, şurada da bir kabuk var ve bunların hepsini topluyorum.

-

Bu da integral almak demek.

Size x 1 diye bahsetmiştim, ama aslında tüm x'ler için toplam alacağız. Bu eğriyi y ekseni etrafında çevirdiğimizde oluşan hacim eşittir 0'dan 1'e 2 Pi x f x d x'in integrali.

-

-

-

-

Bu bir sabit, onun için 2 Pi'yi dışarı alabiliriz.

-

Şimdi bir örnek yapalım.

-

Fonksiyona x kare diyelim.

Bu durumda hacim eşittir - 2 Pi'yi dışarı alalım- 2 Pi çarpı 0'dan 1'e x çarpı f x d x'in integrali. Bizim f x'imiz x kareydi.

-

-

Bu x küp, öyle değil mi?

x küp.

Yani 2 Pi çarpı x küpün terstürevi.

-

Bu da x üzeri 4 bölü 4'e eşit.

-

1'deki değeri eksi 0'daki değeri.

2 Pi çarpı 1 üzeri 4 eşittir 1, yani 1 bölü 4 eksi 0.

-

2 Pi çarpı 1 bölü 4.

Pi bölü 2.

-

y ekseni etrafında döndürdüğümüzde bu hacmi elde ediyoruz.

Bir sonraki videoda görüşürüz.

-