Keha pöörlemine (5.osa)

Use the "shell method" to rotate about the y-axis

Me oleme teinud palju pöörlemist ümber X-telje, seega

alustame nüüd Y-teljega ja vaatame, mis teha annab.

Või vähemalt üritame.

Ma joonsitan teljed.

See on Y-telg.

See on X-telg.

Alustame näitega, kutsume seda F kohal

X-ks, sest on üldine.

Joonistame Y=Xruuduga.

Ma joonistan positiivi, sest me pöörame

seda ümber Y-telje ja see on sümmeetriline nii kui nii, seega

see on Y=Xruudus.

See on Y-telg.

See on X-telg.

Tegelikult hoian ma seda üldisena, me

lahendame selle eriliselt.

Nimetame selle F(X)-ks, aga see on

Y=Xruudus.

See on F(X).

Ja me teame kuidas leida ruumala, kui me pööraksime

seda ümber X-telje.

Aga mida ma tahan öelda - me võiksime kutsuda seda pindalaks

0-i ja - ma proovin kindlaks teha, kui üldine olla.

Ütleme lihtsalt 0 ja 1 vahel.

Ma arvan, et piirid on teile arusaadavad.

Ligikaudu see piirkond, ja ma pööran seda

nüüd ümber Y-telje.

Milline näeks välja viimane figuur?

Selle põhi - ma vaatan kui hästi ma oskan seda joonistada.

Eip, seda ma teha ei tahtnud.

Põhi näeb välja nagu

silinder, selline.

Ja selle ülaosa oleks ka umbes - ei, see

ei ole mida ma teha tahtsin.

Ma joonistan küljejooned.

See näeks välja midagi sellist.

Ja selle ülaosa näkes välja selline.

Aga see ei ole silinder?

Kui ma oleks teinud terve selle osa, siis oleks ta olnud silinder.

Aga selle sisemine osa on õõnes.

Vaatame kui hea ma olen selle joonistamises.

Ma teen selle teise värviga.

Seest on see õõnes.

Ma ei tea, kas see on teile arusaadav, et

see on nagu sisemine osa, nagu kauss.

Väljast poolt on see nagu silinder või purk.

Loodetavasti on see mõistetav.

Te võtate selle ja pöörate ringi-ratast.

Ja see kaar, mis täpsustab sisemust, oleks Y=

Xruudus.

See teeks terve ringi peale.

Ma arvan, et see on mõistetav.

Joonistamine on kõige raskem osa.

Kuidas me seda teeme?

Isegi kuju võib teile mingi aimduse anda.

Me ei saa kasutada ketta meetodit, mida me varem kasutasime

X-telje korral, see oli ketta meetod,

sest me kujutasime ette palju väikseid

kettaid ja liitsime need kokku.

Nüüd me teeme midagi, mida kutsutake kihtide meetod.

Mis on kihi meetod?

Ruumala leidmisel paljude ketaste asemel

kasutame palju kihte.

Mis on kiht?

Kujutage ette ristkülikut siin.

Mõelge, et te näete seda siin.

Ütleme, et see on punkti X1 juures.

Milline oleks selle kõrgus?

Selle kõrgus oleks F(X1).

See on kõrgus.

Nüüd kujutage ette selle pööramist

ümber Y-telje.

Milline see välja näeks?

See näeks välja nagu üks kiht, nagu

silinder, silindri väline osa.

See ei näe sellest väga erinev välja, aga ma tahan

seda joonistada hästi, sest intuitsioon on kõige tähtsam

osa, mitte ülesande lahenduse saamine.

Ma proovin seda korralikumalt joonistada.

Ja siis meil on kesta põhi, see

näeb välja midagi sellist.

Ma lõpetan ka need jooned ära.

Ma usun, et te saate aru.

Okei.

Seega see näeb välja nagu selline kest.

Kesta välimine osa on tahke.

Ja sellel on natuke paksust, aga sisemine osa on õõnes.

Ma teen selle teise värviga.

Võibolla tumedam värv, et näidata siemust.

Te teate, et see on olemuselt nagu sõrmus.

Mis on selle sõrmuse kõrgus?

Kõrgus on F(X1).

Ma teen heledama värvi, et te saaksite aru.

Sõrmuse kõrgus on f(X1).

F(X) arvutatud ise valitud koha juurest.

Mis oleks selle sõrmuse väliskihi pindala?

Noh, välispindala?

Mõtleme selle üle.

See oleks selle sõrmuse ümbermõõt korda kõrgus.

Mis on selle sõrmuse ümbermõõt?

Lähme tagasi põhigeomeetria juurde.

Ümbermõõt=2pii korda raadius.

Kui me teame selle raadius, teame ka ümbermõõtu.

Mis on selle raadius?

Raadius on kui kaugele me läksime pöörlemisel

teljest selles punktis.

Seega see on raadius.

Seega meie näites on raadius X1.

See on see punkt, millega me seda arvutame.

Ümbermõõt oleks 2pii korda see punkt

mille me võtsime.

Ja pindala - see punakas asi mille ma täitsin

- see oleks võrdne ümbermõõt korda see

kõrgus, mis on meil F(X1).

Kutsume seda välimiseks pindalaks.

Välispindala = ümbermõõt korda kõrgus,

mis on võrdne 2pii(X1) korda F(X1).

Me leidsime selle pindala.

Kuidas me leiame ruumala?

Noh, mis on selle paksus?

Kui jäme on see sõrmus?

Mis on selle jämedus siin?

See on väga õhuke.

Aga kui me vaatame seda osa, siis teame seda

eelmistest arvutustest, et selle ristküliku laius on DX.

Ja te teate, kui me võtame integraali, läheb see

lõpmatult väikseks ja neid tuled

lõpmatult rohkem juurde.

Seeda selle laius on DX.

Ma joonistan selle suurelt, mitte nii koleda.

Kui see on üks osa, oleks selle laius DX.

Selle kõrgus on F(X1).

X1 oleks täpselt keskel.

Ja siis selle kaugus keskkohast on X1.

Ma looda, et see on arusaadav.

Mis on selle kesta ruumala?

Selle kesta ruumala - see kest, mitte see -

kesta ruumala on võrdne välispindala

korda kui lai see pind on.

Ja see laius on DX, see võrdub see korda DX.

Seega kesta ruumala on 2pii(X1) korda

F(X1) korda DX.

Ma usun, et te saate aru kuhu ma sellega jõuan.

See oleks terve pööratud keha ruumala,

see asi siin?

Ma liidan kokku kõik need kihid.

mul on üks kiht siin, siis mul on natuke vähem

kõrgem kiht, ja siin üleval on palju suurem kiht.

Siis ma liidan nad kokku.

Siin on üks kiht, mis läheb ringi.

Siin on veel üks kiht, ja ma liidan nad kokku.

Ja see on integraali võtmine.

Seega terve figuuri ruumala, kui seda ümber Y-telje

pöörata oleks - piirid 0-st 1-ni -

2pii - see X1, aga me

liidame need kokku kõikide X-de korral.

Seega see oleks 2pii(X)F(X)DX.

see on lihtsalt konstank, kui me saaks seda kutsuda

2pii korda X F(X).

Võtame täpse näite.

Teeme seda Xruuduga.

Ütleme, et funktsioon on X ruudus.

Siinkohal oleks ruumala võrdne - võtame

2pii välja - 2üii integraal 0-st 1-ni korda F(X) - F(X) sellel korral

on X ruudus, mis ma ennist joonistasin - DX=2pii.

See on lihtsalt X^3.

X^3.

Seega see oleks 2pii korda algfunktsioon

X^3-st.

See on (X^4)/4.

Arvutame väärtuse 1 juures miinus väärtus 0 juures.

See on võrdne 2pii korda 1^4 on 1, seega

1/4 miinus 0.

See on 2pii korda 1/4.

See on pii/2.

See on ruumala ja me pöörasime seda ümber Y-telje.

Näeme järgmises videos.