Równania kwadratowe część 2

2 more examples of solving equations using the quadratic equation

Zapraszam do drugiej części dyskusji

równania kwadratowego.

Szczerze mówiąc, obawiam się że trochę zamąciłem Wam w głowach ostatnim razem

więc spróbujmy zrobić teraz po prostu

dwa przykłady.

Zacznijmy od przypomnienia, co to jest

równanie kwadratowe.

Równanie kwadratowe polega na tym, że chcę rozwiązać

równanie A razy x kwadrat plus B razy x plus C równa się zero,

a rozwiązanie, a właściwie rozwiązania, bo na ogół są dwa

punkty, w których wykres tej funkcji przecina oś x, te dwa rozwiązania

tego równania mają postać x równa się minus B plus lub minus pierwiastek kwadratowy

z B do kwadratu minus 4 razy A razy C.

I to wszystko trzeba podzielić przez 2 razy A.

Zróbmy jakiś przykład i mam nadzieję, że to wszystko

się wyjaśni.

Tu na dole jest 2.

Powiedzmy, że mamy równanie minus 9 x kwadrat minus

9 x plus 6 równa się 0.

Ile wynosi A w tym przypadku?

A jest współczynnikiem przy wyrazie x do kwadratu.

x do kwadratu jest tutaj, a współczynnik równa się -9.

Zapiszmy to.

A równa się -9.

Ile wynosi B?

B jest współczynnikiem przy x, to jest ten człon.

Widzimy, że B równa się minus 9.

A co równa się wyrazowi stałemu, czyli w tym przykładzie równa się 6.

C równa się 6.

Podstawmy teraz te wartości do wzoru na pierwiastki

równania kwadratowego.

Minus B, czyli minus razy minus 9.

To jest B.

Plus lub minus pierwiastek kwadratowy z B kwadrat, to będzie 81.

Zgadza się?

Minus 9 do kwadratu.

Odjąć 4 razy minus 9.

Bo A jest równe -9.

Razy C, czyli razy 6.

I to wszystko podzielić przez razy minus 9, czyli

przez minus 19, zgadza się?

2 razy minus 9. 2 razy A.

Spróbujmy to trochę uprościć.

Minus razy Minus 9 to będzie plus 9.

Plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 81.

Zobaczmy...

To jest minus 4 razy minus 9.

Minus 4 razy minus 9 równa się plus 36.

I jeszcze plus 36 razy 6, to będzie...

30 razy 6 równa się 180.

I teraz 180 dodać 36 równa się 216.

Plus 216, tak?

180 plus 36 równa się 216.

I to wszystko trzeba podzielić przez 2 razy A.

2 A równa się minus 19.

Przekształcimy to teraz dalej.

Mamy 9 plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 81 dodać 216.

To samo co 80 dodać 217.

Czyli 297.

I to wszystko podzielić przez minus 18.

Widzicie, że najtrudniejszym zadaniem przy znajdowaniu pierwiastków

równania kwadratowego jest uproszczenie otrzymanego wyrażenia do jakieś zjadliwej postaci.

Zastanówmy się czy możemy uprościć ten pierwiastek.

No tak.

Jedna z metod, która pozwala sprawdzić czy dana liczba dzieli się przez 9

polega na tym, żeby wysumować wszystkie cyfry i sprawdzić,

czy suma dzieli się przez 9.

Dzieli się!

2 dodać 9 dodać 7 równa się 18.

Sprawdźmy w takim razie jaki będzie wynik dzielenia tego przez 9.

Obliczę to tutaj z boku; nie chcę zrobić bałaganu na tablicy.

297 podzielić przez 9.

3 razy 27.

27 - wychodzi 33, zgadza się?

Czyli to się równa 9 plus lub minus pierwiastek

z 9 razy 33 podzielić przez minus 18.

9 równa się 3 do kwadratu.

Dlatego chciałem sprawdzić czy to się dzieli przez 9,

bo jedynym sposobem, aby uprościć pierwiastek kwadratowy, to znaleźć czynnik, który jest

kwadratem liczby całkowitej.

Opowiadam o tym na wideo o wyciąganiu pierwiastków.

Mamy więc 9 plus lub minus 3 razy pierwiastek

kwadratowy z 33, podzielić przez minus 18.

Jesteśmy prawie w domu.

To można jeszcze uprościć, ponieważ 9, 3 i minus 18

dzielą się przez 3.

Podzielmy licznik i mianownik przez 3.

3 plus lub minus pierwiastek z 33 podzielić przez minus 6.

I to już koniec.

Jak widzicie, najtrudniejszą sprawą jest

sprowadzenie wyrażenia na pierwiastki równania do najprostszej możliwej postaci.

Przypomnijmy teraz, żeby w gąszczu przekształceń nie stracić z oczu sensu

tego co zrobiliśmy - mieliśmy równanie minus 9 x

kwadrat minus 9x plus 6 równa się 0.

Znaleźliśmy dwie wartości x które spełniają te równanie,

to znaczy lewa strona równa się zero.

Jedna z tych wartości to x równa się 3 plus pierwiastek

kwadratory z 33 podzielić przez minus 6.

A druga to 3 minus pierwiastek kwadratowy

z 33 podzielić przez minus 6.

Zastanówcie się, dlaczego mamy tutaj

plus lub minus.

Dlatego, że pierwiastek kwadratowy może

być albo liczbą dodatnią albo liczbą ujemną.

Zróbmy jeszcze jeden przykład.

Mam nadzieję, że będzie prostszy.

Powiedzmy, że chcę rozwiązać równanie minus 8 x kwadrat

plus 5 x plus 9 równa się 0.

Mam nadzieję że znacie już na pamięć wzory.

na pierwiastki równania kwadratowego, bo te wzory trzeba znać na pamięć.

Póki co, możecie je sobie zapisać na kartce papieru.

We wzorze jest minus 5, B równa się 5, zgadza się?

To powinno być równe zero. Minus B.

Czyli minus 5 plus lub minus pierwiastek z B do kwadratu -

to będzie 5 do kwadratu, czyli 25.

Minus 4 razy A, A równa się minus 8.

Razy C, które równa się 9.

I jeszcze podzielić przez 2 razy A.

A równa się minus 8, czy tu jest minus 16.

Przekształcimy teraz trochę to wyrażenie.

Mamy minus 5 plus lub minus

pierwiastek kwadratowy z 25.

Zobaczmy.

4 razy 8 równa się 32, znaki minus się skasują, czyli to będzie

równe plus 32 razy 9.

Plus 32 razy 9, policzmy.

30 razy 9 równa się 270.

Czyli wychodzi 288.

Tyle mi wyszło.

Zgadza się?

288.

I to wszystko podzielić przez minus 16.

To jeszcze można uprościć.

Minus 5 plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 25 plus

288 - to jest 313, tak sądzę.

Podzielić przez minus 16.

Myślę, choć nie jestem w 100% pewien, chociaż jestem prawie pewien.

Nie sprawdziłem tego.

Że 313 nie można rozłożyć na iloczyn czynników z których

jeden byłby kwadratem liczby całkowitej.

Nie jestem pewien, ale zdaje mi się że 313 jest liczbą pierwszą.

Możecie to sprawdzić sami.

Jeśli to prawda, to to jest nasz ostateczny wynik.

Nie da się go uprościć bardziej. Mamy dwa rozwiązania, dwie

wartości x dla których to równanie jest spełnione.

Jeden to x równa się minus 5 plus pierwiastek

kwadratowy z 313 podzielić przez minus 16.

A drugi to x równa się minus 5 minus pierwiastek

kwadratowy z 313 podzielić przez minus 16.

Mam nadzieję, że po tych dwóch przykładach rozumiecie

jak rozwiązywać równania kwadratowe.

Chcę dodać jeszcze kilka filmów wideo na ten temat.

I jak już będziecie mistrzami w rozwiązywaniu równań kwadratowych, nauczę Was jak

rozwiązać równanie kwadratowe kiedy pod pierwiastkiem

pojawi się liczba ujemna.

To będzie bardzo ciekawe.

Tak czy inaczej, mam nadzieję że umiecie już rozwiązywać równania kwadratowe, a ja dodam może

jeszcze kilka filmów, bo to nie jest najłatwiejszy temat..

Ale za to co za frajda!

Do zobaczenia!