Alternate form of the derivative

ลองมาคิดว่า

เราจะหาความชันของเส้นสัมผัส

เส้นโค้งนี่ตรงนี้, สิ่งที่ผมวาดด้วยสีแดง --

ตรงจุด x=a ดู. เราเห็นนี่มาแล้วจากนิยามของอนุพันธ์

เราสามารถหาฟังก์ชันทั่วไป ที่บอกเราถึงความชันของเส้นสัมผัส ณ จุดใดๆ

ลองดู เรามีจุดตามใจจุดหนึ่ง -- ลองกำหนดจุดตามใจ x ตรงนี้

แล้วนี่ก็คือจุด (x, f(x)) แล้วเราก็หา x+h -- สมมุติว่าเจ้านี่ตรงนี้

คือจุด x+h, ดังนั้นพิกัด

จะเป็น (x+h, f(x+h)), เราสามารถหาความชัน

ของเส้นลากตัด, ที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดนี้,

มันก็คือการเปลี่ยนแปลงตามแนวดิ่ง

ซึ่งก็คือ f(x+h), f ของ x บวก h,

ลบ f(x), ลบ f(x), ส่วนการเปลี่ยนแปลงตามแนวราบ,

ซึ่งเท่ากับ x+h ลบ x, ลบ x,

แล้ว x สองตัวนี้ตัดกัน, นี่จึงเป็นความชันของเส้นลากตัดนี้

และถ้าเราอยากหาความชันของเส้นสัมผัสตรงจุด x -- ความชันของเส้นสัมผัสที่ x --

เราก็หาลิมิต -- ลิมิตของพจน์นี้ --

เมื่อ h เข้าใกล้ 0, เมื่อ h เข้าใกล้ 0, จุดนี้เคลื่อนเข้าหา x, และความชัน

ของเส้นลากตัดระหว่างสองจุดนี้จะประมาณเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสที่ x

แล้วเจ้านี่ตรงนี้ -- นี่เราบอกว่าเท่ากับ f'(x) [f ไพรม์ของ x]

นี่ก็ยัง -- นี่คือฟังก์ชันของ x! คุณให้ค่า x ใดๆ มา, ตรงที่อนุพันธ์นิยามได้,

ผมก็ใส่ค่ามันลงไปในนี้, ไม่ว่าจะได้อะไร, มันจะออกมาเป็นพจน์พีชคณิตสวยงาม

แล้วผมก็จะคิดเลขออกมาให้คุณ. ตัวอย่างเช่น, ถ้าคุณอยาหา

คุณอยากคำนวณเจ้านี่ไม่ว่าเหตุใด หรือคุณอาจปล่อยมันให้อยู่ในรูปนี้ก็ได้, แล้วคุณอยากได้ f'(a)

[f ไพรม์ของ a], คุณก็แค่แทน a ลงในนิยามฟังก์ชันของคุณ,

แล้วคุณก็บอกว่า, ทีนี้, มันจะเท่ากับลิมิตเมื่อ h เข้าใกล้ 0

ของทุกที่ที่คุณเห็น x หรือทุกที่ที่คุณเห็น a. ผมจะใช้สีเดิมไปก่อนนะ...

ที่ว่าง บวก h ลบ, ลบ -- ลบ f ของที่ว่าง, ลบ f ของที่ว่าง -- ทั้งหมดนั้น

หารด้วย h. และผมปล่อยที่ว่างไว้ ผมจะได้เขียน a ได้ -- ผมเขียน a ด้วยสีแดงได้

สังเกตว่าทุกที่ที่ผมมี x มาก่อน, ตอนนี้กลายเป็น a ไป

นี่ก็คืออนุพันธ์แทนค่าที่ a. นี่ก็คือวิธีหาความชันของเส้นสัมผัสเมื่อ x=a อย่างหนึ่ง

อีกวิธี -- เรามักมองนี่เป็นรูปอนุพันธ์อีกอย่างหนึ่ง -- มันคือการทำตรงนี้

นี่ก็คือจุด (a, f(a)), ลองหาจุดตามใจอีกจุดสักที่ --

สมมุติว่านี่คือค่า x -- จุดนี่ตรงนี้บนฟังก์ชันจะเป็น (x,f(x)) --

แล้วความชันของเส้นลากตัดระหว่างจุดสองจุดนี้คืออะไร? มันคือการเปลี่ยนแปลงตามแนวดิ่ง,

ซึ่งเท่ากับ f(x) ลบ f(a) -- ลบ f(a) -- ส่วนการเปลี่ยนแปลงตามแนวราบ

ส่วน x-a. แล้วขอผมเขียนด้วยสีม่วงนะ -- ส่วน x ลบ a

แล้ว, เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสตรงนี้ให้ดีขึ้นอย่างไร?

ทีนี้, เราก็หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a, เมื่อ x เข้าใกล้ a มากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น,

เส้นลากตัดมีความชันประมาณเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสดีขึ้น ดีขึ้น และดีขึ้น

เส้นสัมผัสนี้ที่ผมมีสีแดงตรงนี้. เราอยากหาลิมิต

ลิมิต -- เมื่อ, เมื่อ x เข้าใกล้ a ตรงนี้. ไม่ว่าแบบไหน, เราก็ทำคล้ายๆ กัน --

เรากำลังทำแบบเดียวกันนั่นเอง -- เรากำลังหา -- เรากำลังให้ s -- เรากำลัง, เรากำลังได้พจน์

ของความชันเส้นลากตัด, แล้วเรานำค่า x ของจุดเหล่านั้นมาใกล้กัน ใกล้กันอีก,

ใกล้กันมากขึ้น มากขึ้น, ความชันของเส้นลากตัดเหล่านี้ ประมาณความชัน

ของเส้นสัมผัสดีขึ้น ดีขึ้น และดีขึ้น

และที่ลิมิต, มันกลายเป็นความชันของเส้นสัมผัส, นั่นก็คืออนุพันธ์ -- หรือนิยาม

นีก็คือ -- มันคือนิยามมาตรฐานของอนุพันธ์, ถ้าคุณได้อนุพันธ์มาเป็นฟังก์ชัน

ของ x, แล้วคุณใส่ค่า x ลงไปถ้าคุณต้อง -- ค่า x เฉพาะค่าหนึ่ง, หรือคุณ

สามารถใช้รูปของอนุพันธ์อีกอย่างได้ -- ถ้าคุณรู้ว่าเฮ้, ลองดู, ผมแค่ดูก็หาอนุพันธ์ที่ a ได้

ผมไม่ต้องมีฟังก์ชันของ f โดยทั่วไป แล้วถึงจะหาอนุพันธ์ได้. พวกมันนั้นเหมือนกัน