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Vamos pensar sobre como
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calcular a inclinação da linha tangente
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para esta curva bem aqui -
o que eu desenhei em vermelho
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no ponto x igual a a.
Já vimos isto com a definição da derivada.
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Podemos tentar encontrar uma função geral
que nos dê a inclinação da tangente em qualquer ponto.
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Portanto, vamos definir um
ponto arbitrário x bem aqui.
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Este seria o ponto x, f de x e aí podemos
tomar x mais h. Digamos que este bem aqui
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é o ponto x mais h.
Então, este ponto seria
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x mais h, f de x mais h,
podemos encontrar a inclinação
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da linha secante, que vai entre
estes dois pontos,
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então isto seria a sua mudança
na sua vertical,
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que seria f de x mais h,
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menos f de x,
sobre a mudança na horizontal,
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que seria x mais h menos x, menos x;
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e estes dois x se cancelam, portanto
isto seria a inclinação da linha secante,
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e se quisermos encontrar a inclinação da
linha tangente em x
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simplesmente tomaríamos o limite --
o limite desta expressão --
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quando h se aproxima de 0, este ponto se
move em direção a x, e a inclinação da
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linha secante entre estes dois pontos vai se
aproximar da inclinação da tangente em x.
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Portanto, isto bem aqui - diríamos que é
igual a f linha de x
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Isto ainda é uma funçao de x. Você me dá
um x arbitrário, onde a derivada é definida
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Eu vou colocá-lo nisto, o que for que
isso acabe sendo, pode ser uma expressão
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algébrica, e então eu vou te dar um
número. Por exemplo, se você
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quiser encontrar, você pode calcular isso
ou mesmo deixá-lo desta forma
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e se você quiser f linha de a, você
pode substituir a dentro da sua
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definição de função, e você diria, bem,
isto vai ser o limite quando h se aproxima
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de zero de cada lugar em que você vê um
x ou cada lugar que você vê um a.
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Espaço mais h menos f de espaço
- tudo isso sobre h.
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E eu deixei aqueles espaços para que eu
pudesse escrever o a -- em vermelho.
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Observe que cada lugar onde eu tinha um x
antes, agora é um a.
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Então esta é a derivada avaliada em a.
Esta é uma forma de calcular a inclinação
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da linha tangente quando x é igual a a.
Outra forma para a derivada, seria fazer isso diretamente.
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Este é o ponto a, f de a,
vamos pegar outro ponto arbitrário
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digamos que este é o valor x -- este ponto
aqui na função seria x, f de x --
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Qual é a inclinação da linha secante entre
estes dois pontos? Seria a mudança na
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vertical, que seria f de x menos f de a
sobre a mudança na horizontal.
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Sobre x menos a -- vou mudar para roxo --
sobre x menos a.
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E como obtemos uma aproximação melhor
da inclinação da reta tangente aqui?
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Bem, podemos pegar o limite quando x se
aproxima de a, quando x fica mais e mais
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próximo de a, a inclinação da secante
se aproxima mais da inclinação da tangente.
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Esta linha tangente que eu tenho em
vermelho aqui. Queremos tomar o limite
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quando x se aproxima de a.
Em ambas as formas, fazemos algo muito similar -
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estamos fazendo exatamente a mesma coisa -
temos uma expressão para a inclinação da
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linha secante, e trazemos aqueles
valores de x dos pontos mais e mais juntos
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de forma que a inclinação daquelas linhas
secantes se aproximam melhor e melhor
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da linha tangente.
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No limite, ela se torna a inclinação da
linha tangente, que é a derivada de --
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a definição padrão da derivada, que te
daria a derivada como função de x
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e então você pode entrar o valor
específico de x, ou você pode
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usar a forma alternativa da derivada
se você estiver procurando só
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a derivada exatamente em a,
Você pode fazer isso. São a mesma coisa.
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[Legendado por: Marcia Yu]