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Alternate form of the derivative

  • 0:00 - 0:02
    Vamos pensar sobre como
  • 0:02 - 0:04
    calcular a inclinação da linha tangente
  • 0:04 - 0:07
    para esta curva bem aqui -
    o que eu desenhei em vermelho
  • 0:07 - 0:12
    no ponto x igual a a.
    Já vimos isto com a definição da derivada.
  • 0:12 - 0:18
    Podemos tentar encontrar uma função geral
    que nos dê a inclinação da tangente em qualquer ponto.
  • 0:18 - 0:22
    Portanto, vamos definir um
    ponto arbitrário x bem aqui.
  • 0:22 - 0:31
    Este seria o ponto x, f de x e aí podemos
    tomar x mais h. Digamos que este bem aqui
  • 0:31 - 0:37
    é o ponto x mais h.
    Então, este ponto seria
  • 0:37 - 0:44
    x mais h, f de x mais h,
    podemos encontrar a inclinação
  • 0:44 - 0:48
    da linha secante, que vai entre
    estes dois pontos,
  • 0:48 - 0:50
    então isto seria a sua mudança
    na sua vertical,
  • 0:50 - 0:55
    que seria f de x mais h,
  • 0:55 - 1:03
    menos f de x,
    sobre a mudança na horizontal,
  • 1:03 - 1:09
    que seria x mais h menos x, menos x;
  • 1:09 - 1:15
    e estes dois x se cancelam, portanto
    isto seria a inclinação da linha secante,
  • 1:15 - 1:20
    e se quisermos encontrar a inclinação da
    linha tangente em x
  • 1:20 - 1:24
    simplesmente tomaríamos o limite --
    o limite desta expressão --
  • 1:24 - 1:32
    quando h se aproxima de 0, este ponto se
    move em direção a x, e a inclinação da
  • 1:32 - 1:37
    linha secante entre estes dois pontos vai se
    aproximar da inclinação da tangente em x.
  • 1:37 - 1:44
    Portanto, isto bem aqui - diríamos que é
    igual a f linha de x
  • 1:44 - 1:51
    Isto ainda é uma funçao de x. Você me dá
    um x arbitrário, onde a derivada é definida
  • 1:51 - 1:56
    Eu vou colocá-lo nisto, o que for que
    isso acabe sendo, pode ser uma expressão
  • 1:56 - 1:59
    algébrica, e então eu vou te dar um
    número. Por exemplo, se você
  • 1:59 - 2:04
    quiser encontrar, você pode calcular isso
    ou mesmo deixá-lo desta forma
  • 2:04 - 2:11
    e se você quiser f linha de a, você
    pode substituir a dentro da sua
  • 2:11 - 2:16
    definição de função, e você diria, bem,
    isto vai ser o limite quando h se aproxima
  • 2:16 - 2:22
    de zero de cada lugar em que você vê um
    x ou cada lugar que você vê um a.
  • 2:22 - 2:33
    Espaço mais h menos f de espaço
    - tudo isso sobre h.
  • 2:33 - 2:41
    E eu deixei aqueles espaços para que eu
    pudesse escrever o a -- em vermelho.
  • 2:41 - 2:44
    Observe que cada lugar onde eu tinha um x
    antes, agora é um a.
  • 2:44 - 2:49
    Então esta é a derivada avaliada em a.
    Esta é uma forma de calcular a inclinação
  • 2:49 - 3:00
    da linha tangente quando x é igual a a.
    Outra forma para a derivada, seria fazer isso diretamente.
  • 3:00 - 3:05
    Este é o ponto a, f de a,
    vamos pegar outro ponto arbitrário
  • 3:05 - 3:14
    digamos que este é o valor x -- este ponto
    aqui na função seria x, f de x --
  • 3:14 - 3:21
    Qual é a inclinação da linha secante entre
    estes dois pontos? Seria a mudança na
  • 3:21 - 3:29
    vertical, que seria f de x menos f de a
    sobre a mudança na horizontal.
  • 3:29 - 3:37
    Sobre x menos a -- vou mudar para roxo --
    sobre x menos a.
  • 3:37 - 3:43
    E como obtemos uma aproximação melhor
    da inclinação da reta tangente aqui?
  • 3:43 - 3:48
    Bem, podemos pegar o limite quando x se
    aproxima de a, quando x fica mais e mais
  • 3:48 - 3:54
    próximo de a, a inclinação da secante
    se aproxima mais da inclinação da tangente.
  • 3:54 - 3:58
    Esta linha tangente que eu tenho em
    vermelho aqui. Queremos tomar o limite
  • 3:58 - 4:06
    quando x se aproxima de a.
    Em ambas as formas, fazemos algo muito similar -
  • 4:06 - 4:10
    estamos fazendo exatamente a mesma coisa -
    temos uma expressão para a inclinação da
  • 4:10 - 4:17
    linha secante, e trazemos aqueles
    valores de x dos pontos mais e mais juntos
  • 4:17 - 4:22
    de forma que a inclinação daquelas linhas
    secantes se aproximam melhor e melhor
  • 4:22 - 4:25
    da linha tangente.
  • 4:25 - 4:30
    No limite, ela se torna a inclinação da
    linha tangente, que é a derivada de --
  • 4:30 - 4:36
    a definição padrão da derivada, que te
    daria a derivada como função de x
  • 4:36 - 4:41
    e então você pode entrar o valor
    específico de x, ou você pode
  • 4:41 - 4:47
    usar a forma alternativa da derivada
    se você estiver procurando só
  • 4:47 - 4:52
    a derivada exatamente em a,
    Você pode fazer isso. São a mesma coisa.
  • 4:52 - 4:53
    [Legendado por: Marcia Yu]
Title:
Alternate form of the derivative
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:53

Portuguese, Brazilian subtitles

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