Alternate form of the derivative

Vamos pensar sobre como

calcular a inclinação da linha tangente

para esta curva bem aqui -
o que eu desenhei em vermelho

no ponto x igual a a.
Já vimos isto com a definição da derivada.

Podemos tentar encontrar uma função geral
que nos dê a inclinação da tangente em qualquer ponto.

Portanto, vamos definir um
ponto arbitrário x bem aqui.

Este seria o ponto x, f de x e aí podemos
tomar x mais h. Digamos que este bem aqui

é o ponto x mais h.
Então, este ponto seria

x mais h, f de x mais h,
podemos encontrar a inclinação

da linha secante, que vai entre
estes dois pontos,

então isto seria a sua mudança
na sua vertical,

que seria f de x mais h,

menos f de x,
sobre a mudança na horizontal,

que seria x mais h menos x, menos x;

e estes dois x se cancelam, portanto
isto seria a inclinação da linha secante,

e se quisermos encontrar a inclinação da
linha tangente em x

simplesmente tomaríamos o limite --
o limite desta expressão --

quando h se aproxima de 0, este ponto se
move em direção a x, e a inclinação da

linha secante entre estes dois pontos vai se
aproximar da inclinação da tangente em x.

Portanto, isto bem aqui - diríamos que é
igual a f linha de x

Isto ainda é uma funçao de x. Você me dá
um x arbitrário, onde a derivada é definida

Eu vou colocá-lo nisto, o que for que
isso acabe sendo, pode ser uma expressão

algébrica, e então eu vou te dar um
número. Por exemplo, se você

quiser encontrar, você pode calcular isso
ou mesmo deixá-lo desta forma

e se você quiser f linha de a, você
pode substituir a dentro da sua

definição de função, e você diria, bem,
isto vai ser o limite quando h se aproxima

de zero de cada lugar em que você vê um
x ou cada lugar que você vê um a.

Espaço mais h menos f de espaço
- tudo isso sobre h.

E eu deixei aqueles espaços para que eu
pudesse escrever o a -- em vermelho.

Observe que cada lugar onde eu tinha um x
antes, agora é um a.

Então esta é a derivada avaliada em a.
Esta é uma forma de calcular a inclinação

da linha tangente quando x é igual a a.
Outra forma para a derivada, seria fazer isso diretamente.

Este é o ponto a, f de a,
vamos pegar outro ponto arbitrário

digamos que este é o valor x -- este ponto
aqui na função seria x, f de x --

Qual é a inclinação da linha secante entre
estes dois pontos? Seria a mudança na

vertical, que seria f de x menos f de a
sobre a mudança na horizontal.

Sobre x menos a -- vou mudar para roxo --
sobre x menos a.

E como obtemos uma aproximação melhor
da inclinação da reta tangente aqui?

Bem, podemos pegar o limite quando x se
aproxima de a, quando x fica mais e mais

próximo de a, a inclinação da secante
se aproxima mais da inclinação da tangente.

Esta linha tangente que eu tenho em
vermelho aqui. Queremos tomar o limite

quando x se aproxima de a.
Em ambas as formas, fazemos algo muito similar -

estamos fazendo exatamente a mesma coisa -
temos uma expressão para a inclinação da

linha secante, e trazemos aqueles
valores de x dos pontos mais e mais juntos

de forma que a inclinação daquelas linhas
secantes se aproximam melhor e melhor

da linha tangente.

No limite, ela se torna a inclinação da
linha tangente, que é a derivada de --

a definição padrão da derivada, que te
daria a derivada como função de x

e então você pode entrar o valor
específico de x, ou você pode

usar a forma alternativa da derivada
se você estiver procurando só

a derivada exatamente em a,
Você pode fazer isso. São a mesma coisa.

[Legendado por: Marcia Yu]