-
-
We hebben hier een rechthoekige driehoek.
-
En het is een rechhoekige driehoek omdat hij een hoek van 90 graden heeft ofwel een rechte hoek.
-
En het is een rechhoekige driehoek omdat hij een hoek van 90 graden heeft ofwel een rechte hoek.
-
Nu hebben we een naam voor de langste zijde van een rechthoekige zijde,
-
Nu hebben we een naam voor de langste zijde van een rechthoekige zijde,
-
en dat is de zijde tegenover de hoek van 90 graden
en die noemen we de hypotenusa.
-
en dat is de zijde tegenover de hoek van 90 graden
en die noemen we de hypotenusa.
-
Het is een bijzonder woord voor zoiets simpels
-
wat gewoon de langste zijde van een rechthoekige driehoek is of de zijde tegenover de rechte hoek.
-
wat gewoon de langste zijde van een rechthoekige driehoek is of de zijde tegenover de rechte hoek.
-
En het is goed dat te weten voor het geval iemand de hypotenusa noemt.
-
En het is goed dat te weten voor het geval iemand de hypotenusa noemt.
-
Dan weet je dat ze het over deze zijde hebben,
-
de langste zijde tegenover de 90 graden hoek.
-
Wat ik nu in deze video wil doen
-
is een beroemde relatie bewijzen.
-
En je vermoedt misschien al waar dit naar toe gaat.
-
Een hele beroemde relatie tussen de lengtes van de zijdes van een rechthoekige driehoek.
-
Een hele beroemde relatie tussen de lengtes van de zijdes van een rechthoekige driehoek.
-
Dus laten we zeggen dat we de lengte AC vanaf nu lengte a gaan noemen.
-
Dus laten we zeggen dat we de lengte AC vanaf nu lengte a gaan noemen.
-
De lengte BC noemen we dan lengte b.
-
Ik gebruik hoofdletters voor punten en normale letters voor lengtes.
-
En de lengte van de hypotenusa, ook wel AB,
-
die noemen we lengte c.
-
Nu gaan we kijken of we een verband kunnen vinden tussen a, b en c.
-
Nu gaan we kijken of we een verband kunnen vinden tussen a, b en c.
-
En om dat te doen zal ik eerst nog een stuk lijn tekenen
-
En om dat te doen zal ik eerst nog een stuk lijn tekenen
-
tussen C en de hypotenusa.
-
En die teken ik zo dat ze kruisen in een rechte hoek.
-
En die teken ik zo dat ze kruisen in een rechte hoek.
-
En dat kan je altijd doen.
-
En dit punt hier noemen we dan D.
-
En dit punt hier noemen we dan D.
-
Je vraagt je nu misschien af waarom dit altijd kan?
-
Je kunt je voorstellen dat we deze hele driehoek draaien
-
Dit is geen vast bewijs maar het geeft je een idee waarom je altijd zo'n punt kunt tekenen.
-
Dit is geen vast bewijs maar het geeft je een idee waarom je altijd zo'n punt kunt tekenen.
-
Dit is geen vast bewijs maar het geeft je een idee waarom je altijd zo'n punt kunt tekenen.
-
Nu heb ik hem gedraaid.
-
Dus nu zitten we op onze hypotenusa.
-
Dit is nu punt B en dit is punt A.
-
Dus we hebben dat ding helemaal omgedraaid.
-
Dit is punt C. Je kunt je nu voorstellen dat als je een steen met een touw eraan laat vallen vanaf punt C,
-
Dit is punt C. Je kunt je nu voorstellen dat als je een steen met een touw eraan laat vallen vanaf punt C,
-
dan zou die de hypotenusa raken met een rechte hoek.
-
Dus dat is alles wat we hebben gedaan om punt D van lijn CD te bepalen.
-
Dus dat is alles wat we hebben gedaan om punt D van lijn CD te bepalen.
-
En de reden waarom we dit gedaan hebben is dat we allerlei verbanden kunnen vinden
-
En de reden waarom we dit gedaan hebben is dat we allerlei verbanden kunnen vinden
-
tussen gelijkvormige driehoeken.
-
Omdat we hier nu drie driehoeken hebben.
-
We hebben driehoek ADC, driehoek DBC,
-
en we hebben de originele grotere driehoek.
-
En hopelijk kunnen we gelijkvormigheid bepalen
-
tussen deze driehoeken.
-
Eerst zal ik je laten zien dat ADC gelijkvormig is aan de grotere.
-
Omdat beiden een rechte hoek hebben.
-
ADC heeft hier een rechte hoek.
-
Als deze hoek 90 graden is,
-
dan moet deze hoek ook 90 graden zijn.
-
Ze zijn aanvullend.
-
Ze moeten optellen tot 180.
-
En dus hebben beiden een rechte hoek.
-
Dus de kleinere heeft een rechte hoek.
-
De grotere heeft duidelijk ook een rechte hoek.
-
Daar zijn we begonnen.
-
En zij delen beide deze hoek hier,
-
hoek DAC of BAC, hoe je die ook wilt noemen.
-
hoek DAC of BAC, hoe je die ook wilt noemen.
-
Dus kunnen we het volgende opschrijven:
-
ik begin met de kleinere driehoek ADC.
-
Ik zal hem even inkleuren.
-
Dit is de driehoek waar we het over hebben.
-
Driehoek ADC.
-
En ik van de blauwe hoek naar de rechte hoek
-
naar de hoek zonder naam in de driehoek ADC.
-
Deze rechte hoek geldt niet voor die hoek daar.
-
Die geldt voor de grotere driehoek.
-
Dus we kunnen zeggen dat driehoek ADC gelijkvormig is met de driehoek ACB.
-
Nogmaals, we beginnen met de blauwe hoek A.
-
Toen gingen we naar de rechte hoek.
-
Dus moeten we weer naar de rechte hoek toe.
-
Dus is dit ACB.
-
Dus is dit ACB.
-
En omdat ze gelijkvormig zijn, kunnen we een verband opstellen over de lengtes van de zijdes.
-
En omdat ze gelijkvormig zijn, kunnen we een verband opstellen over de lengtes van de zijdes.
-
Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval.
-
Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval.
-
Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval.
-
Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval.
-
Dus kunnen we de verhouding van de hypotenusa van de kleinere driehoek nemen.
-
Dus kunnen we de verhouding van de hypotenusa van de kleinere driehoek nemen.
-
De hypotenusa is AC.
-
Dus AC gedeeld door de hypotenusa van de grotere, AB,
-
wordt hetzelfde als een van de benen, AD,...
-
wordt hetzelfde als een van de benen, AD,...
-
En ik neem overeenkomstige punten uit beide driehoeken dus is dit AD gedeeld door AC.
-
En ik neem overeenkomstige punten uit beide driehoeken dus is dit AD gedeeld door AC.
-
Je kunt zelf naar deze driehoeken kijken en laten zien
-
dat punt AD het punt is tussen de blauwe en de rechte hoek.
-
dat punt AD het punt is tussen de blauwe en de rechte hoek.
-
Sorry, zijde AD zit tussen de blauwe en de rechte hoek.
-
Zijde AC zit tussen de blauwe en de rechte hoek
-
van de grotere driehoek.
-
Dus deze zijn allebei van de grotere driehoek.
-
En dit zijn de overeenkomstige zijdes van de kleinere driehoek.
-
En als je dat verwarrend vindt om te zien
-
kan je de overeenkomstige punten zoeken zolang je de gelijkvormigheid correct benoemt.
-
kan je de overeenkomstige punten zoeken zolang je de gelijkvormigheid correct benoemt.
-
AC komt overeen met AB van de grotere driehoek.
-
AD in de kleinere driehoek komt overeen met AC van de grotere driehoek.
-
AD in de kleinere driehoek komt overeen met AC van de grotere driehoek.
-
En we kunnen AC herschrijven als a.
-
AC is a.
-
We hebben geen label voor AD of AB.
-
Sorry, we hebben wel een label voor AB.
-
Dat is de c hier.
-
We hebben geen label voor AD.
-
Laten we AD dan d noemen.
-
dus d is van toepassing op deze zijde hier.
-
c is van toepassing op de hele zijde.
-
En dan noemen we DB lengte e.
-
Dat maakt het voor ons iets simpeler.
-
Dus AD noemen we gewoon d.
-
En dus hebben we a over c is gelijk aan d over a.
-
Als we dit kruislings vermenigvuldigen krijg je a keer a, wat gelijk is aan a kwadraat,
-
is gelijk aan c keer d, hier cd genoemd.
-
Dat is een interessant resultaat!
-
Eens kijken wat we nu met de andere driehoek kunnen doen.
-
Eens kijken wat we nu met de andere driehoek kunnen doen.
-
Met deze driehoek dus.
-
Nogmaals, deze heeft een rechte hoek.
-
De grotere heeft een rechte hoek.
-
En beiden delen deze hoek hier.
-
Dus bij overeenkomstige hoeken zijn beide hoeken gelijk aan elkaar.
-
Dus bij overeenkomstige hoeken zijn beide hoeken gelijk aan elkaar.
-
Bij driehoek BDC gingen we van de roze hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder label.
-
Bij driehoek BDC gingen we van de roze hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder label.
-
Dus driehoek BDC is gelijk aan...
-
Nu kijken we naar de grotere driehoek
-
waar we beginnen in de roze hoek B.
-
Nu gaan we naar de rechte hoek C en vervolgens A.
-
Nu gaan we naar de rechte hoek C en vervolgens A.
-
Nu gaan we naar de rechte hoek C en vervolgens A.
-
BCA.
-
Van de roze hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder label,
-
in ieder geval vanuit dit gezichtspunt.
-
Hiervoor had deze een blauwe label.
-
Laten we nu weer een verband opstellen.
-
We kunnen zeggen dat de verhouding van de kleinere driehoek BC gedeeld door BA,
-
We kunnen zeggen dat de verhouding van de kleinere driehoek BC gedeeld door BA,
-
let op we nemen weer van beide de hypotenusa,
-
BC gedeeld door BA is gelijk aan BD...
-
Die doe ik in een andere kleur.
-
BD.
-
Dus dit is één van de benen.
-
BD.
-
-
BD gedeeld door BC.
-
Ik neem de overeenkomende hoekpunten.
-
Gedeeld door BC.
-
En nogmaals, we weten dat BC hetzelfde is als b.
-
BC is b.
-
BA is c.
-
BA is c.
-
En BD hebben we gedefinieerd als e,
-
Dus dit is e.
-
Nu kunnen we weer kruislings vermenigvuldigen en dan
-
krijgen we b keer b,
en ik heb dit al eerder in filmpjes verteld,
-
kruislings vermenigvuldigen is hetzelfde als beide kanten met beide noemers vermenigvuldigen.
-
kruislings vermenigvuldigen is hetzelfde als beide kanten met beide noemers vermenigvuldigen.
-
b keer b is b kwadraat wat gelijk is aan ce.
-
En nu kunnen we iets interessants doen.
-
We kunnen deze twee verhoudingen bij elkaar optellen.
-
Ik zal deze omschrijven.
-
dus b kwadraat is gelijk aan ce.
-
Als we de linkerkanten optellen,
-
krijgen we a kwadraat plus b kwadraat.
-
a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan cd plus ce.
-
a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan cd plus ce.
-
En dan hebben we c in deze twee termen staan
-
dus kunnen we die isoleren.
-
We kunnen de c isoleren.
-
Dit wordt gelijk aan c keer (d + e)
-
Dit wordt gelijk aan c keer (d + e)
-
Wat is nu d plus e?
-
d is deze lengte en e is deze lengte.
-
Dus d plus e wordt eigenlijk samen ook c.
-
Dus wordt dit c.
-
Dan heb je c keer c wat hetzelfde is als c kwadraat.
-
Dan heb je c keer c wat hetzelfde is als c kwadraat.
-
En nu hebben we een interessante relatie te pakken.
-
We hebben a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan
c kwadraat.
-
Ik zal het herschrijven.
-
a kwadraat.
-
Ik zal het met een nieuwe kleur doen.
-
Ik zal het opnieuw schrijven.
-
Dus we hebben vastgesteld dat
a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan c kwadraat.
-
Dus we hebben vastgesteld dat
a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan c kwadraat.
-
En dit is een algemene rechthoekige driehoek.
-
Dit is geldig voor alle rechthoekige driehoeken.
-
We hebben net vastgesteld dat de som van de kwadraten van de benen
-
gelijk moet zijn aan het kwadraat van de hypotenusa.
-
En dat is waarschijnlijk één van de meest beroemde theorieën in de wiskunde
-
En dat is waarschijnlijk één van de meest beroemde theorieën in de wiskunde
-
genoemd naar Pythagoras.
-
Ik weet niet of hij de eerste is die dit verzonnen heeft
-
maar het wordt de theorie van Pythagoras genoemd.
-
maar het wordt de theorie van Pythagoras genoemd.
-
En dit is de basis voor een groot deel van de geometrie die we gaan behandelen.
-
En dit is de basis voor een groot deel van de geometrie die we gaan behandelen.
-
En het vormt een basis voor veel van trigonometrie die we gaan doen.
-
En het vormt een basis voor veel van trigonometrie die we gaan doen.
-
Het is een hele handige manier
-
om als je twee zijdes van een driehoek weet
-
je de derde altijd kunt vinden.
Khan Academy
