Doğrusal Cebir: Bir Altuzayın Temeli

Bir altuzayın temelinin tanımını anlama

(subspace kelimesinin Türkçe karşılığından[altuzay] tam emin değilim)

"v" adlı bir alt uzayımız olduğunu varsayalım.

Bu bir altuzay ve altuzayları geçen videoda öğrenmiştik.

-

Ve bazı vektörlerin kümelerinen açıklığına eşit.

Ve ben o videoda herhangi bir vektör setinin açıklığının geçerli bir altuzay olduğunu göstermiştim.

-

-

Bu örnek v1'den vn'e kadar olan açıklık olacak,

başka bir değişle n sayıda vektör olacak.

Bunların hepsi birer vektördür.

Bunların yanında bu vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu da eklemeliyim.

-

Dolayısıyla v1'den vn'e kadar olan vektör setindeki vektörler

doğrusal olarak bağımsızdır.

-

Ben size bunun en önemli noktasını anlatmadan önce,

açıklığın anlamını tekrar edelim.

Açıklık bu setin, bu altuzayın,

bütün doğrusal kombinasyonlarını

temsil etmektedir.

Dolayısıyla, her farklı c için farklı kombinasyonlarım olabilir.

-

Yani bütün mümkün c'ler ve gerçek sayılara ulaşmak için

cn*vn'e gelinceye kadar c1 çarpı v1+c2 çarpı v2 diye gitmemiz yeterli olacaktır.

Eğer bütün bu olasılıkları alıp bütün bu vektörleri bir kümeye yerleştiriseniz,

buna açıklık denir ve bizim v altuzayı diye adlandırdığımız şeydir.

-

Doğrusal bağımsızlık dediğimiz şey,

c1 çarpı v1 artı c2 çarpı v2 diye gidip cn çarpı vn'e kadar olan kısmın tek çözümünün

sadece bütün bu değerlerin 0'a eşit olması durumudur.

-

-

c1, c2'ye ve bütün bunlara eşittir.

Bunların hepsi 0'a eşittir.

Bunu daha mantıklı düşünmenin bir şekli de

bu vektör kombinasyonlarını başka iki vektörün kombinasyonuyla

temsil edemeyeceğimizi düşünmektir.

Şimdi, eğere her iki durum da doğruysa;

bu vektör kümesinin açıklığı altuzaya eşitse veya

bu altuzayı yaratıyorsa veya açıklığı bu altuzayı kaplıyorsa ve

bütün bu vektörler doğrusal olarak bağımsızsa,

diyebiliriz ki bu s vektörleri kümesidir.

-

Tabii ki bunu söylemek için s'nin v1 vn arasını kapsadığını belirtmek gerekir.

Bu bir vektör kümesine eşittir.

Dolayısıyla bu, anlatının en önemli noktasıdır diyebiliriz.

Diyebiliriz ki S kümesi, v için bir temeldir.

Ve bu yapmak istediğim tanımdı.

Eğer bir şey bir kümenin temeliyse, bu demektir ki

eğer bu vektörlerin açıklığını alırsak,

bu altuzaydaki herhangi bir faktöre ulaşabiliriz

ve bu vektörler doğrusal olarak bağımsızdır.

-

Bunu düşünmenin birkaç yolu vardır.

Biri, bir şeyi açıklığına alacak çok fazla şey olduğudur.

Örnek olarak, eğer bu v'yi açıklığına alıyorsa,

başka bir vektör de alıyor demektir.

Başka bir kümeyi tanımlayayım.

Bütün S kümesinden, v1'den vn'e kadar olan kümeden, oluşan T kümesini tanımlayayım size.

-

Ama bu bir vektör daha içerir.

Bun buna v özel vektörü adını vereceğim.

Bu, özünde, S kümesi artı bir vektör daha olacak.

-

Ama bu küme, v1 artı v2'ye eşit olacak.

Dolayısıyla doğrusal bağımsız bir küme değil.

Ama size T'nin açıklığını soracak olursam,

cevap hala v altuzayı olacak.

Ama ayrıca bir fazladan vektörüm daha var

ve bu vektör T'yi doğrusal bağımsız olmaktan çıkaracak.

Bu set doğrusal açıdan bağımsız değil.

Yani T doğrusal bağımlı.

Başka bir değişle, T, v için bir temel değil.

Ve ben bunu bu örnekle size gösterdim çünkü

benim bunu düşünme şeklim, temelin, ihtiyacım olan minimum

vektör kümesi olduğudur.

Bunu yazmama izin verin.

Bu, bir kitapta bulunabilecek bir örnek değil ama

ben bir temeli,

-

Bir temeli,

-

"kendisi bir altuzayı veya uzayı açıklığına alan vektör kümesi" olarak tanımlarım.

-

-

Bu durumda, bu minimum vektör kümemizdir.

Bunun henüz matematiksel kanıtını yapmayacağım,

çünkü görebiliyorsunuz.

Buradaki vektör kümesi, altuzayı açıklığının içine alıyor,

fakat açıkça minimum vektör seti değil.

Çünkü bu şeyin açıklığı sayesinde,

hala buradaki son vektörü çıkarabiliyorum.

O vektörü hala çıkarabiliyorum ve hala geriye kalanın açıklığı

benim v altuzayımın açıklığı olacak.

Dolayısıyla bu vektör gereksiz.

Bir temelde gereksizlik olmaz.

Bu vektörlerin her biri

v altuzayındaki herhangi bir vektörü oluşturmak için gereklidir.

Birkaç örnek yapayım.

-

Birkaç tane vektör alalım.

Diyelim ki vektör setimi bulmam gerekti.

Bunu r2 düzleminde yapacağım.

Diyelim ki vektörümüz (2, 3).

-

Ve başka bir (7, 0) vektörümüz var.

Öncelikle, açıklığı düşünelim, bu vektör kümesinin açıklığını.

-

Bu bir vektör kümesi.

Bu durumda S'nin açıklığı nedir?

Bunun doğrusal kombinasyonları nedir?

Bakalım bunların hepsi r2 düzleminden mi.

Eğer hepsi r2 düzlemindense, bunların doğrusal kombinasyonları--

bunun doğrusal kombinasyonlarıyla her zaman

herhangi bir şey oluşturabiliriz.

Yani eğer c1 çarpı 2, 3 artı c2 çarpı 7, 0'dır.

Eğer bütün r2 bunun açıklığına giriyorsa, biz

her zaman r2'de herhangi bir noktayı oluşturmak için bir c1 ve bir c2 bulabiliriz.

-

Bakalım bunu gösterebilecek miyiz.

2c1 artı 7c2 = x1 olur.

Sonra 3c1 artı 0c2 buluruz.

artı 0 ve bu x2'ye eşittir.

Ve eğer bu ikinci denklemi alıp iki tarafı da 3'e bölersek,

c1'in x2 bölü 3 olduğunu buluruz.

Ve sonra bunu ilk denkleme yerleştirisek,

-

2/3*x2 buluruz.

2 kere x2/3=2/3*x2. Artı 7c2 eşittir x1.

Sonra ne yaparız?

2/3*x2'yi iki taraftan da çıkarabiliriz.

-

Dolayısıyla 7c2=x1-x2.

İki tarafıda 7'ye bölersek c2'yi buluruz.

-

c2=x1/7-2/21*x2'yi buluruz.

Eğer bana x1 ve x2'nin gerçek sayı olduğu herhangi x1 ve x2

değerini verirseniz--

şu anda kullandığımız bütün değerler gerçek sayılar.

-

Eğer bana 2 gerçek sayı verirseniz,

x2'yi 3'e bölüp sizin c1'inizi veririm.

Ve x1/7'yi alır ve ondan

2/21 çarpı senin x2'ni çıkarırım.

Ve senin c2'ni bulurum.

Bu her zaman işe yarayacaktır.

Bunların herhangi biriyle bölme yoktur.

Bunların sıfıra eşit olması konusunda endişelenmenize gerek yok.

Bu iki formül her zaman işe yarayacaktır.

Yani bana herhangi x1 ve x2 değerlerini verirseniz, bir c1 veya bir c2 değeri bulurum.

-

Bu da mantıkta sizin vektörünüze eşit olacak bir

doğrusal kombinasyon bulmak olacaktır.

S'in açıklığı r2 olur.

-

İkinci soru ise, bu iki vektörün doğrusal olarak

bağımsız olup olmayacağıdır.

Ve doğrusal bağımsızlık

-

c1 çarpı ilk vektör artı c2 çarpı ikinci vektörün 0 vektörüne

eşit olduğunda bunun tek çözümünün

her iki değerin de 0'a eşit olduğunda mümkün olmasına denir.

-

Bakalım bu doğru mu.

Bunu zaten çözdük, yani eğer x1-- bu durumda

x1 ve x2 sıfıra eşit.

Bu sadece benim onları 0 vektörüne eşitlediğim

özel bir durum.

Eğer 0 vektörüne ulaşmak istiyorsam, c1=0/3.

Yani c1 0'a eşit olmalı.

Ve c2= 0/7-2/22*0.

Dolayısıyla c2=0.

Yani buna tek olası çözüm

her ikisinin de 0'a eşit olması.

Yani S ayrıca doğrusal olarak bağımsız bir küme.

-

Yani r2'yi açıklığının içine alıyorsa, doğrusal olarak bağımsız.

Yani diyebiliriz ki S kümesi, S vektörlerinin kümesi, r2'nin bir temelidir.

-

Şimdi, bu r2'nin tek temeli midir?

Ben basit bir vektör çizebilirim, bir vektör kümesi.

Şunu çizebilirim.

Adı T olsun.

Eğer T'yi 1,0 ve 0,1 kümesi olarak tanımlarsam, r2 bunun açıklığında olur mu?

Diyelim ki x1 ve x2'ye ulaşmak istiyorum.

-

Bu iki vektörden bunu nasıl oluşturabilirim?

Eğer her zaman x1 çarpı 0, 1 artı x2 çarpı 0, 1, yaparsam,

bana her zaman x1 ve x2'yi verir.

Dolayısıyla bu kesinlikle r2'yi açıklığına alır.

-

Peki bu doprusal olarak bağımsız mıdır?

Size gösterebilirim.

Eğer bunu 0 vektörüne eşitlemek isteseydim,

-

Eğer bu bir sıfırsa ve bu da bir sıfırsa, o zaman bunun ve bunun da sıfır olması gerekir.

-

Ve bu biraz ortada.

Başka bir vektörü, diğer birinin bir katı olarak bulmanın bir yolu yok.

-

Bunu herhangi bir şeyle çarpıp bir bulmanın bir yolu yok.

-

Dolayısıyla bu aynı zamanda doğrusal olarak bağımsız.

-

Ve bunu göstermemin tek sebebi,

bu T kümesinin r2'yi açıklığına aldığıydı.

Aynı zamanda doğrusal olarak bağımsız, yani T de

r2 için bir temel.

Ve size bunu gösterdim çünkü size herhangi bir vektör altuzayına bakınca

r2'nin kendinin geçerli bir altuzayı olduğunu göstermek istedim.

Bunu kanıtlayabilirsiniz.

Ama eğer bir altuzayım varsa, tek bir temele dayanmak zorunda değil.

Birden fazla temeli olabilir.

Aslında sınırsız temeli vardır.

Yani bu durumda, S r2 için geçerli bir temeldir, T de r2 için geçerli bir temeldir.

-

Ve ayrıca, T'nin ne olduğunu bilmeniz açısından,

burada olan durum, standart temeldir.

Bu, standart bir temeldir.

Ve bu normal hesap ve fizik dersinde uğraşmaya alıştığınız

şeydir.

Ve fizik dersinden hatırlarsanız,

bunlar birim vektör i ve birim vektör j'dir.

Ve bu iki boyutlu standart Kartezyen kordinarları için bir standart temeldir.

-

Bir temelle ilgili kullanışlı olan şey--

ve sadece standart temel için geçerli değildir bu, herhangi bir vektörü kendi altuzayında temsil edebildiğindir.

-

Herhangi bir vektörü kendi altuzayınızda kendi temelinizdeki

eşsiz bir kombinasyonla temsil edebilirsiniz.

Size bunu göstereyim.

Diyelim ki v1'den vn'e kadar olan küme, altuzay U için bir temeldir.

-

-

Bu bir altuzaydır.

-

Bu demektir ki bunlar doğrusal olarak bağımsızdır.

Ve ayrıca demektir ki bunların açıklıkları, bu vektörlerin her bir doğrusal kombinasyonu

size U altuzayının vektörlerini,

mümkün parça ve parçacıklarını

ve farklı üyelerini verecektir.

Şimdi size göstermek istediğim, U altuzayının her bir elemanının

eşsizce, eşsiz bir vektör kombinasyonuyla tanımlanabildiğidir.

-

Konuyu açıklığa kavuşturalım.

Diyelim ki a vektörü altuzayımız U'nun bir elemanı.

Bu demektir ki a, bunların bir doğrusal kombinasyonuyla temsil edilebilir.

-

Bunlar, U'yu açıklığına alır.

Bu demektir ki a vektörümüzü

c1çarpı v1 artı c2 çarpı v2 olarak temsil edebiliriz.

Bunlar vektörlerdir.

cn*vn'e kadar devam eden vektörler.

Şimdi size bunun eşsiz bir kombinasyon olduğunu kanıtlamak istiyorum.

Ve bunu çelişki yöntemiyle kantılayacağım.

Diyelim ki başka bir kombinasyon var.

Diyelim ki a'yı başka bir kombinasyonla, d1 çarpı v2 artı d2 çarpı v2

artı dn*vn'e kadar olan bütün elemanlarla temsil edebiliyorum.

-

Eğer a'yı a'dan çıkarırsam ne olur?

0 vektörünü bulurum.

Bu ikisini birbirinden çıkarayım.

Eğer a'yı a'dan çıkarırsam, a-a

kesinlikle 0 vektörü olacaktır.

Bu açıkça 0 vektörü olacaktır ve eğer bu tarafı

o taraftan çıkarırsam ne bulurum?

-

c1 eksi d1 çarpı v1 artı c2 eksi d2 çarpı v2 artı cn-vn'e kadar olan bütün elemanlar işlemini bulurum.

-

-

-

-

-

(teknik arızalar)

Sol tarafa yazayım bunları.

-

0 vektörü diye yazayım bunu.

0 vektörü, c1 eksi d1 çarpı v1 artı cn eksi dn'e kadar olan bütün elemanlar çarpı vn.

-

Vektörü kendisinden çıkardım şimdi.

Bahsettiğim gibi bir temel var.

Bir temel deyince, bu elemanların açıklığı altuzayı oluşturur deriz.

-

Veya bunların açıklığı altuzaydır.

Ve bize ayrıca bunların doğrusal olarak bağımsız olduğunu gösterir bize.

-

Yani eğer doğrusal olarak bağımsızlarsa, bu denklemin tek çözümü--

bu sadece bir sabit değer çarpı v1 artı başka bir sabit değer çarpı v2...

bir sabit değer çarpı vn'e ulaşıncaya kadar.

-

Bu denklemin tek çözümü, bu sabit değerlerin her birinin sıfır olması olur.

-

Yani bütün sabit değerler sıfır.

Bu tahta karışmadan önce, bu 0'a eşit olmak zorunda, bu da 0'a eşit olmak zorunda.

-

Bu doğrusal bağımsızlığın tanımıydı.

Ve biliyoruz ki bu doğrusal olarak bağımsız bir küme.

Eğer bütün bu sabit değerler sıfır'a eşitse,

biliyoruz ki c1-- eğer bu 0'a eşitse, c1 d1'e eşittir, c2 d2'ye eşittir, ta ki "cn dn'e eşittir"e kadar.

-

Dolayısıyla,bunun doğrusal olarak bağımsız olmasının yanında,

bütün bu sabitler birbirine eşit olmak zorunda.

-

Bu da bizim çelişkimiz.

Ben onların farklı olduğunu varsayıyorum, fakat doğrusal bağımsızlıkları

onların aynı olmalarını zorladı.

Eğer bir altuzay için bir temeliniz varsa,

o altuzayın herhangi bir elemanı eşsizce, eşsiz bir vektör kombinasyonuyla belirlenebilir.

-

Akla uygun gelmesi için,

size dedim ki bu r2'nin bir temeli.

Ve bir sonraki sorum, ve sadece biraz geriye dönmek istiyorum.

-

Eğer buraya bir vektör daha ekleseydim, eğer sadece 1,0 vektörünü ekleseydim,

S, r2 için bir temel olur muydu?

Hayır, açıkça r2'yi açıklığına alırdı, fakat bu

eleman gereksiz.

Bu eleman r2'nin içinde.

Ve size daha önceden demiştim ki bu iki eleman tek başında r2'yi açıklığına alıyor.

r2'deki herhangi bir şey bu iki elemanın doğrusal bir kombinasyonuyla temsil edilebilir.

-

Bu eleman kesinlikle r2'nin içinde, dolayısıyla

bu iki elemanın doğrusal bir kombinasyonuyla temsil edilebilir.

Dolayısıyla, bu doğrusal olarak bağımsız bir küme değil.

Bu doğrusal olarak bağımlı.

-

Ve bağımlı olduğu için, burada ihtiyaç duyulmayan bilgim var.

-

Ve bu artık bir temel olarak sayılamaz.

Dolayısıyla bunların bir temel olması için benim

r2'yi açıklığına alan en küçük, en minimal, veya

en verimli vektör kümesini yaratmam lazım.

-