< Return to Video

พีชคณิตเชิงเส้น: ฐานของสับสเปซ

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:04
    สมมุติว่าผมมีสับสเปซ v
  • 0:04 - 0:08
    และนี่คือสับสเปซ และเราเรียนเรื่องสับสเปซไปหมดแล้ว
  • 0:08 - 0:10
    ในวิดีโอก่อน
  • 0:10 - 0:13
    และมันเท่ากับสแปนของเวกเตอร์ชุดหนึ่ง
  • 0:13 - 0:16
    และผมแสดงไในวิดีโอนั้นแล้วว่า สแปนของเซตของ
  • 0:16 - 0:18
    เวกเตอร์ใดๆ เป็นสับสเปซจริง
  • 0:18 - 0:20
    -
  • 0:20 - 0:25
    มันจะเท่ากับสแปนของ v1, v2, ไปจนถึง,
  • 0:25 - 0:26
    เวกเตอร์ n ตัว
  • 0:26 - 0:30
    แต่ละตัวคือเวอเตอร์
  • 0:30 - 0:34
    ทีนี้ ขอผมบอกหน่อยว่า เวกเตอร์พวกนี้เป็น
  • 0:34 - 0:36
    อิสระเชิงเส้น
  • 0:36 - 0:44
    v1, v2, ไปจนถึง vn, เซตของเวกเตอร์นี้
  • 0:44 - 0:45
    เป็นอิสระเชิงเส้น
  • 0:45 - 0:50
    -
  • 0:50 - 0:53
    ทีนี้ก่อนที่ผมจะบอกประเด็นเรื่องนี้, ลองทบทวนก่อน
  • 0:53 - 0:55
    ว่าสแปนที่จริงหมายความว่าอะไร
  • 0:55 - 1:00
    สแปนหมายถึงเซตนี้, สับสเปซ, ที่แสดง
  • 1:00 - 1:02
    ผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  • 1:02 - 1:05
    ของเวกเตอร์ทั้งหมดเหล่านี้
  • 1:05 - 1:08
    คุณก็รู้, ผมมีผลรวมเชิงเส้นสำหรับ
  • 1:08 - 1:09
    ค่า c ต่างๆ ทุกตัว
  • 1:09 - 1:19
    ได้ c1 คูณ v1 บวก c2 คูณ v2, ไปจนถึง cn คูณ vn
  • 1:19 - 1:21
    สำหรับค่า c ทุกค่าที่เป็นไปได้ และจำนวนจริงทุกตัว
  • 1:21 - 1:24
    ถ้าคุณหาความเป็นไปได้พวกนี้ทั้งหมด และคุณ
  • 1:24 - 1:29
    ใส่เวกเตอร์พวกนั้นทุกตัวในเซตลงไป, นี่ก็คือสแปน
  • 1:29 - 1:32
    และนั่นคือสิ่งที่เราใช้นิยามสับสเปซ v
  • 1:32 - 1:36
    ทีนี้, นิยามของความอิสระเชิงเส้น คือว่า
  • 1:36 - 1:45
    คำตอบเดียวของ c1 v1 บวก c2 v2 ไปจนถึง cn
  • 1:45 - 1:49
    vn, คำตอบเดียวทีทำให้เจ้านี่เท่ากับเวกเตอร์ 0 --
  • 1:49 - 1:52
    บางทีผมควรเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์เล็กๆ ตรงนี้ -- คือตอน
  • 1:52 - 1:54
    ที่ทุกเทอมนี้เท่ากับ 0
  • 1:54 - 1:59
    c1 เท่ากับ c2, เท่ากับทั้งหมดนี้
  • 1:59 - 2:01
    ทั้งหมดทุกตัวเท่ากับ 0
  • 2:01 - 2:04
    หรือสามัญสำนึกในกาคิดคือว่า คุณไม่สามารถ
  • 2:04 - 2:08
    แสดงเวกเตอร์ตัวหนึ่งใดๆ ในนี้ เป็นผลรวม
  • 2:08 - 2:09
    ของเวกเตอร์ที่เหลือ
  • 2:09 - 2:14
    ตอนนี้, ถ้าเงื่อนไขทั้งคู่เป็นจริง
  • 2:14 - 2:17
    ว่าสแปนของเซตของเวกเตอร์นี้ เท่ากับสับสเปซนี้
  • 2:17 - 2:21
    หรือสร้างสับสเปซ หรือมันสแปนสับสเปซนี้ และที่ว่า
  • 2:21 - 2:25
    เวกเตอร์พวกนี้ทั้งหมดเป็นอิสระเชิงส้น, แล้วเรา
  • 2:25 - 2:31
    บอกได้ว่าเซตของเวกเตอร์ -- บางทีเราเรียกนี่ว่า
  • 2:31 - 2:32
    เราเรียกเซตของเวกเตอร์นี้ว่า s ได้
  • 2:32 - 2:40
    เมื่อเราบอกว่า s เท่ากับ v1, v2 ไปจนถึง vn
  • 2:40 - 2:42
    มันเท่ากับเซตของเวกเตอร์นั่น
  • 2:42 - 2:45
    เราสามารถบอกได้ว่า นี่คือประเด็นแล้ว
  • 2:45 - 2:54
    เราบอกได้ว่า S, เซต S เป็นฐาน (basis) ของ V
  • 2:54 - 2:57
    และนี่คือนิยามที่ผมอยากกำหนด
  • 2:57 - 3:02
    ถ้าอะไรสักอย่างเป็นฐานของเซตๆ หนึ่ง, มันหมายความว่า
  • 3:02 - 3:05
    เวกเตอร์เหล่านั้น, ถ้าคุณหาสแปนของเวกเตอร์เหล่านั้น, คุณ
  • 3:05 - 3:09
    จะสร้าง -- คุณสามารถเข้าถึงสมาชิกใดๆ ใน
  • 3:09 - 3:13
    สับสเปซนั้น และเวกเตอรืเหล่านี้อิสระ
  • 3:13 - 3:14
    เชิงเส้น
  • 3:14 - 3:17
    มันมีสิ่งให้คิดได้หลายอย่าง
  • 3:17 - 3:20
    อย่างหนึ่งคือว่า มีของมากมายที่สแปนได้อะไรสักอย่าง
  • 3:20 - 3:24
    ตัวอย่างเช่น, ถ้านี่สแปน v ได้, แล้ว -- ขอผมเพิ่ม
  • 3:24 - 3:27
    เวกเตอร์อีกตัวนะ
  • 3:27 - 3:29
    ขอผมนิยามเซตอีกเซตหนึ่ง
  • 3:29 - 3:36
    ขอผมกำหนดเซต T ให้เป็นเซต S: v1, v2,
  • 3:36 - 3:38
    ไปจนถึง vn
  • 3:38 - 3:40
    แต่มันยังมีเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง
  • 3:40 - 3:45
    มันจะเรียกมันว่า v เวกเตอร์พิเศษ
  • 3:45 - 3:47
    มันก็คือ, เซต S
  • 3:47 - 3:48
    บวกเวกเตอร์อีกตัว
  • 3:48 - 3:53
    โดยเวกเตอร์นี้ ผมจะบอวก่ามันคือ v1 บวก v2
  • 3:53 - 3:57
    แน่นอน, นี่ไม่ใช่เซตที่อิสระเชิงเส้น
  • 3:57 - 4:04
    แต่ถ้าผมถามคุณว่าสแปนของ T คืออะไร, สแปนของ
  • 4:04 - 4:10
    T จะยังเท่ากับสับสเปซ v นี่
  • 4:10 - 4:14
    แต่ผมมีเวกเตอร์เกินมาตรงนี้ และ
  • 4:14 - 4:15
    ทำให้มันไม่อิสระเชิงเส้้น
  • 4:15 - 4:18
    เซตนี้ไม่อิสระเชิงเส้น
  • 4:18 - 4:24
    T จึงไม่อิสระเชิงเส้น
  • 4:24 - 4:31
    ในกรณีนี้, T จึงไม่ใช่ฐานของ v
  • 4:31 - 4:33
    และผมแสดงตัวอย่างนี้ให้คุณดู เพราะวิธี
  • 4:33 - 4:37
    ที่ผมคิดถึงฐานคือว่า, ฐานเป็น
  • 4:37 - 4:42
    เซตของเวกเตอร์ที่เล็กที่สุดที่ผมต้องใช้, เซตที่เล็กที่สุด --
  • 4:42 - 4:42
    ผมจะเขียนนี่ลงไปนะ
  • 4:42 - 4:44
    มันไม่ใช่นิยามทางการ, แต่ผมมอง
  • 4:44 - 4:49
    ฐานว่า -- ขอผมเปลี่ยนสีนะ -- มันก็คือ -- ขอผม
  • 4:49 - 4:51
    เปลี่ยนสีสวยๆ ตรงนี้หน่อย
  • 4:51 - 4:57
    คือว่า ฐานเป็นตัวเล็กสุด -- ผมใส่ไว้ในเครื่องหมายคำพูด
  • 4:57 - 4:58
    เพราะผมไม่ได้นิยามมัน
  • 4:58 - 5:07
    เซตของเวกเตอร์ที่เล็กที่สุด ที่สแปนสเปซที่ฐาน
  • 5:07 - 5:11
    นั้น, สแปนสับสเปซ
  • 5:11 - 5:14
    -
  • 5:14 - 5:18
    แล้วในกรณีนี้, นี่คือเซตของเวกเตอร์ที่เล็กที่สุด
  • 5:18 - 5:22
    และผมจะยังไม่พิสูจน์ตอนนี้, แต่คุณ
  • 5:22 - 5:24
    เห็นได้ว่าล ลองดู
  • 5:24 - 5:26
    เซตของเวกเตอร์นี่ตรงนี้, มันสแปน
  • 5:26 - 5:28
    สับสเปซ, แต่แน่นอนว่ามันไม่ใช่เซตของเวกเตอร์ที่เล็กที่สุด
  • 5:28 - 5:32
    เพราะสแปนของเจ้านี่, ผมยังสามารถ
  • 5:32 - 5:33
    เอาเวกเตอร์สุดท้ายออกได้
  • 5:33 - 5:37
    ผมยังเอาเจ้านี่ออกไปแล้ว -- มันก็ยังสแปน
  • 5:37 - 5:44
    สิ่งที่เหลือก็ยังสแปนสับสเปซ v อยู่
  • 5:44 - 5:47
    ดังนั้นเจ้านี่ตรงนี้เกินมา
  • 5:47 - 5:52
    สำหรับฐานแล้ว, คุณไม่มีส่วนเกิน
  • 5:52 - 5:58
    แต่ละตัวในนี้ล้วนจำเป็นในการสร้าง
  • 5:58 - 6:02
    เวกเตอร์ใดๆ ในสับสเปซ v
  • 6:02 - 6:03
    ขอผมทำตัวอย่างหน่อยนะ
  • 6:03 - 6:06
    -
  • 6:06 - 6:13
    ลองหาเวกเตอร์ตรงนี้มา
  • 6:13 - 6:16
    สมมุติว่าผมต้องหาเซตของเวกเตอร์, และ
  • 6:16 - 6:19
    ผมคิดใน R2
  • 6:19 - 6:23
    สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์ 2, 3
  • 6:23 - 6:26
    -
  • 6:26 - 6:32
    สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์อีกตัว คือ 7, 0
  • 6:32 - 6:34
    อย่างแรกเลย, ลองคิดถึงสแปน, สแปนของ
  • 6:34 - 6:36
    เซตเวกเตอร์นี้ดู
  • 6:36 - 6:37
    นี่คือเซตของเวกเตอร์
  • 6:37 - 6:41
    แล้วสแปนของ S คืออะไร?
  • 6:41 - 6:44
    ผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้ทั้งหมดคืออะไร?
  • 6:44 - 6:46
    ทีนี้, ลองดูว่ามันคือ R2 ทั้งหมดหรืเปล่า
  • 6:46 - 6:49
    ถ้ามันคือ R2 ทั้งหมด นั่นหมายความว่าผลรวมเชิงเส้น
  • 6:49 - 6:52
    ของเจ้านี่จะเป็น -- เราสามารถสร้างอะไรก็ตาม
  • 6:52 - 6:53
    ใน R2 ด้วยผลรวมเช้งเส้นของเจ้านี่ได้เสมอ
  • 6:53 - 7:01
    แล้วถ้าเรามี c1 คูณ 2, 3 บวก c2 คูณ 7, 0
  • 7:01 - 7:04
    ถ้ามันที่จริง ที่ว่าเจ้านี่สแปน R2 ทั้งหมด, แล้วเราควร
  • 7:04 - 7:07
    สามารถสร้าง -- เราควรสามารถหา c1 และ c2
  • 7:07 - 7:11
    ที่สร้างจุดใดๆ ใน R2 ได้
  • 7:11 - 7:13
    ลองดูว่าเราจะแสดงมันได้ไหม
  • 7:13 - 7:20
    เราจะได้ 2 c1 บวก 7 c2 เท่ากับ x1
  • 7:20 - 7:26
    แล้วเราจะได้ 3 c1 บวก 0 c2
  • 7:26 - 7:28
    บวก 0 เท่ากับ x2
  • 7:28 - 7:31
    แล้วถ้าเราเอาสมการที่สองนี้มา แล้วหารทั้งสองข้าง
  • 7:31 - 7:38
    ด้วย 3 เราจะได้ c1 เท่ากับ x2 ส่วน 3
  • 7:38 - 7:41
    แล้วถ้าเราแทนมันกลับไปในสมการแรก,
  • 7:41 - 7:46
    เราได้ 2/3 -- ผมก็แค่แทน c1 ในนี้
  • 7:46 - 7:50
    ได้ 2/3 x2
  • 7:50 - 7:57
    2 คูณ x2 ส่วน 3 ได้ 2/3 x2 บวก 7 c2 เท่ากับ x1
  • 7:57 - 7:58
    แล้ว, เราจะทำอะไรได้?
  • 7:58 - 8:02
    เราก็ลบ 2/3 x2 จากทั้งสองข้างได้
  • 8:02 - 8:03
    ขอผมทำตรงนี้นะ
  • 8:03 - 8:09
    เราก็ได้ 7 c2 เท่ากับ x1 ลบ 2/3 x2
  • 8:09 - 8:12
    หารทั้งสองข้างด้วย 7 นี่ แล้วคุณจะได้ c2
  • 8:12 - 8:15
    ขอผมใช้สีเหลืองนะ
  • 8:15 - 8:23
    คุณได้ c2 เท่ากับ x1 ส่วน 7 ลบ 2 ส่วน 21 x2
  • 8:23 - 8:30
    แล้วถ้าคุณให้ค่า x1 กับ x2 ใดๆ มา โดยที่ x1
  • 8:30 - 8:35
    กับ x2 เป็นสมาชิกของจำนวนจริง, เรากำลังพูดถึง --
  • 8:35 - 8:37
    ที่จริงทุกอย่างที่เรากำลังทำอยู่ตรงนี้
  • 8:37 - 8:37
    คือจำนวนจริง
  • 8:37 - 8:40
    คุณให้ค่าจำนวนจริง 2 ตัวใดๆ
  • 8:40 - 8:43
    ผมเอา x2 มาหารด้วย 3 แล้วผมจะให้ค่า c1 คุณได้
  • 8:43 - 8:46
    และผมหาค่า x1 หารด้วย 7 และลบ
  • 8:46 - 8:48
    ด้วย 2/21 คูณ x2
  • 8:48 - 8:50
    ผมก็จะได้ c2
  • 8:50 - 8:51
    นี่ไม่มีทางใช้ไม่ได้
  • 8:51 - 8:52
    มันไม่มีการหารด้วยอะไรเลย
  • 8:52 - 8:54
    คุณไม่ต้องกังวลเรื่องที่เจ้านี่เป็น 0
  • 8:54 - 8:57
    สูตรสองอันนี้จะใช้ได้เสมอ
  • 8:57 - 9:01
    ดังนั้น คุณให้ค่า x1 กับ x2 ใดๆ ให้ผม, ผมก็สามารถหา
  • 9:01 - 9:02
    ค่า c1 หรือ c2 ได้
  • 9:02 - 9:05
    ซึ่งก็คือการหาผลรวมเชิงเส้น ที่
  • 9:05 - 9:06
    เท่ากับเวกเตอร์ของคุณ
  • 9:06 - 9:08
    ดังนั้นสแปนของ S คือ R2
  • 9:08 - 9:15
    -
  • 9:15 - 9:20
    ทีนี้ คำถามที่สองคือว่า, เวกเตอร์สองตัวนี้
  • 9:20 - 9:23
    อิสระเชิงเส้นหรือเปล่า?
  • 9:23 - 9:27
    และความอิสระเชิงเส้น มหายความว่า คำตอบเดียวที่
  • 9:27 - 9:30
    ทำให้สมการ c -- ขอผมเปลี่ยนสีนะ
  • 9:30 - 9:35
    คำตอบเดียวของสมการ c1 คูณเวกเตอร์แรก
  • 9:35 - 9:41
    บวก c2 คูณเวกเตอร์ที่สอง เท่ากับ เวกเตอร์
  • 9:41 - 9:44
    0, คำตอบเดียวของสมการนี้ คือว่า
  • 9:44 - 9:46
    ทั้งคู่นี้เป็น 0
  • 9:46 - 9:47
    ลองดูว่ามันเป็นจริงไหม
  • 9:47 - 9:51
    เราได้แก้มาแล้ว, ถ้า x1 -- ในกรณีนี้, x1
  • 9:51 - 9:53
    เท่ากับ 0 และ x2 เท่ากับ 0
  • 9:53 - 9:56
    นี่ก็คือกรณีพิเศษที่ผม
  • 9:56 - 9:57
    จับมันเท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 9:57 - 10:01
    ถ้าผมอยากได้เวกเตอร์ 0, c1 เท่ากับ 0/3
  • 10:01 - 10:04
    ดังนั้น c1 ต้องเท่ากับ 0
  • 10:04 - 10:08
    และ c2 เท่ากับ 0/7 ลบ 2/21 คูณ 0
  • 10:08 - 10:13
    c2 ก็ต้องเท่ากับ 0 ด้วย
  • 10:13 - 10:16
    ดังนั้นคำตอบเดียวของเจ้านี่ คือจับทั้งสองตัว
  • 10:16 - 10:20
    นี้เท่ากับ 0
  • 10:20 - 10:25
    ดังนั้น S จึงเป็นเซตที่อิสระเชิงเส้นด้วย
  • 10:25 - 10:30
    -
  • 10:30 - 10:33
    มันสแปน R2, มันอิสระเชิงเส้น
  • 10:33 - 10:38
    เราจึงบอกได้แน่นอน, ว่า S -- เซต S,
  • 10:38 - 10:46
    เซตของเวกเตอร์ S เป็นฐานของ R2
  • 10:46 - 10:49
    ทีนี้, มันคือฐานชุดเดียวของ R2 หรือเปล่า?
  • 10:49 - 10:54
    ทีนี้ ผมสามารถวาดเวกเตอร์ง่ายๆ, เซตของเวกเตอร์
  • 10:54 - 10:55
    ผมทำอย่างนี้ได้
  • 10:55 - 10:59
    ขอผมเรียกมันว่า T
  • 10:59 - 11:10
    ถ้าผมกำหนด T เป็นเซต 1,0 กับ 0,1, นี่จะสแปน R2 หรือเปล่า?
  • 11:10 - 11:14
    สมมุติว่าผมอยากสร้าง -- ผมอยากได้
  • 11:14 - 11:16
    x1 กับ x2
  • 11:16 - 11:20
    ผมจะสร้างมันจากเวกเตอร์สองตัวนี้อย่างไร?
  • 11:20 - 11:28
    ทีนี้, ถ้าผมสามารถทำ x1 คูณ 1, 0 บวก x2 คูณ 0, 1
  • 11:28 - 11:32
    นั่นจะให้ x1, x2 ผมเสมอ
  • 11:32 - 11:34
    นี่จึงสแปน R2 ชัดเจน
  • 11:34 - 11:40
    -
  • 11:40 - 11:42
    แล้วมันเป็นอิสระเชิงเส้นหรือปล่า?
  • 11:42 - 11:43
    ผมแสดงให้คุณดูไปแล้ว
  • 11:43 - 11:46
    ถ้าคุณอยากให้เจ้านี่เท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 11:46 - 11:49
    -
  • 11:49 - 11:52
    ถ้านี่เป็น 0 และนี่เป็น 0, แล้วนี่ต้องเป็น 0 และ
  • 11:52 - 11:53
    นี่ต้องเป็น 0
  • 11:53 - 11:54
    และมันดูชัดเจน
  • 11:54 - 11:57
    ไม่มีทางที่คุณจะได้เวกเตอร์ตัวหนึ่งเป็น
  • 11:57 - 11:59
    จำนวนเท่าของอีกตัวหนึ่ง
  • 11:59 - 12:01
    มันไม่มีทางที่คุณจะได้ 1 ตรงนี้ โดยการคูณเจ้านี่
  • 12:01 - 12:03
    กับเลขอะไรก็ตาม และในทางกลับกันด้วย
  • 12:03 - 12:04
    มันจึงอิสระเชิงเส้น
  • 12:04 - 12:10
    -
  • 12:10 - 12:12
    และสาเหตุทั้งหมดที่ผมแสดงให้คุณดู เพราะว่า
  • 12:12 - 12:16
    ผมอยากให้คุณเห็นว่า, ลองดู, เซต T นี้สแปน R2
  • 12:16 - 12:20
    มันอิสระเชิงเส้นด้วย, ดังนั้น T ก็เป็น
  • 12:20 - 12:27
    ฐานของ R2
  • 12:27 - 12:31
    และผมอยากแสดงนี่ให้คุณดห็นว่า ถ้าผมดู
  • 12:31 - 12:35
    สับสเปซเวกเตอร์ และ R2 เป็นสับสเปซของตัวเอง
  • 12:35 - 12:37
    คุณลองทำดูก็ได้
  • 12:37 - 12:41
    แต่ถ้าผมมีสับสเปซ, มันไม่จำเป็นต้องมีฐานชุดเดียว
  • 12:41 - 12:42
    มันอาจมีฐานหลายชุดก็ได้
  • 12:42 - 12:44
    ที่จริงแล้ว, มันมีฐานเป็นอนันต์
  • 12:44 - 12:49
    ดังนั้นในกรณีนี้, S เป็นฐานได้, และ T ก็คือ
  • 12:49 - 12:50
    ฐานสำหรับ R2 ได้เหมือนกัน
  • 12:50 - 12:52
    ที่จริงแล้ว, เพื่อให้คุณรู้ว่า T คืออะไร, กรณีตรงนี้,
  • 12:52 - 12:55
    นีเรียกว่า ฐานมาตรฐาน (standard basis)
  • 12:55 - 13:01
    นี่คือฐานมาตรฐาน
  • 13:01 - 13:03
    และนี่คือสิ่งที่คุณคุ้นเคย
  • 13:03 - 13:05
    ในวิชาแคลคูลัสหรือฟิสิกส์
  • 13:05 - 13:06
    และถ้าคุณจำได้จากวิชาฟิสิกส์, นี่
  • 13:06 - 13:12
    คือเวกเตอร์หน่วย i แล้วนี่คือเวกเตอร์หน่วย j
  • 13:12 - 13:16
    และนี่คือฐานมาตรฐานสำหรับพิกัดคาร์ทีเชียน
  • 13:16 - 13:18
    สองมิติ
  • 13:18 - 13:21
    สิ่งที่มีประโยชน์เกี่ยวกับฐานคือว่า คุณสามารถ -- และมัน
  • 13:21 - 13:23
    ไม่ได้เป็นจริงสำหรับฐานมาตรฐานเท่านั้น, คุณสามารถ
  • 13:23 - 13:28
    แทนเวกเตอร์ใดๆ ในสับสเปซของคุณได้
  • 13:28 - 13:31
    คุณสามารถแทนเวกเตอร์ใดๆ ในสับสเปซของคุณ
  • 13:31 - 13:36
    ด้วยผลรวมเชิงเส้นหนึ่งเดียวของเวกเตอร์ในฐานของคุณ
  • 13:36 - 13:38
    ขอผมแสดงให้ดู
  • 13:38 - 13:47
    สมมุติว่าผมมีเซต v1, v2, ไปจนถึง vn, ลอง
  • 13:47 - 13:57
    สมมุติว่านี่คือฐานของ -- ไม่รู้สิ -- สับสเปซ
  • 13:57 - 13:58
    U
  • 13:58 - 14:00
    นี่ก็คือสับสเปซ
  • 14:00 - 14:03
    -
  • 14:03 - 14:06
    นั่นหมายความว่า เจ้าพวกนี้เป็นอิสระเชิงเส้น
  • 14:06 - 14:09
    และยังหมายความว่า สแปนของเจ้าพวกนี้, หรือ
  • 14:09 - 14:13
    ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้, จะให้เวกเตอร์
  • 14:13 - 14:15
    ทุกตัว, องค์ประกอบทุกตัวที่เป็นไปได้, สมาชิก
  • 14:15 - 14:20
    ต่างๆ ของ U ทุกตัว
  • 14:20 - 14:24
    ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำให้คุณดู คือว่า สมาชิกแต่ละตัวของ U สามารถ
  • 14:24 - 14:28
    ระบุได้เป็นหนึ่งเดียว โดยเซตเฉพาะเซตเดียว -- เป็นผลรวม
  • 14:28 - 14:29
    ของเจ้าพวกนี้เป็นหนึ่งเดียว
  • 14:29 - 14:33
    ขอผมบอกให้ชัดหน่อย
  • 14:33 - 14:37
    สมมุติว่าเวกเตอร์ a เป็นสมาชิกของสับสเปซ u
  • 14:37 - 14:41
    นั่นหมายความว่า a สามารถแทนได้ด้วย
  • 14:41 - 14:43
    ผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้
  • 14:43 - 14:45
    เจ้าพวกนี้สแปน U
  • 14:45 - 14:48
    นั่นหมายความว่าเราสามารถแทนเวกเตอร์ a เป็น
  • 14:48 - 14:52
    c1 คูร v1 บวก c2 คูณ v2
  • 14:52 - 14:53
    พวกนี้คือเวกเตอร์
  • 14:53 - 14:58
    ไปจนถึง cn คูณ vn
  • 14:58 - 15:01
    ตอนนี้ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่า นี่เป็นผลรวมอย่างเดียวที่เป็นไปได้
  • 15:01 - 15:07
    และผมจะพิสูจน์ด้วยการขัดแย้ง
  • 15:07 - 15:08
    สมมุติว่ามันมีผลรวมอีกชุดหนึ่ง
  • 15:08 - 15:11
    สมมุติว่าผมสามารถแสดงมันได้ด้วย
  • 15:11 - 15:17
    ผลรวมอีกชุด, d1 คูณ v1 บวก d2 คูณ v2 บวกไปจนถึง
  • 15:17 - 15:21
    dn คูณ vn
  • 15:21 - 15:24
    แล้ว เกิดอะไรขึ้นถ้าผมเอา a ลบจาก a?
  • 15:24 - 15:25
    ผมจะได้เวกเตอร์ 0
  • 15:25 - 15:28
    ขอผมลบสองตัวนี้จากกันนะ
  • 15:28 - 15:31
    ถ้าผมลบ a จาก a, a ลบ a
  • 15:31 - 15:33
    เป็น 0 ชัดเจน
  • 15:33 - 15:36
    มันเป็นเวกเตอร์ 0 ชัดเจน และถ้าผมลบด้านนี่
  • 15:36 - 15:38
    จากด้านนั้น, เราจะได้อะไร?
  • 15:38 - 15:40
    ผมจะใช้อีกีนะ
  • 15:40 - 15:49
    เราจะได้ c1 ลบ d1 คูณ v1, บวก c2 ลบ d2 คูณ v2,
  • 15:49 - 15:53
    ไปจนถึง -- ผมถึงจุดที่กระดานผมเริ่ม
  • 15:53 - 15:54
    ใช้ไม่ได้แล้ว
  • 15:54 - 16:01
    ไปจนถึง c -- คุณไม่เห็นแล้ว cn ลบ vn
  • 16:01 - 16:02
    มันจะปรากฏขึ้นสักที่
  • 16:02 - 16:04
    -
  • 16:04 - 16:07
    cn ลบ -- ไม่, มันเริ่มพังแล้ว
  • 16:07 - 16:10
    ขอผมเขียนมันใหม่ทางซ้ายตรงนี้ มัน
  • 16:10 - 16:11
    จะไม่ได้พัง
  • 16:11 - 16:17
    เวกเตอร์ 0, ผมจะเขียนมันแบบนั้น
  • 16:17 - 16:24
    เท่ากับ c1 ลบ d1 คูณ v1 บวกไปจนถึง cn
  • 16:24 - 16:28
    ลบ dn คูณ vn
  • 16:28 - 16:31
    ผมแค่ลบเวกเตอร์นี้กับตัวเอง
  • 16:31 - 16:35
    ทีนี้, ผมบอกคุณว่าพวกนี้เป็นฐาน
  • 16:35 - 16:39
    มันมีเงื่อนไขสองอย่าง -- เวลาคุณบอกว่าฐาน, มันแปลว่า
  • 16:39 - 16:42
    สแปนของพวกนี้สร้างสับสเปซขึ้นมา
  • 16:42 - 16:45
    หรือสแปนของเจ้าพวกนี้คือสับสเปซ
  • 16:45 - 16:47
    และมันยังบอกคุณว่า เจ้าพวกนี้เป็นอิสระ
  • 16:47 - 16:48
    เชิงเส้นด้วย
  • 16:48 - 16:52
    ถ้าพวกมันเป็นอิสระเชิงเส้น, คำตอบเดียว
  • 16:52 - 16:55
    ของสมการนี้ -- นี่ก็แค่ค่างที่คูณ v1 บวก
  • 16:55 - 16:57
    ค่าคงที่อีกตัวคูณ v2, ไปจนถึง
  • 16:57 - 16:58
    ค่าคงที่หนึ่งคูณ vn
  • 16:58 - 17:02
    คำตอบเดียวของสมการนี้คือว่า ค่าคงที่
  • 17:02 - 17:04
    แต่ละตัวนี้เท่ากับ 0
  • 17:04 - 17:07
    แล้วค่าคงที่ทั้งหมดนี้ต้องเท่ากับ 0
  • 17:07 - 17:10
    ตรงนี้ ก่อนที่มันจะเละ, นี่ต้องเป็น 0, นี่
  • 17:10 - 17:11
    ต้องเท่ากับ 0
  • 17:11 - 17:13
    นั่นคิอนิยามของความอิสระเชิงเส้น
  • 17:13 - 17:16
    และเรารู้ว่านี่คือเซตที่อิสระเชิงเส้น
  • 17:16 - 17:20
    แล้วถ้าค่าคงที่พวกนี้ทั้งหมดเท่ากับ 0, แล้วเรารู้
  • 17:20 - 17:25
    ว่า c1 -- ถ้านี่เท่ากับ 0, แล้ว c1 เท่ากับ d1, c2
  • 17:25 - 17:31
    เท่ากับ d2, ไปจนถึง cn เท่ากับ dn
  • 17:31 - 17:35
    จากความจริงทีว่ามันเป็นอิสระเชิงเส้น,
  • 17:35 - 17:37
    เจ้าพวกนี้ทั้งหมด -- ค่าคงที่แต่ละตัว
  • 17:37 - 17:38
    ต้องเท่ากัน
  • 17:38 - 17:38
    และนั่นคือความขัดแย้ง
  • 17:38 - 17:41
    ผมสมมุติว่ามันต่างกัน, แต่ความอิสระเชิงเส้น
  • 17:41 - 17:43
    บังคับมันให้เท่ากัน
  • 17:43 - 17:47
    ดังนัน้ถ้าคุณมีฐานของสับสเปซ, สมาชิก
  • 17:47 - 17:50
    ใดๆ ของสับสเปซนั้น สามารถแทนได้ด้วย
  • 17:50 - 17:53
    ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้เพียงชุดเดียว
  • 17:53 - 17:57
    และเพื่อให้เข้าใจถึงที่สุด, ผมบอกคุณว่านี่
  • 17:57 - 17:59
    คือฐานของ R2
  • 17:59 - 18:02
    คำถามต่อไปคือว่า, ผมอยาก
  • 18:02 - 18:03
    ถอยมาหน่อย
  • 18:03 - 18:05
    ถ้าผมเพิ่มเวกเตอร์อีกตัวตรงนี้, ถ้าผมเพิ่ม
  • 18:05 - 18:10
    1, 0 แล้ว S ตอนนี้เป็นฐานของ R2 หรือเปล่า?
  • 18:10 - 18:14
    ไม่ใช่, มันจะยังสแปน R2 ต่อไป, แต่
  • 18:14 - 18:15
    เจ้านี่เกินมา
  • 18:15 - 18:18
    เจ้านี่อยู่ใน R2
  • 18:18 - 18:23
    และผมบอกไปแล้วว่า สองตัวนี้สแปน R2 ได้อยู่แล้ว
  • 18:23 - 18:26
    อะไรก็ตามใน R2 สามารถเขียนเป็นผลรวม
  • 18:26 - 18:28
    เชิงเส้นของเจ้าสองตัวนี้ได้
  • 18:28 - 18:31
    เจ้านี่แน่นอนอยู่ใน R2, มันจึงสามารถแทนได้
  • 18:31 - 18:33
    ผลรวมเชิงเส้นของสองตัวนี้
  • 18:33 - 18:37
    ดังนั้น, นี่จึงไม่ใช่เซตอิสระเชิงเส้น
  • 18:37 - 18:38
    นี่จึงไม่อิสระเชิงเส้น
  • 18:38 - 18:42
    -
  • 18:42 - 18:44
    และเนื่องจากมันไม่อิสระ, ผมจึงมี
  • 18:44 - 18:45
    ข้อมูลซ้ำ
  • 18:45 - 18:48
    แล้วนี่จะไม่เป็นฐานอีกต่อไป
  • 18:48 - 18:50
    ในการทำให้เจ้านี่เป็นฐาน ผมต้องสร้าง
  • 18:50 - 18:55
    ชุดเวกเตอร์ที่เล็กที่สุด ที่สแปน, หรือเซต
  • 18:55 - 18:58
    ที่มีประสิทธิภาพที่สุด, ที่สแปน, ในกรณีนี้คือ, R2 ได้
  • 18:58 - 19:00
    -
Title:
พีชคณิตเชิงเส้น: ฐานของสับสเปซ
Description:

ความเข้าใจเรื่องนิยามของ ฐานของสับสเปซ
more » « less
Video Language:
English
Duration:
19:00

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.