-
Ütleme, et mul on alamruum v.
-
See on alamruum, millest me õppisime eelmisest videost.
-
See on alamruum, millest me õppisime eelmisest videost.
-
See on võrdne mingi vektorite hulga ulatusega.
-
Ma näitasin selles videos, et suvaline vektorite hulk
-
on kehtiv alamruum.
-
Selle ulatus on v1,v2 kuni vn vektorit.
-
Selle ulatus on v1,v2 kuni vn vektorit.
-
Kõik need on vektorid.
-
Ma lisan, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud.
-
Ma lisan, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud.
-
v1,v2...vn - see vektorite hulk on lineaarselt sõltumatu.
-
v1,v2...vn - see vektorite hulk on lineaarselt sõltumatu.
-
Meenutame, mida ulatus tähendas.
-
Meenutame, mida ulatus tähendas.
-
Ulatus tähhendas, et see hulk, see alamruum, esindab
-
kõiki lineaar kombinatsioone nendest vektoritest.
-
kõiki lineaar kombinatsioone nendest vektoritest.
-
Seega võib mul olla kõik kombinatsioonid igale erinevale c'le.
-
Seega võib mul olla kõik kombinatsioonid igale erinevale c'le.
-
c1v1 + c2v2 + ... cn*vn
-
iga reaalarvu ja kehtiva c väärtuse korral.
-
Kui sa võtad kõik need võimalused ning
-
paned kõik need vektorid ühte hulka, siis see on ulatus
-
ning sellega seletamegi alamruumi v.
-
Lineaarne sõltumatus tähendas, et
-
ainuke lahendus c1v1 + c2v2 + ... cnvn
-
peab olema võrdne nullvektoriga--
-
võib-olla ma peaksin panema siia ühe vektori märgi --
-
kui kõik need tingimused on võrdsed nulliga.
-
c1=c2=...cn=0.
-
Kõik need on võrdsed nulliga.
-
Laiemalt levinud mõtteviis on, et
-
sa ei saa esitada ühtegi nendest vektoritest kombinatsioonina
-
teisest vektorist.
-
Kui mõlemad need tingimused on tõesed, et
-
selle vektorite hulga ulatus on võrdne selle alamruumiga või
-
loob selle alamruumi või katab selle alamruumi ning
-
kõik need vektorid on lineaarselt sõlatumatud, sellisel juhul
-
on see vektorite hulk -- kutsume seda vektorite hulgaks s.
-
on see vektorite hulk -- kutsume seda vektorite hulgaks s.
-
Kus me ütleme, et s on võrdne v1,v2...vn.
-
See on võrdne selle hulga vektoritega.
-
Me saame siis öelda... ning see on puänt.
-
Me saame öelda, et S, hulk S on V baas.
-
See ongi definitsioon, mida ma tahsin teha.
-
Kui miski on hulga baas, siis see tähendab, et
-
need vekrotid, kui sa võtad nende vektorite ulatus, siis
-
sa saad konstrueerida-- sa võid saada iga faktori juurde
-
selles alamruumis ja need vektorid
-
on lineaarselt sõltumatud.
-
On mitu viisi, kuidas sellest mõelda.
-
Üks on, et on palju asju, mis võivad millegi katta.
-
Näiteks, kui s katab v, siis me -- las ma lisan ühe vektori.
-
Näiteks, kui s katab v, siis me -- las ma lisan ühe vektori.
-
Ma defineerin veel ühe hulga.
-
Hulk T on hulk S: v1,v2...vn.
-
Hulk T on hulk S: v1,v2...vn.
-
Aga see sisaldab ka ühte teist vektorit.
-
Ma kutsun seda v eriliseks vektoriks.
-
Põhimõtteliselt on see hulk S ning lisaks üks vektor.
-
Põhimõtteliselt on see hulk S ning lisaks üks vektor.
-
See vektor on võrdne v1+v2'ga.
-
See ei ole lineaarselt sõltumatu hulk.
-
Kui ma oleks sult küsinud, mis on T ulatus, siis
-
T ulatus on ikkagi see alamruum, v.
-
Aga mul on see lisa vektor, mis
-
tegi selle mitte lineaarselt sõltumatuks.
-
See hulk ei ole lineaarselt sõltumatu.
-
T on lineaarselt sõltuv.
-
Sel juhul T ei ole v baas.
-
Ma näitasin sulle seda näidet, sest
-
minu pea mõtleb baasist nii, et baas on
-
miinimum vektori hulk, mis on vaja, miinimum hulk--
-
ma kirjutan selle üles.
-
See ei ole ametlik definitsioon, aga ma vaatan baasi--
-
ma vahetan värve-- kui -- ma otsin siia hea värvi.
-
ma vahetan värve-- kui -- ma otsin siia hea värvi.
-
Baas on miinimum-- ma panen selle jutumärkidesse, sest
-
ma ei ole seda defineerinud.
-
Miinimum vektorite hulk, mis katab selle ruumi, mis
-
on selle baasiks, katab alamruumi.
-
Sellisel juhul on see miinimum vektorite hulk.
-
Ma ei tõesta seda veel, aga sa näed, et...
-
Ma ei tõesta seda veel, aga sa näed, et...
-
See vektorite hulk katab alamruumi, aga
-
see ei ole miinimum vektorite hulk.
-
Sest selle ulatus, ma võin eemaldada selle viimase vektori.
-
Sest selle ulatus, ma võin eemaldada selle viimase vektori.
-
Me võin selle eemaldada, kuid ikkagi -- seega ülejäänud
-
on minu alamruumi V baasiks.
-
See asi siin oli üleliigne.
-
Baasis ei ole sul midagi üleliigset.
-
Iga element on vajalik, et konstrueerida
-
suvaline vektor V alamruumis.
-
Ma teen paar näidet.
-
Võtame mõned vektorid.
-
Ütleme, et ma pean leidma vektorite hulga ning ma joonistan R2's.
-
Ütleme, et ma pean leidma vektorite hulga ning ma joonistan R2's.
-
Ütleme, et mul on vektor 2,3.
-
Teine vektor on 7,0.
-
Esiteks mõtleme ulatusest, selle
-
hulga vektorite ulatus.
-
See on vektorite hulk.
-
Mis on S'i ulatus?
-
Mis on selle lineaar kombinatsioonid?
-
Vaatame, kas see on terve R2.
-
Kui see on kõik R2, siis see tähendab,
-
et selle lineaar kombinatsioon võib olla-- me võime alati joonistada
-
midagi R2'te lineaar kombinatsioonina sellest.
-
Kui meil on c1 korda 2,3 pluss c2 korda 7,0.
-
Kui see on tõsi, et see katab terve R2, siis me
-
saame joonsitada-- me peaksime alati olema võimelised leidma
-
c1 ja c2, et joonistada suvaline punkt R2'te.
-
Vaatame, kas me saame seda näidata.
-
Me saame 2c1 pluss 7c2 võrdub x1'ga.
-
Siis me saame 3c1 pluss 0c2.
-
Pluss 0 on võrdne x2'ga.
-
Kui me võtame selle teise võrratuse ning jagame mõlemad pooled
-
kolmega, siis me saame c1=x2/3.
-
Kui me asendame selle esimesse võrratusse, siis
-
me saame 2/3-- ma asendan siin c1.
-
2/3x2.
-
2*x2/3 on 2/3x2, pluss 7c2=x1,
-
Mida me edasi saame teha?
-
Me saame lahutada 2/3x2 mõlemast poolest.
-
Ma teen selle siia.
-
Me saame 7c2 on võrdne x1-2/3x2.
-
Jagame mõlemad pooled seitsmega ning sa saad c2.
-
Ma teen selle kollasega.
-
Sa saad c2=x1/7 - 2/21x2.
-
Kui sa oleks andnud mulle suvalise x1 ja x2, kus
-
x1 ja x2 on reaalarv--
-
kõik, millega me edasi tegeleme on reaalarvud.
-
kõik, millega me edasi tegeleme on reaalarvud.
-
Anna mulle kaks suvalist reaalarvu.
-
Ma võtan x2/3 ja annan sulle su c1.
-
Ma võtan x1/7 ja lahutan 2/21 korda sinu x2.
-
Ma võtan x1/7 ja lahutan 2/21 korda sinu x2.
-
Ning annan sulle su c2.
-
See ei murdu kunagi.
-
Nendega ei ole mingist jagunemist.
-
Sa ei pea muretsema, et need võrduvad nulliga.
-
Need kaks valemit töötavad alati.
-
Sa annad mulle suvalise x1 ja x2 ning
-
ma saan alati leida c1 või c2.
-
Me otsime lineaar kombinatsiooni, mis on võrdne sinu vektoriga.
-
Me otsime lineaar kombinatsiooni, mis on võrdne sinu vektoriga.
-
S'i ulatus on R2.
-
Teine küsimus on, kas need kaks vekrotir on lineaarselt sõltumatud?
-
Lineaarne sõltumatus tähendab, et ainuke lahendus võrrandile c -- ma vahetan värve.
-
Lineaarne sõltumatus tähendab, et ainuke lahendus võrrandile c -- ma vahetan värve.
-
Ainuke lahendus võrrandile c1 korda esimene vektor
-
pluss c2 korda teine vektor võrdub nullvektor, ainuke
-
lahedus sellele on, kui need mõlemad
-
on võrdsed nulliga.
-
Vaatame, kas see on tõene.
-
Me juba lahendasime seda, seega kui x1 -- sellel juhul on x1=0
-
ja x2=0.
-
See on eriline juhtum, kus ma
-
teen nad võrdseks nullvektoriga.
-
Kui ma tahan saada nullvektori, siis c1=0/3.
-
Seega c1 peab olema võrdne nulliga.
-
Ja c2=0/7-2/21*0.
-
Seega ka c2 peab olema võrdne nulliga.
-
Ainus lahendus oli, et mõlemad pidid olema võrdsed nulliga.
-
Ainus lahendus oli, et mõlemad pidid olema võrdsed nulliga.
-
Seega S on lineaarselt sõltumatu hulk.
-
See katab R2, see on lineaarselt sõltumatu.
-
Me võime kindlalt öelda, et S--hulk S,
-
hulk vektoreid S on baas R2'le.
-
Kas see on ainuke baas R2'le?
-
Ma võin joonistada triviaalselt lihtsalt vektorite hulga.
-
Ma võiksin teha sellise.
-
Ma panen sellele nimeks T.
-
Kui ma defineerin T hulgaks 1,0 ja 0,1 , kas see katab R2?
-
Ütleme, et ma tahan genereerida-- ma leida
-
x1 ja x2.
-
Kuidas ma saan joonistada selle nendest kahest vektorist?
-
Kui ma alati teen x10,1 liita x20,1 ,
-
siis see annab mulle alati x1,x2.
-
Seega see kindlasti katab R2.
-
Kas see on lineaarselt sõltumatu?
-
Ma võin seda sulle näidata.
-
Kui sa tahaksid teha selle võrdseks nullvektoriga.
-
Kui need on nullid, siis see peab olema 0 ja
-
see peab olema 0.
-
See on ilmselge.
-
Sul ei ole võimalik saada ühte vektoritest, kui
-
sa korrutad teist vektorit millegagi.
-
Sul ei ole võimalik saada siia 1, kui sa korrutad
-
seda millegagi ning vastupidi.
-
Seega see on ka lineaarselt sõltumatu.
-
Põhjus, miks ma sulle seda näitasin, on sest
-
ma tahtsin näidata, et see hulk T katab R2.
-
See on lineaarselt sõltumatu, seega T on ka
-
R2 baasiks.
-
Ma tahtsin seda näidata, et näidata, et kui sa vaatad
-
vektori alamruumi ja R2 on kehtiv alamruum iseendast.
-
Sa saad seda kinnitada.
-
Aga kui mul on alamruum, siis sellel ei ole ainult üks baas.
-
Sellel võib olla mitu baasi.
-
Tavaliselt on sellel lõputult baase.
-
Sellisel juhul on S ja T mõlemad kehtivad baasid R2'le.
-
Sellisel juhul on S ja T mõlemad kehtivad baasid R2'le.
-
Lihtsalt, et sa teaksid, mis T on, siis seda situatsiooni
-
siin kutsutakse standard baasiks.
-
See on standard baas.
-
Sellega sa olen harjunud tegelema tavalistest matemaatika
-
ja füüsika klassides.
-
Kui sa meenutad füüsika klassidest, siis
-
see on ühikvektor i ja see on ühikvektor j.
-
See on tavaline baas kahe dimensioonilisele kartesiaani koordinaatidele.
-
See on tavaline baas kahe dimensioonilisele kartesiaani koordinaatidele.
-
Baasi puhul on kasulik see, et sa saad alati-- see pole tõene
-
ainult tavalise baasi puhul-- sa saad alati
-
esitada igat vektorit enda alamruumis.
-
Sa saad esitada igat vektorit oma alamruumis mingi
-
unikaalse kombinatsioonina teistest vektoritest selles baasis.
-
Ma demonstreerin seda.
-
Ütleme, et hulk v1,v2...vn.
-
Ütleme, et see on baasiks alamruumile U.
-
Ütleme, et see on baasiks alamruumile U.
-
See on alamruum.
-
See tähendab, et need kaks vektorit on lineaarselt sõltumatud.
-
See tähendab ka, et nende kahe vektori ulatus või
-
kõigi nende vektorite lineaarsed kombinatsioonid annavad
-
sulle kõik vektorid, kõik võimalikud komponendid,
-
kõik erinevad U liikmed.
-
Nüüd ma tahan näidate, et iga U liige saab
-
olla unikaalselt defineeritud unikaalse hulgaga-- unikaalse kombinatsioon
-
nendest kahest.
-
Ma seletan seda täpsemalt.
-
Ütleme, et minu vektor A on meie alamruumi U liige.
-
See tähendab, et A'd saad esitada mingi lineaarse
-
kombinatsioonina nendest.
-
Need vektorid katavad U.
-
See tähendab, et me saame esitada vektorit A
-
kui c1v1 + c2v2.
-
Need on vektorid.
-
Kuni cn*vn.
-
Nüüd ma tahan näidate, et see on unikaalne kombinatsioon.
-
Et seda näidata, siis ma tõestan vastuolu kaudu.
-
Ütleme, et on veel mingi kombinatsioon.
-
Ütleme, et ma saan esitada A'd kui
-
kombinatsioonina d1v2 + d2v2 + ... dn*vn.
-
kombinatsioonina d1v2 + d2v2 + ... dn*vn.
-
Mis juhtub, kui ma lahutan A A'st?
-
Ma saan nullvektori.
-
Las ma lahutan need kaks asja.
-
Kui ma lahutan A A'st, A-A on nullvektor.
-
Kui ma lahutan A A'st, A-A on nullvektor.
-
See on selgesti nullvektor ning kui ma lahutan selle poole
-
sellest poolest, siis mis me saame?
-
Ma teen selle teise värviga.
-
Me saame c1-d1v1+c2-d2v2 kuni -- mu tahvel ei taha enam korralikult töötada.
-
Me saame c1-d1v1+c2-d2v2 kuni -- mu tahvel ei taha enam korralikult töötada.
-
Me saame c1-d1v1+c2-d2v2 kuni -- mu tahvel ei taha enam korralikult töötada.
-
Kuni c--sa ei näe seda. cn-vn.
-
See ikkagi näitab mingil moel.
-
cn-ei, see ikkagi ei tööta.
-
Ma kirjutan selle ümber vasakule poole, kus on vähem tõenäoline, et see ei tööta.
-
Ma kirjutan selle ümber vasakule poole, kus on vähem tõenäoline, et see ei tööta.
-
Nullvektor, ma kirjutan selle nii.
-
On võrdne (c1-d1)v1+...(cn-dn)vn.
-
On võrdne (c1-d1)v1+...(cn-dn)vn.
-
Ma lahutasin vektori iseendast.
-
Ma ütlesin, et need on baasid.
-
On kaks asja -- kui sa ütled baas, siis see ütleb, et
-
nende kuttide ulatus moodustab alamruumi.
-
Või et nende kuttide ulatus ongi alamruum.
-
Lisaks ütleb see, et need kutid on
-
lineaarselt sõltumatud.
-
Kui nad on lineaarselt sõltumatud, siis ainuke lahendus
-
sellele võrrandile-- see on lithsalt konstant korda v1 liita
-
teine konstant korda v2, kuni konstant korda vn.
-
teine konstant korda v2, kuni konstant korda vn.
-
Ainus lahendus sellele võrrandile on, kui iga konstant on võrdne nulliga.
-
Ainus lahendus sellele võrrandile on, kui iga konstant on võrdne nulliga.
-
Seega kõik need konstandid peavad olema võrdsed nulliga.
-
Siin, enne kui ma sassi ajasin, peab see olema võrdne nulliga,
-
see peab olema võrdne nulliga.
-
See oli lineaarse sõltumatuse selgitus.
-
Me teame, et see on lineaarselt sõltumatu hulk.
-
Kui kõik need konstandid on võrdsed nulliga, siis me
-
teame, et c1--kui see on võrdne nulliga--siis c1 on võrdne d1'da,c2
-
on võrdne d2'ga, kuni cn on võrdne dn'ga
-
Kuna see on lineaarselt sõltumatu, siis kõik need,
-
kõik need konstandid peavad olema võrdsed üksteisega.
-
kõik need konstandid peavad olema võrdsed üksteisega.
-
See ongi meie vastuolu.
-
Ma oletan, et nad on erinevad, aga lineaarne
-
sültumatus sundis nad samasuguseks.
-
Seega kui sul on mingi alamruumi baas, siis
-
igat alamruumi liiget saab unikaalselt määrata
-
unikaalse kombinatsoonina nendest vektoritest.
-
Et asi täiesti selge oleks, ma ütlesin, et see on R2 baas.
-
Et asi täiesti selge oleks, ma ütlesin, et see on R2 baas.
-
Minu järgmine küsimus on, ma tahan natukene tagasi pöörduda.
-
Minu järgmine küsimus on, ma tahan natukene tagasi pöörduda.
-
Kui ma lisaksin siia veel ühe vektori, kui ma
-
lisaksin vektori 1,0 , kas S on R2 baasiks?
-
Ei, see jätkab R2 katmist, aga see kutt on üleliigne.
-
Ei, see jätkab R2 katmist, aga see kutt on üleliigne.
-
See kutt on R2's.
-
Ma eelnevalt ütlesin, et need kaks kutti üksinda katavad R2.
-
Ükskõik mida R2's saab esitada lineaarse kombinatsioonina nendest kahest.
-
Ükskõik mida R2's saab esitada lineaarse kombinatsioonina nendest kahest.
-
See kutt on kindalsti R2's, seega teda saab esitada
-
lineaarse kombinatsioonina nendest kahest kutist.
-
Seega see ei ole lineaarselt sõltumatu hulk.
-
See on lineaarselt sõltuv.
-
Kuna see on sõna otseses mõttes sõltuv, mul on
-
üleliigne info siin.
-
Seega see ei oleks enam baas.
-
Et need oleksid baasiks, siis ma pean looma
-
miinimum vektorite hulga, mis saavad katta või
-
kõige tõhusama vektorite hulga, mis saavad katta, sel juhul, R2.
