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Identifying Conics 2

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    再看一個圓錐曲線辨別問題
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    本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com
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    4y2-50x=25x2+16y+109
  • 0:17 - 0:25
    網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open
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    首先還是將含x和y的項分別列出來
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    首先還是將含x和y的項分別列出來
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    常數項全部留在另一側
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    oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org
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    左側有4y2
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    這一步 就把含x和y的項分開
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    4y2 然後16y移到左側
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    兩側同時減16y
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    左側有-16y
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    右側則沒有了
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    然後兩側同時減去25x2
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    有-25x2-50x 這裡
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    109則留在右側 等於109
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    此時 所有x和y在一側
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    我們能看出個大概
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    x2和y2在一側 具有不同係數
  • 1:25 - 1:27
    且一個正一個負
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    這告訴我們 它是雙曲線
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    下面配方 求標準形式
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    配方最簡單的辦法是
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    讓平方項係數爲1
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    這裡提出4
  • 1:42 - 1:48
    有4(y2-4y)
  • 1:48 - 1:52
    後面還需要加某數 才能完成配方
  • 1:52 - 2:01
    -25(x2+2x) 後面還有要加的 等於109
  • 2:01 - 2:10
    -25(x2+2x) 後面還有要加的 等於109
  • 2:10 - 2:12
    加上這些之後 就能使式子成爲完全平方式
  • 2:12 - 2:14
    加上這些之後 就能使式子成爲完全平方式
  • 2:14 - 2:17
    這裡是-4
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    取其一半…
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    配方的方法詳見配方那一節
  • 2:20 - 2:24
    配方的方法詳見配方那一節
  • 2:24 - 2:28
    這裡是-4 取其一半 有-2
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    然後-2平方得4
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    等式兩側需要同時加減
  • 2:34 - 2:35
    等式兩側需要同時加減
  • 2:35 - 2:38
    左側其實加的不是4
  • 2:38 - 2:40
    而是4?4
  • 2:40 - 2:42
    因爲外面還有一個4
  • 2:42 - 2:45
    左側加了16
  • 2:45 - 2:48
    右側也要加16
  • 2:48 - 2:52
    也就是 這裡加16
  • 2:52 - 2:53
    這更清楚
  • 2:53 - 2:55
    提出4 就是4
  • 2:55 - 2:58
    這裡也加16
  • 2:58 - 3:03
    這裡 取這個數的一半
  • 3:03 - 3:07
    2的一半是1 平方還是1
  • 3:07 - 3:09
    但左側加的不是1
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    而是1?(-25)
  • 3:12 - 3:15
    所以這裡也要-25
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    放到上面也就是
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    左側減25
  • 3:20 - 3:23
    右側同時減25
  • 3:23 - 3:25
    然後得到什麽
  • 3:25 - 3:35
    含y項變成4(y-2)2
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    這一步看不懂的 可以參見因式分解影片
  • 3:39 - 3:42
    這一步看不懂的 可以參見因式分解影片
  • 3:42 - 3:51
    -25(x+1)2 也就是這個
  • 3:51 - 3:59
    等於109+16-25=125-25=100
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    基本搞定
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    右側需要是1 兩側同時除以100
  • 4:04 - 4:10
    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
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    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
  • 4:16 - 4:21
    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
  • 4:21 - 4:28
    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
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    這就是標準形式 顯然它是雙曲線
  • 4:34 - 4:36
    下面繪圖
  • 4:36 - 4:38
    首先看中心
  • 4:38 - 4:43
    其中心是(-1,2)
  • 4:43 - 4:47
    其中心是(-1,2)
  • 4:47 - 4:50
    下面求雙曲線的漸近線
  • 4:50 - 4:53
    我總這麽做
  • 4:53 - 4:55
    我不喜歡記公式
  • 4:55 - 4:58
    以原點爲中心的雙曲線是這樣的
  • 4:58 - 5:05
    y2/25-x2/4=1
  • 5:05 - 5:07
    寫這個是爲了方便求漸近線斜率
  • 5:07 - 5:09
    寫這個是爲了方便求漸近線斜率
  • 5:09 - 5:11
    這種方程更好處理
  • 5:11 - 5:13
    這種方程更好處理
  • 5:13 - 5:15
    兩側同時乘以100
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    和剛才做的正好相反
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    算了 干脆兩側只乘以25得了
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    有y2-25/4x2=25
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    再寫到這裡
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    兩側同時加25/4x2
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    有y2=25/4x2+25
  • 5:49 - 5:57
    y=正負根號(25/4x2+25)
  • 5:57 - 6:01
    y=正負根號(25/4x2+25)
  • 6:01 - 6:03
    雙曲線總不會與漸近線相交
  • 6:03 - 6:07
    雙曲線總不會與漸近線相交
  • 6:07 - 6:12
    只會在x趨於正負無窮時逼近漸近線
  • 6:12 - 6:18
    只會在x趨於正負無窮時逼近漸近線
  • 6:18 - 6:19
    這是極限的概念
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    不過這裡並不難懂
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    這是漸近線的基本思想
  • 6:23 - 6:26
    x趨近正負無窮 圖像逐漸逼近漸近線
  • 6:26 - 6:30
    x趨近正負無窮 圖像逐漸逼近漸近線
  • 6:30 - 6:33
    這個常數項越來越無關緊要
  • 6:33 - 6:36
    因爲這一項太大
  • 6:36 - 6:40
    所以y約等於正負根號下這一項
  • 6:40 - 6:41
    所以y約等於正負根號下這一項
  • 6:41 - 6:46
    也就是±5/2x
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    這是中心爲0時的漸近線
  • 6:49 - 6:54
    而實際中心是(-1,2) 畫圖吧
  • 6:54 - 6:56
    而且可以看出 這是上下開口的
  • 6:56 - 7:03
    而且可以看出 這是上下開口的
  • 7:03 - 7:05
    中心是(-1,2)
  • 7:08 - 7:14
    這是y軸
  • 7:14 - 7:17
    這是x軸
  • 7:17 - 7:27
    中心是(-1,2) 這裡
  • 7:27 - 7:31
    而這是以原點爲中心的漸近線方程
  • 7:31 - 7:33
    而這是以原點爲中心的漸近線方程
  • 7:33 - 7:35
    平移後斜率不變
  • 7:35 - 7:38
    漸近線過雙曲線的中心
  • 7:38 - 7:40
    漸近線過雙曲線的中心
  • 7:40 - 7:42
    這裡求出漸近線斜率爲±5/2
  • 7:42 - 7:44
    這裡求出漸近線斜率爲±5/2
  • 7:44 - 7:49
    +5/2表示 橫移2
  • 7:49 - 7:57
    對應上移5
  • 7:57 - 8:00
    所以是這裡
  • 8:00 - 8:03
    兩點決定一條直線
  • 8:03 - 8:07
    直線像這樣
  • 8:07 - 8:10
    另一條漸近線斜率爲-5/2
  • 8:10 - 8:14
    右移2 對應下移5
  • 8:14 - 8:20
    往右2格 往下5格
  • 8:20 - 8:23
    最後到這裡
  • 8:23 - 8:30
    漸近線像這樣 很好
  • 8:30 - 8:34
    這是兩條漸近線 兩端都無限延伸
  • 8:34 - 8:37
    之後有兩種考慮方法
  • 8:37 - 8:42
    看這個中心在原點的
  • 8:42 - 8:46
    這時x可以是0嗎 當然可以
  • 8:46 - 8:52
    x=0時 y2/25=1 y2=25
  • 8:52 - 8:55
    y=±5
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    所以這裡 這個可以爲0
  • 8:58 - 9:01
    所以 這裡x可以是-1
  • 9:01 - 9:06
    x=-1時 (y-2)2=25
  • 9:06 - 9:09
    我算一下
  • 9:09 - 9:16
    x=-1時
  • 9:16 - 9:19
    這個式子變成什麽
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    寫在這裡吧
  • 9:21 - 9:27
    有(y-2)2/25-0=1
  • 9:27 - 9:32
    有(y-2)2/25-0=1
  • 9:32 - 9:40
    所以(y-2)2/25=1
  • 9:40 - 9:43
    (y-2)2=25
  • 9:43 - 9:46
    這是兩側同時乘以25
  • 9:46 - 9:50
    兩側同時開方 y-2=±5
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    兩側同時開方 y-2=±5
  • 9:54 - 10:00
    y-2等於+5或-5
  • 10:00 - 10:03
    兩側同時加2 這是y=7
  • 10:03 - 10:07
    兩側同時加2 這是y=-3
  • 10:07 - 10:14
    所以 (-1,7)和(-1,-3)
  • 10:14 - 10:19
    都在圖像上 -1在這裡
  • 10:19 - 10:27
    往上7格 (-1,7)在這裡 然後是(-1,-3)
  • 10:27 - 10:29
    都在圖像上
  • 10:29 - 10:32
    由此我們知道
  • 10:32 - 10:34
    開口是上下方向
  • 10:34 - 10:40
    或者直接看y2項爲正
  • 10:40 - 10:42
    另一種考慮方法是
  • 10:42 - 10:46
    看正平方根 它始終高於漸近線
  • 10:46 - 10:51
    看正平方根 它始終高於漸近線
  • 10:51 - 10:53
    這樣看也行
  • 10:53 - 10:56
    它總比…
  • 10:56 - 10:58
    這是正平方根
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    上面這支
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    它總比漸近線高一些
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    這是漸近線 稍高於漸近線
  • 11:05 - 11:08
    顯然 隨著數字增大
  • 11:08 - 11:11
    常數項顯得更小 圖像大致是這樣
  • 11:11 - 11:14
    往下 然後往上
  • 11:14 - 11:16
    不會挨到漸近線 但會逼近
  • 11:16 - 11:18
    很靠近漸近線
  • 11:18 - 11:20
    然後下降 朝這個方向
  • 11:20 - 11:23
    希望對大家有幫助
  • 11:23 - 11:27
    這個問題稍微複雜一些 應該會有啓發
Title:
Identifying Conics 2
Description:

Part 2 of identifying and graphing conic sections
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Video Language:
English
Duration:
11:28
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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