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Identifying Conics 2

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    再看一个圆锥曲线辨别问题
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    本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com
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    4y2-50x=25x2+16y+109
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    网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open
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    首先还是将含x和y的项分别列出来
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    首先还是将含x和y的项分别列出来
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    常数项全部留在另一侧
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    左侧有4y2
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    这一步 就把含x和y的项分开
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    4y2 然后16y移到左侧
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    两侧同时减16y
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    左侧有-16y
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    右侧则没有了
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    然后两侧同时减去25x2
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    有-25x2-50x 这里
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    109则留在右侧 等于109
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    此时 所有x和y在一侧
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    我们能看出个大概
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    x2和y2在一侧 具有不同系数
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    且一个正一个负
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    这告诉我们 它是双曲线
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    下面配方 求标准形式
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    配方最简单的办法是
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    让平方项系数为1
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    这里提出4
  • 1:42 - 1:48
    有4(y2-4y)
  • 1:48 - 1:52
    后面还需要加某数 才能完成配方
  • 1:52 - 2:01
    -25(x2+2x) 后面还有要加的 等于109
  • 2:01 - 2:10
    -25(x2+2x) 后面还有要加的 等于109
  • 2:10 - 2:12
    加上这些之后 就能使式子成为完全平方式
  • 2:12 - 2:14
    加上这些之后 就能使式子成为完全平方式
  • 2:14 - 2:17
    这里是-4
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    取其一半…
  • 2:18 - 2:20
    配方的方法详见配方那一节
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    配方的方法详见配方那一节
  • 2:24 - 2:28
    这里是-4 取其一半 有-2
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    然后-2平方得4
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    等式两侧需要同时加减
  • 2:34 - 2:35
    等式两侧需要同时加减
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    左侧其实加的不是4
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    而是4?4
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    因为外面还有一个4
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    左侧加了16
  • 2:45 - 2:48
    右侧也要加16
  • 2:48 - 2:52
    也就是 这里加16
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    这更清楚
  • 2:53 - 2:55
    提出4 就是4
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    这里也加16
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    这里 取这个数的一半
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    2的一半是1 平方还是1
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    但左侧加的不是1
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    而是1?(-25)
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    所以这里也要-25
  • 3:15 - 3:18
    放到上面也就是
  • 3:18 - 3:20
    左侧减25
  • 3:20 - 3:23
    右侧同时减25
  • 3:23 - 3:25
    然后得到什么
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    含y项变成4(y-2)2
  • 3:35 - 3:39
    这一步看不懂的 可以参见因式分解视频
  • 3:39 - 3:42
    这一步看不懂的 可以参见因式分解视频
  • 3:42 - 3:51
    -25(x+1)2 也就是这个
  • 3:51 - 3:59
    等于109+16-25=125-25=100
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    基本搞定
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    右侧需要是1 两侧同时除以100
  • 4:04 - 4:10
    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
  • 4:10 - 4:16
    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
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    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
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    得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1
  • 4:28 - 4:34
    这就是标准形式 显然它是双曲线
  • 4:34 - 4:36
    下面绘图
  • 4:36 - 4:38
    首先看中心
  • 4:38 - 4:43
    其中心是(-1,2)
  • 4:43 - 4:47
    其中心是(-1,2)
  • 4:47 - 4:50
    下面求双曲线的渐近线
  • 4:50 - 4:53
    我总这么做
  • 4:53 - 4:55
    我不喜欢记公式
  • 4:55 - 4:58
    以原点为中心的双曲线是这样的
  • 4:58 - 5:05
    y2/25-x2/4=1
  • 5:05 - 5:07
    写这个是为了方便求渐近线斜率
  • 5:07 - 5:09
    写这个是为了方便求渐近线斜率
  • 5:09 - 5:11
    这种方程更好处理
  • 5:11 - 5:13
    这种方程更好处理
  • 5:13 - 5:15
    两侧同时乘以100
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    和刚才做的正好相反
  • 5:18 - 5:24
    算了 干脆两侧只乘以25得了
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    有y2-25/4x2=25
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    再写到这里
  • 5:35 - 5:39
    两侧同时加25/4x2
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    有y2=25/4x2+25
  • 5:49 - 5:57
    y=正负根号(25/4x2+25)
  • 5:57 - 6:01
    y=正负根号(25/4x2+25)
  • 6:01 - 6:03
    双曲线总不会与渐近线相交
  • 6:03 - 6:07
    双曲线总不会与渐近线相交
  • 6:07 - 6:12
    只会在x趋于正负无穷时逼近渐近线
  • 6:12 - 6:18
    只会在x趋于正负无穷时逼近渐近线
  • 6:18 - 6:19
    这是极限的概念
  • 6:19 - 6:21
    不过这里并不难懂
  • 6:21 - 6:23
    这是渐近线的基本思想
  • 6:23 - 6:26
    x趋近正负无穷 图像逐渐逼近渐近线
  • 6:26 - 6:30
    x趋近正负无穷 图像逐渐逼近渐近线
  • 6:30 - 6:33
    这个常数项越来越无关紧要
  • 6:33 - 6:36
    因为这一项太大
  • 6:36 - 6:40
    所以y约等于正负根号下这一项
  • 6:40 - 6:41
    所以y约等于正负根号下这一项
  • 6:41 - 6:46
    也就是±5/2x
  • 6:46 - 6:49
    这是中心为0时的渐近线
  • 6:49 - 6:54
    而实际中心是(-1,2) 画图吧
  • 6:54 - 6:56
    而且可以看出 这是上下开口的
  • 6:56 - 7:03
    而且可以看出 这是上下开口的
  • 7:03 - 7:05
    中心是(-1,2)
  • 7:08 - 7:14
    这是y轴
  • 7:14 - 7:17
    这是x轴
  • 7:17 - 7:27
    中心是(-1,2) 这里
  • 7:27 - 7:31
    而这是以原点为中心的渐近线方程
  • 7:31 - 7:33
    而这是以原点为中心的渐近线方程
  • 7:33 - 7:35
    平移后斜率不变
  • 7:35 - 7:38
    渐近线过双曲线的中心
  • 7:38 - 7:40
    渐近线过双曲线的中心
  • 7:40 - 7:42
    这里求出渐近线斜率为±5/2
  • 7:42 - 7:44
    这里求出渐近线斜率为±5/2
  • 7:44 - 7:49
    +5/2表示 横移2
  • 7:49 - 7:57
    对应上移5
  • 7:57 - 8:00
    所以是这里
  • 8:00 - 8:03
    两点决定一条直线
  • 8:03 - 8:07
    直线像这样
  • 8:07 - 8:10
    另一条渐近线斜率为-5/2
  • 8:10 - 8:14
    右移2 对应下移5
  • 8:14 - 8:20
    往右2格 往下5格
  • 8:20 - 8:23
    最后到这里
  • 8:23 - 8:30
    渐近线像这样 很好
  • 8:30 - 8:34
    这是两条渐近线 两端都无限延伸
  • 8:34 - 8:37
    之后有两种考虑方法
  • 8:37 - 8:42
    看这个中心在原点的
  • 8:42 - 8:46
    这时x可以是0吗 当然可以
  • 8:46 - 8:52
    x=0时 y2/25=1 y2=25
  • 8:52 - 8:55
    y=±5
  • 8:55 - 8:58
    所以这里 这个可以为0
  • 8:58 - 9:01
    所以 这里x可以是-1
  • 9:01 - 9:06
    x=-1时 (y-2)2=25
  • 9:06 - 9:09
    我算一下
  • 9:09 - 9:16
    x=-1时
  • 9:16 - 9:19
    这个式子变成什么
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    写在这里吧
  • 9:21 - 9:27
    有(y-2)2/25-0=1
  • 9:27 - 9:32
    有(y-2)2/25-0=1
  • 9:32 - 9:40
    所以(y-2)2/25=1
  • 9:40 - 9:43
    (y-2)2=25
  • 9:43 - 9:46
    这是两侧同时乘以25
  • 9:46 - 9:50
    两侧同时开方 y-2=±5
  • 9:50 - 9:54
    两侧同时开方 y-2=±5
  • 9:54 - 10:00
    y-2等于+5或-5
  • 10:00 - 10:03
    两侧同时加2 这是y=7
  • 10:03 - 10:07
    两侧同时加2 这是y=-3
  • 10:07 - 10:14
    所以 (-1,7)和(-1,-3)
  • 10:14 - 10:19
    都在图像上 -1在这里
  • 10:19 - 10:27
    往上7格 (-1,7)在这里 然后是(-1,-3)
  • 10:27 - 10:29
    都在图像上
  • 10:29 - 10:32
    由此我们知道
  • 10:32 - 10:34
    开口是上下方向
  • 10:34 - 10:40
    或者直接看y2项为正
  • 10:40 - 10:42
    另一种考虑方法是
  • 10:42 - 10:46
    看正平方根 它始终高于渐近线
  • 10:46 - 10:51
    看正平方根 它始终高于渐近线
  • 10:51 - 10:53
    这样看也行
  • 10:53 - 10:56
    它总比…
  • 10:56 - 10:58
    这是正平方根
  • 10:58 - 10:59
    上面这支
  • 10:59 - 11:02
    它总比渐近线高一些
  • 11:02 - 11:05
    这是渐近线 稍高于渐近线
  • 11:05 - 11:08
    显然 随着数字增大
  • 11:08 - 11:11
    常数项显得更小 图像大致是这样
  • 11:11 - 11:14
    往下 然后往上
  • 11:14 - 11:16
    不会挨到渐近线 但会逼近
  • 11:16 - 11:18
    很靠近渐近线
  • 11:18 - 11:20
    然后下降 朝这个方向
  • 11:20 - 11:23
    希望对大家有帮助
  • 11:23 - 11:27
    这个问题稍微复杂一些 应该会有启发
Title:
Identifying Conics 2
Description:

Part 2 of identifying and graphing conic sections
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Video Language:
English
Duration:
11:28
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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