Konileri tanımlamak 2

Konik bölgeleri tanımlamak ve grafiğini çizmek: Bölüm 2

*

Hadi başka bir konik kesit tanımlama sorusu çözelim.

Diyelim ki, 4y kare eksi 50x eşittir 25x kare artı 16 artı 109.

*

Yapmak istediğim ilk şey, x ve y ile olan terimleri bir tarafa diğerlerini öbür tarafa toplamak.

*

*

Hadi yapalım.

Sol tarafa 4y kareyi kayacağım.

4y kare.

Aslında, tüm x ve y leri bu adımda toplayacağım.

*

Yani 4y kare.

Hadi 16y'yi sola alalım.

Eğer her iki taraftandan da 16 y çıkarırsam sol tarafta eksi 16y karıl ve sağ tarafta sadeleşir.

*

*

Ve her iki taraftandan da 25x kareyi çıkarmak istiyorum.

*

Eksi 25x kare eksi 50x olur.

*

Bu 109'u burada bırakacağım.

Eşittir 109.

Şimdi x'ler ve y'ler aynı tarafta ve biz ne yapacağımızı biliyoruz; çünkü ikisi de aynı tarafta.

*

*

*

İkisinin de katsayısı farklı.

Ve biri pozitif, diğeri ise negatif.

Bu elimizdekinin bir hiperbol olduğu anlamına geliyor.

Hadi kareyi tamamlayalım ve standart formuna sokalım.

*

Eğer y kare ve x kare ifadelerinin birer katsayısı varsa kareyi tamamlamak kolaydır.

*

Bu koşulda y'yi 4 parantezine alalım.

4 parantezinde y kare eksi 4y olur.

Bu kareyi tamamlarken buraya sonra başka bir şey daha ekleyeceğim.

*

Eksi 25 parantezinde x kare artıi 2x.

*

Buraya da sonra bir şey ekleyeceğim.

Eşittir 109.

Ekleyeceğimiz şeyler kareyi tamamlayacak.

*

Bu da tam kare olacak.

Burada eksi 4 var.

Bu sayının yarısını alacağım

Bu kareyi tamamlayacak.

Bunun neden işe yaradığını anlamanız için önceki videoları izlemenizi öneriyorum.

*

Burada eksi 4 var.

Bunun yarısını alacağım, eksi 2 yapar.

Eksi 2'nin karesi 4 yapar.

Eşitliklerde sadece bir tarafta işlem yapamam.

*

Aslında sol tarafa 4 eklemedim.

4 kere 4 ekledim.

Çünkü bu 4 parantezi var.

Yani sol tarafa 16 ekledim.

Yani sağ tarafa da 16 eklemeliyim.

*

Doğru mu?

Bu bir eşitlik ve burada bir artı 16 olaması ortalığı biraz düzenliyor, değil mi?

*

Bunu paranteze alırsanız 4 olur.

Buraya da 16 eklemeliyiz.

Öbür tarafta yaptığımız gibi bu rakamın da yarısını alıyoruz.

2'nin yarısı 1.

Ve 1'in karesi 1.

Sol tarafa 1 eklemedik.

1 kere eksi 25 ekledik.

Yani buraya da eksi 25 koymalıyız.

Öbüründe yaptığımız gibi buraya da eski 25'i ekliyoruz.

*

Ve buraya bir eksi 25 yazıyoruz.

Şimdi bu ne olur?

y ifadesi 4 kere y eksi 2'nin karesi.

*

Bu size biraz karışık geldiyse, belki polinom çarpanlaması videosunu izlemek istersiniz.

*

Eksi 25 kere x artı 1 kare.

Tam burada.

Bu eşittir, 109 artı 16 eksi 25 eşittir 100.

*

Çok az kaldı.

Burada 1 olsun istiyoruz.

Yani her iki tarafı da 100'e bölelim.

Yani y eksi 2'nin karesi.

Ve 4 bölü 100 1/25 ile aynı şey olduğundan, bölü 25 olur.

*

Eksi, 25/100 1/4 ile aynı olduğundan, x artı 1'in karesi bölü 4 eşittir 1.

*

İşte oldu.

İşte standart formuna girdi ve bu bir hiperbol.

.

Hadi bu hiperbolün grafiğini çizelim.

İlk bildiğimiz şey bu hiperbolün merkezi.

.

Hiperbolün merkezi x'in eksi 1'e eşit olduğu noktadır.

*

x eksi 1'e eşitse y eşittir 2.

Hadi bu hiperbolün asimtotlarını bulalım.

*

*

Eğer bunun merkezi 0 noktasında olsaydı böyle bir şey olurdu.

Y kare bölü 25 eksi x kare bölü 4 eşittir 1.

Bunu merkezi 0 olsaydı asimtotların nasıl olacağını bulmak için yapıyorum.

*

Çünkü bu eşitlikle uğraşmak diğeriyle uğraşmaktan daha kolay.

*

*

Bu yaptığımızı bir manada çözüyoruz.

Hadi iki tarafı da 25 ile çarpalım.

y kare eksi 25 bölü 4 çarpı x kare eşittir 25.

*

Buraya geçelim.

Eğer her iki tarafa da 25 bölü 4 çarpı x kare eklersem elime y kare eşittir 25 bölü 4 çarpı x kare artı 25 geçer.

*

Yani y eşittir 25 bölü 4 çarpı x kare artı 25'in artı ya da eksi kareköküne eşit.

*

Her zaman olduğu gibi hiperbol asimtotlara asla eşit olmaz ya da onları kesmez.

*

Ama grafik gösteriyor ki x pozitif ya da negatif sonsuzdur.

*

*

Limitleri sonra öğreneceksiniz.

Ama sanırım bunu anlayacaksınız.

Çünkü bu asimtotun mantığıdır.

x büyüdükçe ve bu çizgiye yaklaştıkça pozitif ya da negatif sonsuza yaklaşır ve önceki videolarda yaptığımız gibi bunun önemi azalır.

*

*

*

Çünkü bu ifade çok büyüktür.

Yani y yaklaşık olarak bu ifadenin artı ya da eksi kareköküne eşit olur.

*

Bu ifadenin karekökü 5/2 x olur.

Merkezi 0 alırsak bunlar da bizim asimtotlarımız olur.

*

Ama bizim merkezimiz eksi 1, 2 de.

Hadi grafiğini çizelim.

Şimdi bunun aşağı ya da yukarı açılan bir grafik olduğunu anlayabiliriz.

*

Merkezimiz eksi 1,2.

*

Bu y ekseni, bu da x ekseni.

*

Ve merkezimiz eksi 1, 2.

Bu merkez.

Bunlar merkezimiz sıfır olsaydı asimtotlarımız olacaklardı.

*

Ama şimdi bu bize iki asimtotun eğimini veriyor.

Asimtotlar hiperbolün merkezinde kesişecekler.

*

Bunlar iki asimtotun eğimleri.

Biri artı 5/2.

Pozitif 5/2 ise x'te 2 ve yukarı 5 gideceğiz.

*

1, 2, 3, 4, 5.

Tam burada bitecek.

Şimdi bu çizgiyi çizebilirim; çünkü bir çizgi için iki tane nokta gerekir.

Yani bu çizgi böyle görünür.

Diğer asimtot ise eksi 5/2.

Her 2 için sağa ve 5 için aşağı gidiyoruz.

1, 2.

1, 2, 3 4, 5.

Tam burada bitiyor.

Bu çizgide böyle görünecek.

Güzel.

İşte bunlar iki asimtot ve bu yönlerde sonsuza kadar giderler.

*

Şimdi bunu iki şekilde düşünebiliriz.

*

*

Eğer 0 merkez olsaydı, x 0'a eşit olur muydu?

Tabi ki olurdu.

Eğer x eşittir 0 ise, y kare bölü 25 1'e eşit olurdu.

y kare de 25'e eşit olurdu.

y artı ya da eksi 5 olurdu.

Bu durumda, bu ifade 0'a eşit olurdu.

Yani x eksi 1'e eşit diyebiliriz.

Eğer x eksi 1'e eşitse, y eksi 2'nin karesi bölü 25 eşittir...

Hadi bunu yapalım.

*

Eğer x eksi 1 ise bu ifade ne olur?

*

Bunu kaybetmek istemiyorum ve buraya yazacağım.

Eğer y eksi 2'nin karesi bölü 25 alırsak.

Bu 0 eksi 0 eşittir 1 olur.

Yani y eksi 2'nin karesi bölü 25 eşittir 1.

y eksi 2'nin karesi eşittir 25.

İki tarafı da 25 ile çarpalım.

y eksi 2 eşittir eksi ya da artı 5.

*

Yani y eksi 2 artı ya da eksi 5' eşit.

*

İki tarafa da 2 eklersek, y eşittir 7 ya da y eşittir eksi 3.

*

Artık noktaların eksi 1, 7 ve eksi 1, eksi 3 olduğunu biliyoruz.

*

Eksi 1 burada.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, eksi 1, 7 ve eksi 1, 1, 2, 3 bu grafikte.

*

Buda bize bunun dikey bir asimtot olduğunu verir.

Bunu bulmanın bir diğer yolu da, y kareli sabitin pozitif olduğunu görebilmektir.

*

*

Bir diğer yolu da pozitif kara kök alırken asimtotun biraz üstünde kalacağınızdır.

*

*

Bu da bunu düşünmenin bir diğer yoludur.

*

*

Pozitif kara kök en üstteki çizgidir.

Yani asimtotun biraz üstünde kalacağız.

Bu da asimtot.

Ama her zaman onun biraz üstündeyiz.

Ve bu sayı büyüdükçe, bu sayı daha az önem taşımaya başlar ve grafik böyle bir hal alır.

*

*

Her zaman aşağı gelip yukarı çıkar ama hiçbir zaman asimtota dokunmaz ama ona yaklaşır.

*

Yani asimtota gittikçe yaklaşır ve sonra bu yönde uzaklaşır.

*

Umarım bu videoyu faydalı bulmuşsunuzdur.

Bu biraz göz korkutucu bir konuydu, yani biraz eğitici olmalıydı.

*

*